高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程專題強(qiáng)化訓(xùn)練 新人教A版選修21

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1、 第二章 圓錐曲線與方程 專題強(qiáng)化訓(xùn)練(二) (建議用時(shí)：45分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．已知F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當(dāng)a分別為3和5時(shí)，點(diǎn)P的軌跡分別為 (　　) A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線 C．雙曲線的一支和一條射線 D．雙曲線的一支和一條直線 C　[依題意，得|F1F2|＝10.當(dāng)a＝3時(shí)，|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，可知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支；當(dāng)a＝5時(shí)，|PF1|－|PF2|＝2a＝10＝|F1F2|，可知點(diǎn)P的軌跡為以F2為端點(diǎn)的一條射線．故選C．] 2．與橢

2、圓9x2＋4y2＝36有相同焦點(diǎn)，且短軸長為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (　　) A．＋＝1　 B．x2＋＝1 C．＋y2＝1 D．＋＝1 B　[橢圓9x2＋4y2＝36可化為＋＝1，可知焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，故可設(shè)所求橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則c＝.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1.] 3．若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率e＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：46342122】 A．　 B．2　　　C．　　　D．3 A　[由題意知－＝－1，即＝1， ∴e2＝1＋＝2，即e＝.]

3、 4．直線y＝與雙曲線－y2＝1交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[雙曲線的漸近線方程為y＝x，則直線y＝與雙曲線的一條漸近線平行，所以直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)．] 5．若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．1 C．0 D．0或1 A　[由題意，得>2，所以m2＋n2<4，則－2

4、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． x2＝4y　[由題意知e＝1，則＝1，從而2p＝4.拋物線方程為x2＝4y.] 7．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為A，且三角形F1AF2是頂角為120的等腰三角形，則此橢圓的離心率為________． 　[由題意知|F1A|＝|F2A|＝a，|F1F2|＝2C．由余弦定理得4c2＝a2＋a2－2a2cos 120. 即3a2＝4c2，所以e2＝＝. 所以e＝.] 8．點(diǎn)P(8,1)平分雙曲線x2－4y2＝4的一條弦，則這條弦所在直線的方程是________． 2x－y－15＝0　[設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，

5、y2) 則 ②－①整理得 ＝，又x1＋x2＝16，y1＋y2＝2. 所以＝2，即弦所在的直線的斜率為2. 故弦所在的直線方程為2x－y－15＝0.] 三、解答題 9．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，－1)，焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到直線x－y＋2＝0的距離為3. (1)求橢圓的方程． (2)設(shè)橢圓與直線y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)M，N，當(dāng)|AM|＝|AN|時(shí)，求m的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：46342123】 [解]　(1)依題意可設(shè)橢圓方程為 ＋y2＝1(a>1)， 則右焦點(diǎn)F(，0)， 由題設(shè)，知＝3， 解得a2＝3，故所求橢圓的方程為＋y2＝1. (2)

6、設(shè)點(diǎn)P為弦MN的中點(diǎn)，由 得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0， 由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)， 所以Δ>0，即m2<3k2＋1， ① 所以xP＝＝－， 從而yP＝kxP＋m＝， 所以kAP＝＝－， 又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN， 則－＝－，即2m＝3k2＋1， ② 把②代入①得2m>m2，解得00，解得m>， 故所求m的取值范圍是. 10．已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A，兩個(gè)焦點(diǎn)為(－1，0)，(1,0)． (1)求橢圓C的方程； (2)E，F(xiàn)

7、是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值． [解]　(1)由題意，c＝1，設(shè)橢圓的方程為＋＝1. 因?yàn)锳在橢圓上，所以＋＝1， 解得b2＝3或b2＝－(舍去)． 所以橢圓的方程為＋＝1. (2)證明：設(shè)直線AE的方程為y＝k(x－1)＋， 代入＋＝1， 得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4－12＝0， 設(shè)E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF)， 所以xE＝，yE＝kxE＋－k. 又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以－k代k，可得 xF＝，yF＝－kxF＋＋k. 所以直線EF的斜率 kEF

8、＝＝＝. 即直線EF的斜率為定值，其值為. [能力提升練] 1．設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝(k＞0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝(　　) A．　　 B．1　　　　C．　　　　D．2 D　[由題意得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)．把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y＝(k>0)得k＝12＝2，故選D．] 2．已知雙曲線C的兩條漸近線為l1，l2，過右焦點(diǎn)F作FB∥l1且交l2于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BA⊥l2且交l1于點(diǎn)A．若AF⊥x軸，則雙曲線C的離心率為(　　) A． B． C． D．2 B　[如圖，延長AF交l2于A1，則易得|OA|＝|OA1|.在△OAA1中，F(xiàn)為AA

9、1的中點(diǎn)，而BF∥OA，所以B為OA1的中點(diǎn)． 又AB⊥OA1，于是△OAA1中邊OA1上的高線與中線重合，從而△OAA1為等邊三角形，所以邊OA即直線l1與x軸的夾角為30，所以e＝＝.] 3．與雙曲線－＝1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號：46342124】 －＝1　[法一：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)．又點(diǎn)(3，2)在雙曲線上，故－＝1.又a2＋b2＝16＋4＝20，得a2＝12，b2＝8，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 法二：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(－4

10、，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.] 4．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4，則△POF的面積為________． 2　[設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線x＝－的距離為x0＋，由拋物線的定義，得x0＋＝4，所以x0＝3，則|y0|＝2，故△POF的面積為2＝2.] 5．已知橢圓G：＋y2＝1.過點(diǎn)(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)． (1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率； (2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值． [解]　(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝＝. 所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)，(，0)

11、， 離心率為e＝＝. (2)由題意知|m|≥1. 當(dāng)m＝1時(shí)，切線l的方程為x＝1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，. 此時(shí)|AB|＝. 當(dāng)m＝－1時(shí)，同理可得|AB|＝. 當(dāng)|m|>1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y＝k(x－m)． 由 得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0. 設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則 x1＋x2＝，x1x2＝. 又由l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1， 即m2k2＝k2＋1. 所以|AB|＝ ＝ ＝＝. 由于當(dāng)m＝1時(shí)，|AB|＝， 所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因?yàn)閨AB|＝＝≤2， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝時(shí)，|AB|＝2， 所以|AB|的最大值為2. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375