2019高考數學二輪復習 專題六 解析幾何 2.6.3 直線與圓錐曲線的位置關系學案 理.doc
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2.6.3 直線與圓錐曲線的位置關系 1.(2018全國卷Ⅰ)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點(-2,0)且斜率為的直線與C交于M,N兩點,則=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 [解析] 設M(x1,y1),N(x2,y2).由已知可得直線的方程為y=(x+2),即x=y(tǒng)-2,由得y2-6y+8=0. 由根與系數的關系可得y1+y2=6,y1y2=8, ∴x1+x2=(y1+y2)-4=5,x1x2==4,∵F(1,0),∴=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=4-5+1+8=8,故選D. [答案] D 2.(2017全國卷Ⅰ)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為( ) A.16 B.14 C.12 D.10 [解析] 由題意可知,點F的坐標為(1,0),直線AB的斜率存在且不為0,故設直線AB的方程為x=my+1. 由得y2-4my-4=0, 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則y1+y2=4m,y1y2=-4, ∴x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2, ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=4m2+4. ∵AB⊥DE,∴直線DE的方程為x=-y+1,|DE|=+4, ∴|AB|+|DE|=4m2+4++4 =4+8≥42+8=16, 當且僅當m2=,即m=1時,等號成立. ∴|AB|+|DE|的最小值為16.故選A. [答案] A 3.(2018全國卷Ⅲ)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若∠AMB=90,是k=________. [解析] 由題意可知C的焦點坐標為(1,0),所以過焦點(1,0),斜率為k的直線方程為x=+1,設A,B,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得整理得y2-y-4=0,從而得y1+y2=,y1y2=-4. ∵M(-1,1),∠AMB=90,∴=0, 即+(y1-1)(y2-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2. [答案] 2 4.(2018全國卷Ⅱ)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程. [解] (1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0), 設A(x1,y1),B(x2,y2). 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2=. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=. 由題設知=8,解得k=-1(舍去),或k=1, 因此l的方程為y=x-1. (2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5. 設所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則 解得或 因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144. 圓錐曲線的綜合問題多以解答題的形式考查,常作為壓軸題出現在第20題的位置,一般難度較大.直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡方程、定點、定值、最值、范圍以及存在性問題都是考查的重點,常與向量、函數、不等式等知識結合.解題時,常以直線與圓錐曲線的位置關系為突破口,利用設而不求、整體代換的技巧求解,要注重數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想以及轉化與化歸思想在解題中的指導作用.- 配套講稿:
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