2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 橢圓的幾何性質(zhì)（第3課時(shí)）直線與橢圓的位置關(guān)系（二）學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

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第3課時(shí)　直線與橢圓的位置關(guān)系(二) 題型一　弦長(zhǎng)問題 例1　已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(－，0)，B(，0)連線的斜率的積為定值－. (1)試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C； (2)設(shè)直線l：y＝kx＋1與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|＝時(shí)，求直線l的方程. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)， 由題意得kPAkPB＝－. ∴＝－，化簡(jiǎn)整理得＋y2＝1. 故P點(diǎn)的軌跡方程C是＋y2＝1(x≠)． (2)設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0. Δ＝16k2－4(1＋2k2)＝8k2－4>0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝0. |MN|＝＝， 整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍)． ∴k＝1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意． ∴直線l的方程是y＝x＋1， 即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. 反思感悟　求弦長(zhǎng)的兩種方法 (1)求出直線與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)． (2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式：|P1P2|＝，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長(zhǎng)． 跟蹤訓(xùn)練1　已知斜率為1的直線l過橢圓＋y2＝1的右焦點(diǎn)F，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 由橢圓方程知a2＝4，b2＝1，∴c＝＝， ∴F(，0)，∴直線l的方程為y＝x－， 將其代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)、整理得5x2－8x＋8＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝＝. 題型二　中點(diǎn)弦問題 例2　已知橢圓＋＝1的弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，求直線AB的方程． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　方法一　根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式法 由橢圓的對(duì)稱性，知直線AB的斜率存在， 設(shè)直線AB的方程為y－1＝k(x－2)． 將其代入橢圓方程并整理， 得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根， 于是x1＋x2＝. 又M為線段AB的中點(diǎn)， ∴＝＝2，解得k＝－. 故所求直線的方程為x＋2y－4＝0. 方法二　點(diǎn)差法 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2. ∵M(jìn)(2,1)為線段AB的中點(diǎn)， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B兩點(diǎn)在橢圓上， 則x＋4y＝16，x＋4y＝16， 兩式相減，得(x－x)＋4(y－y)＝0， 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝－＝－＝－， 即kAB＝－. 故所求直線的方程為x＋2y－4＝0. 方法三　對(duì)稱點(diǎn)法(或共線法) 設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A(x，y)， 由于點(diǎn)M(2,1)為線段AB的中點(diǎn)， 則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4－x,2－y)． ∵A，B兩點(diǎn)都在橢圓上， ∴ ①－②，得x＋2y－4＝0. 即點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)B的坐標(biāo)也滿足這個(gè)方程，而過A，B兩點(diǎn)的直線只有一條，故所求直線的方程為x＋2y－4＝0. 反思感悟　解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法 ①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決． ②點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓＋＝1(a>b>0)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，M(x0，y0)是線段AB的中點(diǎn)，則 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，變形得＝－＝－，即kAB＝－. 跟蹤訓(xùn)練2　已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　D 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 ①－②得＝－. ∴＝－. ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝. 而kAB＝＝，∴＝，∴a2＝2b2， ∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3， ∴E的方程為＋＝1. 題型三　與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題 例3　已知橢圓C：4x2＋y2＝1. (1)P(m，n)是橢圓C上一點(diǎn)，求m2＋n2的取值范圍； (2)設(shè)直線y＝x＋m與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值及△AOB面積最大時(shí)的直線方程． 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題 解　(1)m2＋n2表示原點(diǎn)O到橢圓C上點(diǎn)P的距離的平方， 則m2＋n2∈. (2)可求得O到AB的距離d＝， 將y＝x＋m代入4x2＋y2＝1， 消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0. 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， |AB|＝ ＝＝， Δ＝(2m)2－45(m2－1)＝20－16m2>0，－b>0)，過點(diǎn)A(－a,0)，B(0，b)的直線傾斜角為，原點(diǎn)到該直線的距離為. (1)求橢圓的方程； (2)斜率大于零的直線過D(－1,0)與橢圓分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若＝2，求直線EF的方程； (3)對(duì)于D(－1,0)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線y＝kx＋2分別交橢圓于點(diǎn)P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由． 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　求橢圓中的直線方程 解　(1)由＝，ab＝， 得a＝，b＝1， 所以橢圓的方程是＋y2＝1. (2)設(shè)EF：x＝my－1(m>0)代入＋y2＝1， 得(m2＋3)y2－2my－2＝0. 設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)． 由＝2，得y1＝－2y2， 由y1＋y2＝－y2＝，y1y2＝－2y＝得2＝， ∴m＝1或m＝－1(舍去)， 直線EF的方程為x＝y(tǒng)－1，即x－y＋1＝0. (3)記P(x1′，y1′)，Q(x2′，y2′)． 