2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì)案例 1.1 回歸分析學(xué)案 北師大版選修1 -2.docx

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1.1　回歸分析 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.會(huì)建立線性回歸模型分析兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系.2.掌握建立線性回歸模型的步驟． 知識(shí)點(diǎn)　線性回歸方程 思考　(1)什么叫回歸分析？ (2)回歸分析中，利用線性回歸方程求出的函數(shù)值一定是真實(shí)值嗎？ 答案　(1)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法． (2)不一定是真實(shí)值，利用線性回歸方程求的值，在很多時(shí)候是個(gè)預(yù)報(bào)值，例如，人的體重與身高存在一定的線性關(guān)系，但體重除了受身高的影響外，還受其他因素的影響，如飲食、是否喜歡運(yùn)動(dòng)等． 梳理　(1)平均值的符號(hào)表示 假設(shè)樣本點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，在統(tǒng)計(jì)上，用表示一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均值，即＝＝i；用表示一組數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均值，即＝＝i. (2)參數(shù)a，b的求法 b＝＝＝，a＝－b. (3)樣本點(diǎn)的中心(，)，回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心． 1．現(xiàn)實(shí)生活中的兩個(gè)變量要么是函數(shù)關(guān)系，要么是相關(guān)關(guān)系．(　　) 2．散點(diǎn)圖能準(zhǔn)確判定兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系．(　　) 3．回歸直線不一定過(guò)樣本中的點(diǎn)，但一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心．(　√　) 類型一　概念的理解和判斷 例1　有下列說(shuō)法： ①線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法； ②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示； ③通過(guò)回歸方程y＝bx＋a可以估計(jì)觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì)； ④因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒(méi)有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)． 其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．1B．2C．3D．4 考點(diǎn)　回歸分析 題點(diǎn)　回歸分析的概念和意義 答案　C 解析?、俜从车恼亲钚《朔ㄋ枷耄_；②反映的是畫散點(diǎn)圖的作用，正確；③反映的是回歸方程y＝bx＋a的作用，正確；④不正確，在求回歸方程之前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系． 跟蹤訓(xùn)練1　下列變量關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是(　　) ①學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間與學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系； ②某家庭的收入與支出之間的關(guān)系； ③學(xué)生的身高與視力之間的關(guān)系； ④球的體積與半徑之間的關(guān)系． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 考點(diǎn)　回歸分析 題點(diǎn)　回歸分析的概念和意義 答案　A 解析　對(duì)①，學(xué)習(xí)時(shí)間影響學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，但是學(xué)生學(xué)習(xí)的刻苦程度、學(xué)生的學(xué)習(xí)方法、教師的授課水平等其他因素也影響學(xué)生的成績(jī)，因此學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間與學(xué)習(xí)成績(jī)之間具有相關(guān)關(guān)系；對(duì)②，家庭收入影響支出，但支出除受收入影響外，還受其他因素影響，故它們是相關(guān)關(guān)系；對(duì)③，身高與視力之間互不影響，沒(méi)有任何關(guān)系；對(duì)④，球的體積由半徑?jīng)Q定，是一種確定性關(guān)系，故它們是函數(shù)關(guān)系． 類型二　回歸分析 例2　某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a； (3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力． 考點(diǎn)　線性回歸方程 題點(diǎn)　求線性回歸方程 解　(1)如圖： (2)iyi＝62＋83＋105＋126＝158， ＝＝9，＝＝4， ＝62＋82＋102＋122＝344， b＝＝＝0.7， a＝－b＝4－0.79＝－2.3， 故線性回歸方程為y＝0.7x－2.3. (3)由(2)中線性回歸方程可知，當(dāng)x＝9時(shí)，y＝0.79－2.3＝4，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4. 反思與感悟　(1)求線性回歸方程的基本步驟 ①列出散點(diǎn)圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系． ②計(jì)算：，，，，iyi. ③代入公式求出y＝bx＋a中參數(shù)b，a的值． ④寫出線性回歸方程并對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出估計(jì)． (2)需特別注意的是，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸方程才有實(shí)際意義，否則求出的回歸方程毫無(wú)意義． 跟蹤訓(xùn)練2　已知某地區(qū)4～10歲女孩各自的平均身高數(shù)據(jù)如下： 年齡x/歲 4 5 6 7 8 9 10 身高y/cm 100 106 112 116 121 124 130 求y對(duì)x的線性回歸方程．(保留兩位小數(shù)) 考點(diǎn)　線性回歸方程 題點(diǎn)　求線性回歸方程 解　制表 i 1 2 3 4 5 6 7 xi 4 5 6 7 8 9 10 yi 100 106 112 116 121 124 130 xiyi 400 530 672 812 968 1116 1300 ＝7，＝，＝371，iyi＝5798 b＝＝≈4.82， a＝－b＝－4.827≈81.83. 所以線性回歸方程為y＝81.83＋4.82x. 