2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

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2.2.2　雙曲線的幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標　1.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，如范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率等.2.能用雙曲線的簡單性質(zhì)解決一些簡單問題.3.了解直線與雙曲線相交的相關(guān)問題． 知識點一　雙曲線的性質(zhì) 標準方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點 頂點坐標 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝x y＝x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c間的關(guān)系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 特別提醒：(1)已知雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，可知雙曲線的漸近線方程：令1為0可得－＝0?y＝x，這樣便于記憶． (2)雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交． (3)與雙曲線－＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的雙曲線的方程可表示為－＝λ(λ≠0)． 知識點二　等軸雙曲線 實軸和虛軸等長的雙曲線，它的漸近線方程是y＝x，離心率為. 1．雙曲線－＝1與－＝1(a>0，b>0)的形狀相同．(　√　) 2．雙曲線－＝1與－＝1(a>0，b>0)的漸近線相同．(　　) 3．等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率e＝.(　√　) 4．橢圓的離心率與雙曲線的離心率取值范圍相同．(　　) 5．雙曲線有四個頂點，分別是雙曲線與其實軸及虛軸的交點．(　　) 題型一　由雙曲線方程研究其幾何性質(zhì) 例1　求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程． 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程求a，b，c，漸近線 解　將9y2－4x2＝－36化為標準方程為－＝1， 即－＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝. 因此頂點坐標為A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦點坐標為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 實軸長2a＝6，虛軸長2b＝4， 離心率e＝＝， 漸近線方程為y＝x＝x. 引申探究 求雙曲線nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程． 解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化為標準方程為－＝1(m>0，n>0)， 由此可知，實半軸長a＝， 虛半軸長b＝，c＝， 焦點坐標為(，0)，(－，0)， 離心率e＝＝＝， 頂點坐標為(－，0)，(，0)， 所以漸近線方程為y＝x，即y＝x. 反思感悟　由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟 (1)把雙曲線方程化為標準形式是解決此類題的關(guān)鍵． (2)由標準方程確定焦點位置，確定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)． 跟蹤訓(xùn)練1　求雙曲線9y2－16x2＝144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程． 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程求a，b，c，漸近線 解　把方程9y2－16x2＝144化為標準方程為 －＝1. 由此可知，實半軸長a＝4，虛半軸長b＝3； c＝＝＝5，焦點坐標是(0，－5)，(0,5)； 離心率e＝＝；漸近線方程為y＝x. 題型二　由雙曲線的幾何性質(zhì)求標準方程 例2　求滿足下列條件的雙曲線的標準方程： (1)以直線2x3y＝0為漸近線，過點(1,2)； (2)與雙曲線－＝1具有相同的漸近線，且過點M(3，－2)； (3)過點(2,0)，與雙曲線－＝1離心率相等； (4)與橢圓＋＝1有公共焦點，離心率為. 考點　雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用 題點　由雙曲線的幾何性質(zhì)求方程 解　(1)方法一　由題意可設(shè)所求雙曲線方程為4x2－9y2＝λ(λ≠0)，將點(1,2)的坐標代入方程解得λ＝－32. 因此所求雙曲線的標準方程為－＝1. 方法二　由題意可設(shè)所求雙曲線方程為－＝1(mn>0)． 由題意，得解得 因此所求雙曲線的標準方程為－＝1. (2)設(shè)所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)． 由點M(3，－2)在雙曲線上，得－＝λ，λ＝－2. 