福建省南平市2022屆高三上學期10月聯(lián)考 數(shù)學試題【含答案】

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1、南平市2022屆高三上學期10月聯(lián)考 數(shù)學卷 一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 2．2021年8月8日，第32屆夏季奧林匹克運動會在日本東京正式閉．17天的比賽全部結(jié)束后，排名前十的金牌數(shù)如下表所示，則這10個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ） 排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 國家/地區(qū) 美國 中國 日本 英國 俄羅斯奧運隊 澳大利亞 荷蘭 法國 德國 意大利 金牌數(shù) 39 38 27 22

2、20 17 10 10 10 10 A．18.5 B．18 C．19.5 D．20 3．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將得到的圖象上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），最后得到函數(shù)的圖象，則（ ） A． B． C． D． 4．已知四邊形為梯形，則“”是“四邊形為等腰梯形”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 5．若直線與曲線相切，則（ ） A．為定值 B．為定值 C．為定值 D．為定值 6．已知單位向量，的夾角為，則的最小值為（ ） A． B． C． D．

3、7．已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，單調(diào)遞增，則（ ） A． B． C． D． 8．根據(jù)《民用建筑工程室內(nèi)環(huán)境污染控制標準》，文化娛樂場所室內(nèi)甲醛濃度為安全范圍．已知某新建文化娛樂場所施工中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風環(huán)境下時，竣工1周后室內(nèi)甲醛濃度為，3周后室內(nèi)甲醛濃度為，且室內(nèi)甲醛濃度（單位：）與竣工后保持良好通風的時間（單位：周）近似滿足函數(shù)關(guān)系式，則該文化娛樂場所竣工后的甲醛濃度若要達到安全開放標準，至少需要放置的時間為（ ） A．5周 B．6周 C．7周 D．8周 二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題列出的四個選項中，有多個選項是符合題

4、目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分． 9．若實數(shù)，滿足，則（ ） A．的共軛復數(shù)為 B． C．的值可能為 D． 10．下列函數(shù)中，最小值為9的是（ ） A． B． C． D． 11．已知函數(shù)，則 A．的最大值為 B．的圖象關(guān)于點對稱 C．圖象的對稱軸方程為 D．在上有4個零點 12．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且恒成立，則必有（ ） A． B． C． D． 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13．展開式中的第3項為______. 14．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，則______. 15．已知不

5、是常數(shù)函數(shù)，寫出一個同時具有下列四個性質(zhì)的函數(shù)：______. ①定義域為；②；③；④. 16．設(shè)函數(shù)關(guān)于的方程有四個實根，，，，則的最小值為______. 四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．（10分） 如圖，在中，是邊上一點，，，． （1）求角的大??； （2）若，求和． 18．（12分） 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，點，分別為，的中點． （1）證明：平面． （2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值． 19．（12分） 已知數(shù)列的前項和為，且．數(shù)列的前項積為，且． （1）求，的通項公式； （2）

6、求數(shù)列的前項和． 20．（12分） 某地區(qū)位于甲、乙兩條河流的交匯處，夏季多雨，根據(jù)統(tǒng)計資料預(yù)測，今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25，乙河流發(fā)生洪水的概率為0.2（假設(shè)兩河流發(fā)生洪水與否互不影響），今年夏季該地區(qū)某工地有許多大型設(shè)備，為保護設(shè)備，有以下3種方案： 方案一：不采取措施，當一條河流發(fā)生洪水時，設(shè)備將受損，損失30000元．當兩河流同時發(fā)生洪水時，設(shè)備將受損，損失60000元． 方案二：修建保護圍墻，建設(shè)費為4000元，但圍墻只能抵御一條河流發(fā)生的洪水，當兩河流同時發(fā)生洪水時，設(shè)備將受損，損失60000元． 方案三：修建保護大壩，建設(shè)費為9000元，能夠抵御住兩河流同時

7、發(fā)生洪水． （1）求今年甲、乙兩河流至少有一條發(fā)生洪水的概率； （2）從花費的角度考慮，試比較哪一種方案更好，說明理由． 21．（12分） 已知橢圓的長軸長為，點在上． （1）求的方程； （2）設(shè)的上頂點為，右頂點為，直線與平行，且與交于，兩點，，點為的右焦點，求的最小值． 22．（12分） 已知函數(shù). （1）求的單調(diào)區(qū)間與極值． （2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：． 高三數(shù)學月考卷參考答案 1．D 因為，所以． 2．A 這10個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是． 3．C 將函數(shù)的圖象向左平移個