例3　某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是30元/臺(tái)的小商品，在市場(chǎng)試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)x(x取整數(shù))(元)與日銷售量y(臺(tái))之間有如下關(guān)系： x 35 40 45 50 y 56 41 28 11 (1)畫出散點(diǎn)圖，并判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系； (2)求日銷售量y對(duì)銷售單價(jià)x的線性回歸方程； (3)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為P元，根據(jù)(2)寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測(cè)當(dāng)銷售單價(jià)x為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤(rùn)． 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　回歸直線方程的應(yīng)用 解　(1)散點(diǎn)圖如圖所示，從圖中可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此兩個(gè)變量線性相關(guān)． (2)因?yàn)椋?35＋40＋45＋50)＝42.5， ＝(56＋41＋28＋11)＝34. iyi＝3556＋4041＋4528＋5011＝5410. ＝352＋402＋452＋502＝7350. 所以b＝＝＝≈－3. a＝－b＝34－(－3)42.5＝161.5. 所以線性回歸方程為y＝161.5－3x. (3)依題意，有P＝(161.5－3x)(x－30)＝－3x2＋251.5x－4845 ＝－32＋－4845. 所以當(dāng)x＝≈42時(shí)，P有最大值，約為426元．即預(yù)測(cè)當(dāng)銷售單價(jià)為42元時(shí)，能獲得最大日銷售利潤(rùn)． 反思與感悟　解答線性回歸題目的關(guān)鍵是首先通過(guò)散點(diǎn)圖來(lái)分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求線性回歸方程的公式求解線性回歸方程，在此基礎(chǔ)上，借助線性回歸方程對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析． 跟蹤訓(xùn)練3　一臺(tái)機(jī)器由于使用時(shí)間較長(zhǎng)，生產(chǎn)的零件有一些會(huì)缺損，按不同轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的零件有缺損的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒) 16 14 12 8 每小時(shí)生產(chǎn)缺損零件數(shù)y(件) 11 9 8 5 (1)作出散點(diǎn)圖； (2)如果y與x線性相關(guān)，求出線性回歸方程； (3)若在實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)的產(chǎn)品中有缺損的零件最多為10個(gè)，那么，機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍？ 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　回歸直線方程的應(yīng)用 解　(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如圖． (2)設(shè)線性回歸方程為：y＝bx＋a，并列表如下： i 1 2 3 4 xi 16 14 12 8 yi 11 9 8 5 xiyi 176 126 96 40 ＝12.5，＝8.25，＝660，iyi＝438， 所以b＝≈0.73，a＝8.25－0.7312.5＝－0.875， 所以y＝0.73x－0.875. (3)令0.73x－0.875≤10，解得x<14.9≈15， 故機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在15轉(zhuǎn)/秒內(nèi). 1．某商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其線性回歸方程可能是(　　) A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200 C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　A 解析　因?yàn)閥與x負(fù)相關(guān)，所以排除B，D， 又因?yàn)镃項(xiàng)中x>0時(shí)，y<0不合題意，所以C錯(cuò)． 2．如圖四個(gè)散點(diǎn)圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個(gè)變量的是(　　) A．①②B．①③C．②③D．③④ 考點(diǎn)　回歸分析 題點(diǎn)　回歸分析的概念和意義 答案　B 解析　由圖易知①③兩個(gè)圖中樣本點(diǎn)在一條直線附近，因此適合用線性回歸模型． 3．下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的回歸直線必過(guò)點(diǎn)(　　) x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 A.(2,3) B．(1.5,4) C．(2.5,4) D．(2.5,5) 考點(diǎn)　線性回歸方程 題點(diǎn)　樣本點(diǎn)中心的應(yīng)用 答案　C 解析　回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)中心(，)，即(2.5,4)． 4．面對(duì)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的消費(fèi)市場(chǎng)，眾多商家不斷擴(kuò)大自己的銷售市場(chǎng)，以降低生產(chǎn)成本．某白酒釀造企業(yè)市場(chǎng)部對(duì)該企業(yè)9月份的產(chǎn)品銷量x(單位：千箱)與單位成本y(單位：元)的資料進(jìn)行線性回歸分析，結(jié)果如下：＝，＝71，＝79，iyi＝1481，則銷量每增加1000箱，單位成本下降________元． 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　1.8182 解析　由題意知，b＝≈－1.8182， a＝71－(－1.8182)≈77.36， ∴y關(guān)與x的線性回歸方程為 y＝－1.8182x＋77.36， 即銷量每增加1千箱，單位成本下降1.8182元． 5．已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 (1)分別計(jì)算：，，x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4，x＋x＋x＋x； (2)已知變量x與y線性相關(guān)，求出線性回歸方程． 考點(diǎn)　線性回歸方程 題點(diǎn)　求線性回歸方程 解　(1)＝＝1.5，＝＝4， x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝01＋13＋25＋37＝34， x＋x＋x＋x＝02＋12＋22＋32＝14. (2)b＝＝2， a＝－b＝4－21.5＝1， 故線性回歸方程為y＝2x＋1. 