故所求雙曲線的標準方程為－＝1. (3)當所求雙曲線的焦點在x軸上時，可設(shè)其方程為－＝λ(λ>0)，將點(2,0)的坐標代入方程得λ＝，故所求雙曲線的標準方程為－y2＝1； 當所求雙曲線的焦點在y軸上時，可設(shè)其方程為－＝λ(λ>0)，將點(2,0)的坐標代入方程得λ＝－<0(舍去)． 綜上可知，所求雙曲線的標準方程為－y2＝1. (4)方法一　由橢圓方程可得焦點坐標為(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦點在x軸上． 設(shè)雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)． 因為e＝＝，所以a＝2，則b2＝c2－a2＝5， 故所求雙曲線的標準方程為－＝1. 方法二　因為橢圓焦點在x軸上，所以可設(shè)雙曲線的標準方程為－＝1(16<λ<25)． 因為e＝，所以＝－1，解得λ＝21. 故所求雙曲線的標準方程為－＝1. 反思感悟　(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式． (2)巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧． ①焦點在x軸上的雙曲線的標準方程可設(shè)為－＝1(a>0，b>0)． ②焦點在y軸上的雙曲線的標準方程可設(shè)為－＝1(a>0，b>0)． ③與雙曲線－＝1共焦點的雙曲線方程可設(shè)為－＝1(λ≠0，－b2<λ0)， 將點(5,4)代入雙曲線方程，得λ＝9， ∴雙曲線方程為－＝1. 題型三　雙曲線離心率問題 例3　設(shè)F1和F2為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，若F1，F(xiàn)2，P(0,2b)是正三角形的三個頂點，則雙曲線的離心率等于(　　) A.B．2C.D．3 考點　 題點　 答案　B 解析　設(shè)O為原點，則有|PO|＝2b，|OF1|＝c， 又因為△PF1F2為等邊三角形， 所以|PF1|＝2c. 而PO⊥F1F2，所以c2＋(2b)2＝(2c)2， 即4b2＝3c2，即4c2－4a2＝3c2， 于是c2＝4a2，因此e2＝＝4，故e＝2. 反思感悟　求雙曲線的離心率時，可以求出a與c的值，然后根據(jù)離心率的定義求得．但在多數(shù)情況下，由于受到題目已知條件的限制，很難或不可能求出a和c的值，只能根據(jù)題目條件獲得關(guān)于a和c的關(guān)系式，進而求得，這時關(guān)鍵是利用圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，再結(jié)合c2＝a2＋b2，化簡為參數(shù)a，c的關(guān)系式進行求解． 跟蹤訓(xùn)練3　過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點F引它的一條漸近線的垂線FM，垂足為M，并且交y軸于E，若M為EF的中點，則該雙曲線的離心率為(　　) A．2B.C．3D. 考點　 題點　 答案　D 題型四　直線與雙曲線的位置關(guān)系 例4　已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的焦距為4，且經(jīng)過點(－3,2)． (1)求雙曲線C的方程和其漸近線方程； (2)若直線l：y＝kx＋2與雙曲線C有且只有一個公共點，求所有滿足條件的k的取值． 考點　 題點　 解　(1)由題意可知，雙曲線的焦點為(－2,0)和(2,0)， 根據(jù)定義有2a＝＝2， ∴a＝1，由以上可知，a2＝1，c2＝4，b2＝3， ∴所求雙曲線C的方程為x2－＝1. 漸近線方程為y＝x. (2)由得(3－k2)x2－4kx－7＝0. ①當3－k2＝0，即k＝時，此時直線與雙曲線相交于一個公共點，符合題意． ②當3－k2≠0，即k≠時，由Δ＝0得k＝， 此時直線與雙曲線相切于一個公共點，符合題意． 綜上所述，符合題意的k的所有取值為，－，，－. 引申探究 本例條件不變，若直線y＝2x＋m被雙曲線C截得的弦長為2，求實數(shù)m的值． 解　設(shè)直線y＝2x＋m與雙曲線C的交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 得x2＋4mx＋m2＋3＝0， Δ＝16m2－4(m2＋3)>0，得m<－1或m>1， x1＋x2＝－4m，x1x2＝m2＋3， |AB|＝ ＝＝2， 解得m＝，適合m<－1或m>1，故m＝. 反思感悟　(1)直線與雙曲線位置關(guān)系的判定方法 通常把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考查方程的判別式． ①當Δ>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點． ②當Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點． ③當Δ<0時，直線與雙曲線沒有公共點． 當a＝0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點． (2)雙曲線的弦長公式 與直線與橢圓相交所得的弦的長度求法一樣．設(shè)直線y＝kx＋b與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則|AB|＝|x1－x2|＝ 或|AB|＝|y1－y2|＝. 跟蹤訓(xùn)練4　已知雙曲線的中心在坐標原點，且一個焦點為(，0)，直線y＝x－1與其相交于M，N兩點，MN的中點的橫坐標為－，求此雙曲線的方程． 考點　 題點　 解　設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)． 