2018-2019學年高中數(shù)學 第一講 坐標系專題檢測試卷 新人教A版選修4-4.docx

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第一講 坐標系 專題檢測試卷(一) (時間：90分鐘　滿分：120分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分) 1．已知曲線C的極坐標方程ρ＝2cos2θ，給定兩點P，Q(2，π)，則有(　　) A．P在曲線C上，Q不在曲線C上 B．P，Q都不在曲線C上 C．P不在曲線C上，Q在曲線C上 D．P，Q都在曲線C上 答案　C 2．將曲線C按伸縮變換公式變換，得到的曲線方程為x′2＋y′2＝1，則曲線C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C．4x2＋9y2＝36 D．4x2＋9y2＝1 答案　D 解析　把代入x′2＋y′2＝1，可得到關于x，y的式子，即得曲線C的方程，∴4x2＋9y2＝1即為所求． 3．直角坐標為(3－，3＋)的點的極坐標可能是(　　) A. B. C. D. 答案　B 4．將點的柱坐標化為直角坐標為(　　) A．(，1,3) B．(1，，3) C．(1,2,3) D．(2,1,3) 答案　A 5．圓ρ＝5cosθ－5sinθ的圓心坐標是(　　) A. B. C. D. 答案　A 6．在極坐標系中，點A與B之間的距離為(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　B 解析　由A與B知，∠AOB＝，∴△AOB為等邊三角形，因此|AB|＝2. 7．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的圖形是(　　) A．兩條直線 B．四條直線 C．兩個點 D．四個點 答案　D 解析　由方程得 解得或或或故選D. 8．在極坐標系中，直線θ＝(ρ∈R)截圓ρ＝2cos所得弦長是(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　B 解析　化圓的極坐標方程ρ＝2cos為直角坐標方程，得2＋2＝1，圓心坐標為，半徑為1，化直線θ＝(ρ∈R)的直角坐標方程為x－y＝0，由于－＝0，即直線x－y＝0，過圓2＋2＝1的圓心，故直線θ＝(ρ∈R)截圓ρ＝2cos所得弦長為2. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 9．點A的直角坐標為，則它的球坐標為________． 答案　 解析　r＝＝6. cosφ＝＝，∴φ＝.tanθ＝＝，∴θ＝. ∴它的球坐標為. 10．在極坐標系中，點A關于直線l：ρcosθ＝1的對稱點的一個極坐標為________． 答案　 解析　由直線l的方程可知直線l過點(1,0)且與極軸垂直，設A′是點A關于l的對稱點， 則四邊形OBA′A是正方形，∠BOA′＝，且OA′＝2， 故A′的極坐標可以是. 11．已知點A是曲線ρ＝2cosθ上任意一點，則點A到直線ρsin＝4的距離的最大值是________． 答案　 解析　曲線ρ＝2cosθ，即(x－1)2＋y2＝1，表示圓心為(1,0)，半徑為1的圓，直線ρsin＝4，即x＋y－8＝0，圓心(1,0)到直線的距離等于＝，所以點A到直線ρsin＝4的距離的最大值是＋1＝. 12．在極坐標系中，直線ρ(cosθ－sinθ)＝2與圓ρ＝4sinθ的交點的極坐標為________． 答案　 解析　直線ρ(cosθ－sinθ)＝2， 即x－y－2＝0，圓ρ＝4sinθ， 即x2＋(y－2)2＝4，表示以(0,2)為圓心，半徑為2的圓， 由得故直線和圓的交點坐標為(，1)， 故它的極坐標為. 三、解答題(本大題共6小題，共60分) 13．(10分)在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€(x－5)2＋(y＋6)2＝1，求曲線C的方程，并判斷其形狀． 解　∵經(jīng)過伸縮變換后， 曲線C變?yōu)榍€(x－5)2＋(y＋6)2＝1， ∴(x′，y′)適合方程(x－5)2＋(y＋6)2＝1， 即(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1， ∴(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1， ∴2＋(y＋3)2＝. ∴曲線C的方程為2＋(y＋3)2＝，曲線是以為圓心，半徑為的圓． 14．(10分)已知曲線C1的極坐標方程為ρcos＝－1，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2cos，判斷兩曲線的位置關系． 解　將曲線C1，C2化為直角坐標方程，得C1：x＋y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，圓心到直線的距離d＝＝>， ∴曲線C1與C2相離． 15．(10分)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：x＋y＝2.以O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系． (1)將圓C和直線l的方程化為極坐標方程； (2)P是l上的點，射線OP交圓C于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ||OP|＝|OR|2，當點P在l上移動時，求點Q軌跡的極坐標方程． 解　(1)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入圓C和直線l的直角坐標方程得其極坐標方程為C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2. (2)設P，Q，R的極坐標分別為(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 則由|OQ||OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ. 又ρ2＝2，ρ1＝， 所以＝4， 故點Q軌跡的極坐標方程為ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)． 16．(10分)如圖所示，在柱坐標系中，長方體OABC—O1A1B1C1的兩個頂點的坐標分別為A1(2,0,3)，C，求此長方體的外接球的表面積． 解　在柱坐標系中，由A1(2,0,3)，C， 得|OA|＝2，|OO1|＝3，|OC|＝4， ∴長方體的體對角線|OB1|＝＝， ∴長方體的外接球的半徑為， 故該長方體的外接球的表面積S＝4π2＝29π. 17．(10分)已知圓M的極坐標方程為ρ2－4ρcos＋6＝0，求ρ的最大值． 解　原方程化為ρ2－4ρ＋6＝0， 即ρ2－4(ρcosθ＋ρsinθ)＋6＝0. 故圓的直角坐標方程為x2＋y2－4x－4y＋6＝0. 圓心為M(2,2)，半徑為. 故ρmax＝|OM|＋＝2＋＝3. 18．(10分)從極點O引一條直線和圓ρ2－2aρcosθ＋a2－r2＝0相交于一點Q，點P分線段OQ的比為m：n，求點Q在圓上移動時，點P的軌跡方程，并指出它表示什么曲線． 解　設點P，Q的極坐標分別為(ρ，θ)和(ρ1，θ1)， 由題設知將其代入圓的方程， 得2－2acosθ＋a2－r2＝0， 整理得(m＋n)2ρ2－2am(m＋n)ρcosθ＋m2(a2－r2)＝0， ∴點P的軌跡方程為(m＋n)2ρ2－2am(m＋n)ρcosθ＋m2(a2－r2)＝0，它表示一個圓．