回歸分析的步驟 (1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是自變量，哪個(gè)變量是因變量． (2)畫出確定好的因變量關(guān)于自變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)． (3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如果呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y＝bx＋a)． (4)按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)． 一、選擇題 1．對(duì)變量x，y由觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對(duì)變量u，v由觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖(2)，由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(　　) A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān) D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) 考點(diǎn)　回歸分析 題點(diǎn)　回歸分析的概念和意義 答案　C 解析　由題圖(1)可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，x與y負(fù)相關(guān)； 由題圖(2)可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，u與v正相關(guān)． 2．某醫(yī)學(xué)科研所對(duì)人體脂肪含量與年齡這兩個(gè)變量研究得到一組隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，運(yùn)用Excel軟件計(jì)算得y＝0.577x－0.448(x為人的年齡，y為人體脂肪含量)．對(duì)年齡為37歲的人來(lái)說(shuō)，下面說(shuō)法正確的是(　　) A．年齡為37歲的人體內(nèi)脂肪含量為20.90% B．年齡為37歲的人體內(nèi)脂肪含量約為21.01% C．年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量約為20.90% D．年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量約為31.5% 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　C 解析　當(dāng)x＝37時(shí)，y＝0.57737－0.448＝20.901≈20.90， 由此估計(jì)，年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量約為20.90%. 3．已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)，下列結(jié)論中正確的是(　　) A．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān) C．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān) 考點(diǎn)　回歸分析 題點(diǎn)　回歸分析的概念和意義 答案　A 解析　由正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的定義知A正確． 4．某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個(gè)月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量(單位：萬(wàn)盒)的數(shù)據(jù)如下表所示： x(月份) 1 2 3 4 5 y(萬(wàn)盒) 5 5 6 6 8 若x，y線性相關(guān)，線性回歸方程為y＝0.7x＋a，估計(jì)該制藥廠6月份生產(chǎn)甲膠囊產(chǎn)量約為(　　) A．8.0萬(wàn)盒B．8.1萬(wàn)盒C．8.9萬(wàn)盒D．8.6萬(wàn)盒 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　B 解析　回歸直線一定過(guò)樣本點(diǎn)中心．由已知數(shù)據(jù)可得＝3，＝6，代入回歸方程，可得a＝－0.7＝3.9，即線性回歸方程為y＝0.7x＋3.9.把x＝6代入，可近似得y＝8.1，故選B. 5．工人月工資y(單位：元)關(guān)于勞動(dòng)生產(chǎn)率x(單位：千元)的回歸方程為y＝650＋80x，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資約為730元； ②勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元，則工資提高80元； ③勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元，則工資提高730元； ④當(dāng)月工資為810元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率約為2000元． A．1B．2C．3D．4 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　C 解析　代入方程計(jì)算可判斷①②④正確． 6．某化工廠為預(yù)測(cè)某產(chǎn)品的回收率y，而要研究它和原料有效成分含量之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對(duì)觀測(cè)值，計(jì)算得i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1849，則y與x的線性回歸方程是(　　) A．y＝11.47＋2.62x B．y＝－11.47＋2.62x C．y＝2.62＋11.47x D．y＝11.47－2.62x 考點(diǎn)　線性回歸方程 題點(diǎn)　求線性回歸方程 答案　A 解析　由題中數(shù)據(jù)，得＝6.5，＝28.5， ∴b＝＝＝≈2.62， a＝－b≈28.5－2.626.5＝11.47， ∴y對(duì)x的線性回歸方程是y＝2.62x＋11.47，故選A. 7．為研究變量x和y的線性相關(guān)性，甲、乙二人分別作了研究，利用線性回歸方法得到回歸直線l1和l2，兩人計(jì)算知相同，也相同，下列正確的是(　　) A．l1與l2一定重合 B．l1與l2一定平行 C．l1與l2相交于點(diǎn)(，) D．無(wú)法判斷l(xiāng)1和l2是否相交 考點(diǎn)　回歸直線方程 題點(diǎn)　樣本點(diǎn)中心的應(yīng)用 答案　C 解析　因?yàn)閮蓚€(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是，所以兩組數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)中心都是(，)，因?yàn)榛貧w直線經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，所以l1和l2都過(guò)(，)． 二、填空題 8．