依題意可知c＝， ∴方程可以化為－＝1， 將直線y＝x－1代入， 得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則x1＋x2＝， ∵MN的中點的橫坐標為－， ∴＝－，解得a2＝2， 此時Δ>0，∴曲線的方程為－＝1. 存在性問題需驗證 典例　已知雙曲線2x2－y2＝2，過點B(1,1)能否作直線l，使l與所給雙曲線交于點Q1，Q2，且點B是弦Q1Q2的中點，若存在這樣的直線l，求出它的方程；若不存在，請說明理由． 考點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點　直線與雙曲線的其他問題 解　由題意知，設(shè)Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是雙曲線上的兩點， 則x1≠x2，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 由 兩式相減并變形得＝2， 若存在，則直線l為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1， 聯(lián)立得2x2－4x＋3＝0， 而Δ＝－8<0，方程無實根， 即直線與雙曲線無交點， 故不存在滿足條件的直線． [素養(yǎng)評析]　(1)利用“點差法”解題，其過程是無法保證直線與雙曲線相交的，因此必須對所求得直線方程的存在性進行驗證． (2)確定好運算方法，形成運算程序的完備性，有利于培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍、嚴謹求實的科學(xué)素養(yǎng). 1．雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是(　　) A．2B．2C．4D．4 答案　C 解析　雙曲線的標準方程為－＝1，故實軸長為4. 2．設(shè)雙曲線＋＝1的漸近線方程為3x2y＝0，則a的值為(　　) A．－4B．－3C．2D．1 答案　A 解析　∵方程表示雙曲線， ∴a<0，標準方程為－＝1， ∴漸近線方程為y＝x， ∴＝，解得a＝－4. 3．已知雙曲線－＝1(a＞0)的右焦點為(3,0)，則雙曲線的離心率等于(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　由題意知a2＋5＝9, 解得a＝2，則e＝＝. 4．設(shè)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的虛軸長為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為____________． 答案　y＝x 解析　由條件知2b＝2,2c＝2， ∴b＝1，c＝，a2＝c2－b2＝2， 即a＝. ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x＝x. 5．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的實軸長為2，一個焦點的坐標為(－，0)． (1)求雙曲線C的方程； (2)若斜率為2的直線l交雙曲線C于A，B兩點，且|AB|＝4，求直線l的方程． 考點　 題點　 解　(1)∵實軸長為2，一個焦點的坐標為(－，0)， ∴2a＝2，即a＝，c＝， ∴b2＝c2－a2＝2， ∴雙曲線C的方程為－＝1. (2)設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0， 由Δ＝24(m2－10)>0，得|m|>， 又x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴|AB|＝ ＝ ＝＝4， 解得m＝，滿足|m|>， ∴直線l的方程為y＝2x＋或y＝2x－. 1．通過雙曲線方程可以討論雙曲線的幾何性質(zhì)，通過雙曲線的幾何性質(zhì)也可以得到雙曲線方程． 2．漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，兩方程聯(lián)系密切，把雙曲線的標準方程－＝1(a>0，b>0)右邊的常數(shù)“1”換為“0”，就是漸近線方程．反之由漸近線方程axby＝0變?yōu)閍2x2－b2y2＝λ，再結(jié)合其他條件求得λ就可得雙曲線方程． 3．直線與雙曲線的位置關(guān)系可以通過聯(lián)立直線方程與雙曲線方程得到的方程來判斷，首先看二次項系數(shù)是否為零，若不為零，再利用Δ來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系. 一、選擇題 1．下列雙曲線中，漸近線方程為y＝2x的是(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 答案　A 解析　由雙曲線漸近線方程的求法知，雙曲線x2－＝1的漸近線方程為y＝2x，故選A. 2．雙曲線－＝1的焦點到漸近線的距離為(　　) A．2 B．2 C. D．1 答案　A 解析　∵雙曲線－＝1的一個焦點為F(4,0)，其中一條漸近線方程為y＝x，∴點F(4,0)到x－y＝0的距離為＝2. 3．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)，離心率等于，則雙曲線C的方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　依題意得，c＝3，e＝， 所以a＝2，從而a2＝4，b2＝c2－a2＝5，故選B. 4．直線y＝kx－1與雙曲線－＝1有且只有一個交點，則k的值為(　　) A．k＝ B．k＝ C．k＝或k＝ D．k∈? 答案　C 解析　將直線方程代入雙曲線方程，得 (9－4k2)x2＋8kx－40＝0. 