8、單位長度后， 得到的圖象的解析式為， 故． 4．A 若，則由四邊形為梯形， 得且，所以四邊形為等腰梯形． 若四邊形為等腰梯形，則或， 而當時，．故選A． 5．B 設(shè)直線與曲線切于點， 因為，所以，，所以切點為， 則，故. 6．C 因為， 所以， 故. 7．A 因為為偶函數(shù)，所以， 又，所以， 所以，即是周期為4的函數(shù)， 則. 因為， 所以，，. 因為為偶函數(shù)，且當時，單調(diào)遞增， 所以當時，單調(diào)遞減， 故. 8．B 由題意可知，，， ，解得． 設(shè)該文化娛樂場所竣工后放置周后甲醛濃度達到安企開放標準， 則， 整理得，設(shè)，因為，

9、 所以，即，則，即． 故至少需要放置的時間為6周． 9．BCD 因為．所以，， 即，，則．解得或， 故A錯誤，B，C，D均正確． 10．AB ， 當且僅當時，等號成立． ， 當且僅當時，等號成立． 因為可能小于0， 所以的最小值不可能是9． ， 當且僅當時，等號成立，則最大值為9． 11．ACD ， 則的最大值為，A正確 令，得， 此即圖象的對稱軸方程，C正確． 易知圖象的對稱中心的縱坐標為，B錯． 由，得 當吋，． 因為， 所以方程在上有4個不同的實根， 即在上有4個零點，D正確． 12．ACD 設(shè)函數(shù)，， 則，

10、 所以在上單調(diào)遞減，從而， 即， 則必有，，，． 又在上單調(diào)遞減，則，從而． 因為，所以， 又，所以． 【光逃解法】取，滿足題意，故選ACD． 13． 展開式中的第3項為． 14．72 因為，所以， 故． 15． （答案不唯一，形如（，為偶數(shù)，且即可） 由，得， 聯(lián)想到，可推測. 由，得．則， 又，所以（，為偶數(shù)，且） 16．10 作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示： 由圖可知，由， 得或，則. 又因為， 所以，所以， 則，且， 所以，當且僅當， 即時，等號成立， 故的最小值為10． 17．解：（1）在中，因為，，， 所以. 因

11、為，所以. （2）因為，，所以． 在中，由，得． 因為，所以. 18．（1）證明：因為，所以． 因為平面，所以． 又，，所以平面，從而. 因為點，分別為，的中點，所以，從而． 又，所以平面． （2）解：分別以，，的方向為，，軸的正方向， 建立如圖所示的空間直角坐標系， 則，，，，，， ，， 設(shè)平面的法向量為， 則令，得． 設(shè)平面的法向量為， 則令，得． 所以. 所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為 19．解：（1）當時，； 當時，. 經(jīng)檢驗，當時，滿足，因此． 當時，；當時， 當時，滿足，因此． （2）由（1）知， ， ， 兩式相減得

12、 故 20．解：（1）由題意，甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25．乙河流發(fā)生洪水的概率為0.2， 則甲、乙兩條河流均不發(fā)生洪水的概率為， 所以今年甲、乙兩河流至少有一條發(fā)生洪水的概率為． （2）設(shè)損失費為．方案一：的可能取化為30000，60000，0． ， ， ， 所以元． 方案二：建圍墻，需要花費4000元，但圍墻只能抵御一條河流發(fā)生的洪水， 當兩河流同時發(fā)生洪水時，設(shè)備將受損，損失60000元， 兩條河流都發(fā)生洪水的概率， 所以該方案中元 方案三：修建保護大壩，建設(shè)費為9000元，設(shè)備不會受損，方案中的花費為9000元 所以方案二最好． 21．解：（1）

13、因為的長軸長為， 所以，即. 又點在上，所以. 代入，解得. 故的方程為 （2）由（1）可知，，的坐標分別為，， 直線的方程為 設(shè) 聯(lián)立得． 由，得 設(shè)，，， 則， 因為，所以. 又的坐標為， 所以 因為，所以當時， 取得最小值，且最小值為. 22．（1）解：的定義域為，. 當時，；當時， 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． 故在處取得極大值，且極大優(yōu)值，無極小值． （2）證明：易知，， 即，. 不妨設(shè)，，． （1）可知，， 當時，， 當時，， 設(shè)，， 則， 因為，， 所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增， ， 所以， 又因為，，所以， 即，故．