某校小賣部為了了解奶茶銷售量y(杯)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天賣出的奶茶杯數(shù)與當(dāng)天的氣溫，得到下表中的數(shù)據(jù)，并根據(jù)該樣本數(shù)據(jù)用最小二乘法建立了線性回歸方程y＝－2x＋60，則樣本數(shù)據(jù)中污損的數(shù)據(jù)y0應(yīng)為_(kāi)_______. 氣溫x(℃) －1 13 10 18 杯數(shù)y y0 34 38 24 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　64 解析　由表中數(shù)據(jù)易知＝10，代入y＝－2x＋60中， 得y＝40.由＝40，得y0＝64. 9．調(diào)查某移動(dòng)公司的三名推銷員，其工作年限與年推銷金額的數(shù)據(jù)如下表所示. 推銷員編號(hào) 1 2 3 工作年限x(年) 3 5 10 年推銷金額y(萬(wàn)元) 2 3 4 由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程y＝bx＋a中的b＝. 若該公司第四名推銷員的工作年限為6年，則估計(jì)他的年推銷金額約為_(kāi)_______萬(wàn)元． 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　3 解析?。?，＝3，由回歸直線經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)中心可知，該推銷員年推銷金額約為3萬(wàn)元． 10．某人對(duì)一地區(qū)人均工資x(千元)與該地區(qū)人均消費(fèi)y(千元)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)y與x有相關(guān)關(guān)系，并得到線性回歸方程y＝0.66x＋1.562.若該地區(qū)的人均消費(fèi)水平為7.675千元，則估計(jì)該地區(qū)的人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為_(kāi)_______．(精確到0.1%) 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　82.9% 解析　當(dāng)y＝7.675時(shí)，x≈9.262， 所以該地區(qū)的人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為100%≈82.9%. 11．某數(shù)學(xué)老師身高為176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm,170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為_(kāi)_______cm. 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　183.5 解析　記從爺爺起向下各代依次為1,2,3,4,5，用變量x表示，其中5代表孫子．各代人的身高為變量y，則有 x 1 2 3 4 y 173 170 176 182 計(jì)算知＝2.5，＝175.25.由回歸系數(shù)公式得b＝3.3，a＝－b＝175.25－3.32.5＝167，∴線性回歸方程為y＝3.3x＋167，當(dāng)x＝5時(shí)，y＝3.35＋167＝183.5，故預(yù)測(cè)其孫子的身高為183.5cm. 三、解答題 12．從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720. (1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a； (2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)； (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄． 附：b＝，a＝－b. 考點(diǎn)　線性回歸方程 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 解　(1)由題意，n＝10，i＝80，i＝20， ∴＝＝8，＝＝2. 又－102＝720－1082＝80，iyi－10＝184－1082＝24， 由此得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.38＝－0.4， 故所求線性回歸方程為y＝0.3x－0.4. (2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b＝0.3＞0)，故x與y之間是正相關(guān)． (3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄約為y＝0.37－0.4＝1.7(千元)． 13．隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng)．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如下表： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 時(shí)間代號(hào)t 1 2 3 4 5 儲(chǔ)蓄存款y(千億元) 5 6 7 8 10 (1)求y關(guān)于t的回歸方程y＝bt＋a； (2)用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年(t＝10)的人民幣儲(chǔ)蓄存款． 附：回歸方程y＝bt＋a中，b＝，a＝－b. 考點(diǎn)　線性回歸方程 題點(diǎn)　求線性回歸方程 解　(1)列表計(jì)算如下： i ti yi t tiyi 1 1 5 1 5 2 2 6 4 12 3 3 7 9 21 4 4 8 16 32 5 5 10 25 50 ∑ 15 36 55 120 此時(shí)n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2. 又ltt＝－n2＝55－532＝10，lty＝iyi－n＝120－537.2＝12， 從而b＝＝＝1.2，a＝－b＝7.2－1.23＝3.6， 故所求回歸方程為y＝1.2t＋3.6. (2)將t＝10代入回歸方程，可預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年的人民幣儲(chǔ)蓄存款為y＝1.210＋3.6＝15.6(千億元)． 四、探究與拓展 14．某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價(jià)x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求線性回歸方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b； (2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤(rùn)＝銷售收入－成本) 解　(1)＝＝8.5， ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80. ∵b＝－20，a＝－b， ∴a＝80＋208.5＝250， ∴線性回歸方程為y＝－20x＋250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，則 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－202＋361.25， ∴該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為元，才使工廠獲得的利潤(rùn)最大．