當9－4k2＝0，即k＝時，直線與雙曲線只有一個交點； 當9－4k2≠0，Δ＝0時，k＝， 此時直線與雙曲線相切，只有一個公共點． 5．若實數(shù)k滿足00，m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a，b，m為邊長的三角形是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 答案　B 解析　雙曲線的離心率e1＝， 橢圓的離心率e2＝， 由e1e2＝1，得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2， 故a2＋b2＝m2，因此三角形為直角三角形． 7．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，若雙曲線上存在一點P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1||PF2|＝ab，則該雙曲線的離心率為(　　) A.B.C.D．3 答案　B 解析　不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a. 又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝.又r1r2＝ab，所以＝ab，解得＝(負值舍去)．故e＝＝＝＝＝，故選B. 二、填空題 8．與雙曲線x2－＝1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的標準方程是________________． 答案?。? 解析　設(shè)所求雙曲線方程為x2－＝λ， 將點(2,2)代入，可得λ＝3，∴雙曲線方程為－＝1. 9．過雙曲線x2－＝1的左焦點F1作傾斜角為的弦AB，則|AB|＝________. 考點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點　直線與雙曲線相交弦長與三角形的面積 答案　3 解析　易得雙曲線的左焦點F1(－2,0)， ∴直線AB的方程為y＝(x＋2)， 與雙曲線方程聯(lián)立，得8x2－4x－13＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝－， ∴|AB|＝ ＝＝3. 10．已知雙曲線－＝1的一個焦點在圓x2＋y2－2x－8＝0上，則雙曲線的漸近線方程為________________． 答案　y＝x 解析　由已知得一個焦點坐標為(4,0)，故雙曲線方程為－＝1， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x. 11．已知雙曲線C：－＝1的開口比等軸雙曲線的開口更開闊，則實數(shù)m的取值范圍是________． 答案　(4，＋∞) 解析　∵等軸雙曲線的離心率為，且雙曲線C的開口比等軸雙曲線更開闊，∴雙曲線C：－＝1的離心率e＞，即＞2，∴m＞4. 三、解答題 12．過雙曲線的一個焦點F2作垂直于實軸的弦PQ，點F1是另一個焦點，若∠PF1Q＝90，求雙曲線的離心率． 解　設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，由題意知在焦點三角形F1PF2中，|PF1|＝2c，|PF2|＝2c， 又|PF1|－|PF2|＝2a，故有e＝＋1. 13．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，且雙曲線C經(jīng)過點(2，)． (1)求雙曲線C的方程； (2)已知直線x－y＋m＝0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x2＋y2＝5上，求m的值． 考點　 題點　 解　(1)由題意有解得 ∴雙曲線C的方程是x2－＝1. (2)由 消去y得x2－2mx－m2－2＝0， Δ＝4m2＋4(m2＋2)>0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝2m， y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m， ∴AB的中點坐標是x0＝＝m，y0＝2m， 又∵(m,2m)在圓x2＋y2＝5上， ∴m2＋(2m)2＝5，解得m＝1. 14．已知F是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是________． 答案　(1,2) 解析　要使△ABE是銳角三角形，只需滿足∠AEB為銳角．又△ABE是等腰三角形，其中|AE|＝|BE|，所以只需滿足∠AEF＜45.在Rt△AFE中，tan∠AEF＝＝＜1，即c2－ac－2a2＜0，兩邊同除以a2，得e2－e－2＜0，所以－1＜e＜2.又e＞1，所以離心率e的取值范圍是(1,2)． 15．已知雙曲線C1：x2－＝1. (1)求與雙曲線C1有相同的焦點，且過點P(4，)的雙曲線C2的標準方程； (2)直線l：y＝x＋m分別交雙曲線C1的兩條漸近線于A，B兩點，當＝3時，求實數(shù)m的值． 考點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點　直線與雙曲線的其它問題 解　(1)雙曲線C1的焦點坐標為(，0)，(－，0)， 設(shè)雙曲線C2的標準方程為－＝1(a>0，b>0)， 則解得 所以雙曲線C2的標準方程為－y2＝1. (2)雙曲線C1的漸近線方程為y＝2x，y＝－2x， 設(shè)A(x1,2x1)，B(x2，－2x2)， 由消去y化簡得3x2－2mx－m2＝0， 由Δ＝(－2m)2－43(－m2)＝16m2>0，得m≠0. 因為x1x2＝－， ＝x1x2＋2x1(－2x2)＝－3x1x2＝m2， 所以m2＝3，即m＝.