高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第二節(jié) 不等式證明的基本方法教師用書 理 選修45

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1、 第二節(jié)　不等式證明的基本方法 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 　　了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法。 2016，全國(guó)卷Ⅱ，24,10分(比較法證明不等式) 2015，全國(guó)卷Ⅱ，24,10分(分析法、綜合法證明不等式) 2014，全國(guó)卷Ⅰ，24,10分(放縮法、反證法證明不等式) 　　本部分主要考查比較法、綜合法、分析法證明不等式，往往應(yīng)用完全平方式、基本不等式等知識(shí)點(diǎn)，有時(shí)與函數(shù)、數(shù)列相結(jié)合。 微知識(shí)　小題練 自|主|排|查 1．比較法 作差比較法與作商比較法的基本原理： (1)作差法：a－b>0?a>b。

2、(2)作商法：>1?a>b(a>0，b>0)。 2．綜合法與分析法 (1)綜合法：證明不等式時(shí)，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過推理論證而得出命題成立，綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чā? (2)分析法：證明命題時(shí)，從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立。這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法。 3．反證法 先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的

3、結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法。 4．放縮法 證明不等式時(shí)，通過把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，以利于化簡(jiǎn)，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法。 5．柯西不等式 設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)成立。 微點(diǎn)提醒 1．作差比較法的實(shí)質(zhì)是把兩個(gè)數(shù)或式子的大小判斷問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)(或式子)與0的大小關(guān)系。 2．用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論，再說

4、明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立。 小|題|快|練 1．設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明： (1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1。 【證明】　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。 由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1。 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤。 (2)因?yàn)椋玝≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c。 所以＋＋≥1。 2．設(shè)a>0，|x－1|<，|y－2|<，求

5、證： |2x＋y－4|－1； 當(dāng)－

6、<1}。 (2)證明：由(1)知，當(dāng)a，b∈M時(shí)，－1

7、 ＝a2(－)＋b2(－) ＝(－)[()5－()5]。 當(dāng)a≥b時(shí)，≥， 從而()5≥()5， 得(－)[()5－()5]≥0； 當(dāng)a0。 所以a3＋b3≥(a2＋b2)。 考點(diǎn)二 綜合法、分析法證明不等式 【典例2】　(1)已知x，y均為正數(shù)，且x>y，求證：2x＋≥2y＋3。 (2)設(shè)a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求證：a＋b＋c≥。 【證明】　(1)因?yàn)閤>0，y>0，x－y>0， 2x＋－2y＝2(x－y)＋ ＝(x－y)＋(x－y)＋ ≥3＝3，(當(dāng)且僅當(dāng)x－y＝1時(shí)，等號(hào)成

8、立) 所以2x＋≥2y＋3。 (2)因?yàn)閍，b，c>0，所以要證a＋b＋c≥， 只需證(a＋b＋c)2≥3。 即證：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而ab＋bc＋ca＝1， 故需證明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)。 即證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。 而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立)成立。 所以原不等式成立。 反思?xì)w納　用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法。綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡(jiǎn)單、條理清楚，所以在

9、實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野。 【變式訓(xùn)練】　(1)已知n≥2，求證：>－。 (2)(2016銀川質(zhì)檢)已知a，b，c全為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證： ①＋＋≤1； ②a2＋b2＋c2≥。 【證明】　(1)要證>－，只需證>。 即>， 只需證 ＋>， 只需證>0， 只需證n>1， 因?yàn)閚≥2>1，所以>－。 (2)①∵a，b，c全為正數(shù)，且a＋b＋c＝1， ∴a＋b≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)； b＋c≥2(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立)； c

10、＋a≥2(當(dāng)且僅當(dāng)c＝a時(shí)等號(hào)成立)， ∴2(a＋b＋c)≥2＋2＋2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立)。 ∴＋＋≤1(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立)。 ②a2＋b2＋c2≥?a2＋b2＋c2≥?a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。 ∵ ∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac?a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac， ∴a2＋b2＋c2≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立)。 考點(diǎn)三 柯西不等式的應(yīng)用 【典例3】　(2015陜西高考)已知關(guān)于x的不等式|x＋a|

11、|

12、3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值。 【解析】　(1)證明：因?yàn)?＋＋)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27。 所以＋＋≤3。 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝，z＝0時(shí)取等號(hào)。 (2)因?yàn)?＝x＋2y＋3z≤，所以x2＋y2＋z2≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝即x＝，y＝，z＝時(shí)，x2＋y2＋z2有最小值。 【答案】　(1)見解析　(2) 微考場(chǎng)　新提升 1．已知a，b均為正數(shù)，且a＋b＝1，證明：(ax＋by)2≤ax2＋by2。 證明　(ax＋by)2－(ax2＋by2)＝a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy， 因?yàn)閍＋b＝1，所以，a－1＝－b，b－1＝－

13、a，故(ax＋by)2－(ax2＋by2)＝a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy ＝－ab(x2＋y2－2xy)＝－ab(x－y)2≤0， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立。 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2。 2．已知x>0，y>0，a∈R，b∈R。求證：2≤。 證明　因?yàn)閤>0，y>0，所以x＋y>0。 所以要證2≤， 即證(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)， 即證xy(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立。故2≤。 3．設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋。證明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立。 證明　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1。 (1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立。 (2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時(shí)成立，則由a2＋a<2及a>0得0