將y＝kx＋2代入＋y2＝1， 得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，(*) x1′，x2′是此方程的兩個(gè)相異實(shí)根． 設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，則xM＝＝－， yM＝kxM＋2＝， 由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ， ∴kDM＝＝＝－， ∴3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝. 但k＝1，k＝均使方程(*)沒有兩相異實(shí)根． 故這樣的k不存在． [素養(yǎng)評(píng)析]　本例(2)(3)均采用了“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)運(yùn)算策略，特別(3)利用定點(diǎn)D與弦端點(diǎn)的幾何關(guān)系，由設(shè)而不求的思想方法，轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)關(guān)系，構(gòu)造出關(guān)于k的方程，減小了數(shù)學(xué)運(yùn)算的難度，提高了解題效率. 1．若直線l：2x＋by＋3＝0過橢圓C：10x2＋y2＝10的一個(gè)焦點(diǎn)，則b等于(　　) A．1B．1C．－1D．2 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　因?yàn)闄E圓x2＋＝1的焦點(diǎn)F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，所以b＝1或－1. 2．直線y＝x＋1被橢圓＋＝1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　聯(lián)立消去y，得3x2＋4x－2＝0， 設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－， 故AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)x0＝＝－. 縱坐標(biāo)y0＝x0＋1＝－＋1＝. 3．已知橢圓的方程是x2＋2y2－4＝0，則以M(1,1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是(　　) A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　求橢圓中的直線方程 答案　A 解析　由題意易知所求直線的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)M(1,1)的直線方程為y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k. 由消去y， 得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0， 所以＝＝1，解得k＝－， 所以所求直線方程為y＝－x＋， 即x＋2y－3＝0. 4．過橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)F作與x軸垂直的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓的面積是________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　 解析　由題意可知，在＋＝1中，c＝＝， 故F(，0)． 當(dāng)x＝時(shí)，y＝3＝， 所以|AB|＝， 所以以AB為直徑的圓的面積是π2＝. 5．求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被橢圓＋＝1所截得的線段的長(zhǎng)度． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)， 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線方程代入橢圓方程得＋＝1， 即x2－3x－8＝0. ∴x1＋x2＝3，x1x2＝－8. ∴|AB|＝ ＝＝. 解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題，經(jīng)常利用設(shè)而不求的方法，解題步驟為： (1)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)聯(lián)立直線與橢圓的方程； (3)消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程； (4)利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求； (5)把題干中的條件轉(zhuǎn)化為x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，進(jìn)而求解． 一、選擇題 1．斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為(　　) A．2B.C.D. 答案　C 解析　設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 直線l的方程為y＝x＋t， 由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0， 則x1＋x2＝－t，x1x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝＝， 當(dāng)t＝0時(shí)，|AB|max＝. 2．已知F是橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，AB為過橢圓中心的一條弦，則△ABF面積的最大值為(　　) A．6B．15C．20D．12 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　D 解析　S＝|OF||y1－y2|≤|OF|2b＝12. 3．已知F1為橢圓C：＋y2＝1的左焦點(diǎn)，直線l：y＝x－1與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，那么|F1A|＋|F1B|的值為(　　) A.B.C.D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　由聯(lián)立得3x2－4x＝0， 可知A(0，－1)，B， 又F1(－1,0)， ∴|F1A|＋|F1B|＝＋＝. 4．橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所在直線的斜率為，則的值是(　　) A.B.C.D. 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與橢圓相交時(shí)弦中點(diǎn)問題 答案　A 解析　聯(lián)立方程組可得 即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)P(x0，y0)， 則x0＝＝，y0＝1－x0＝1－＝， 所以kOP＝＝＝. 5．已知直線y＝－x＋1與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓的離心率為，焦距為2，則線段AB的長(zhǎng)是(　　) A.B．2C.D. 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與橢圓相交求弦長(zhǎng)與三角形面積 答案　D 解析　由題意得橢圓方程為＋y2＝1， 聯(lián)立化簡(jiǎn)得3x2－4x＝0， 得x＝0或x＝，代入直線方程得 或 不妨設(shè)A(0,1)，B， 所以|AB|＝＝. 6．經(jīng)過橢圓＋y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn)．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于(　　) A．－3 B．－ C．－或－3 D． 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與橢圓相交的其他問題 答案　B 解析　由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，焦點(diǎn)為(1,0)． 不妨設(shè)直線l過右焦點(diǎn)，傾斜角為45，直線l的方程為y＝x－1. 代入＋y2＝1得x2＋2(x－1)2－2＝0， 即3x2－4x＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1x2＝0，x1＋x2＝，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－＝－， 所以＝x1x2＋y1y2＝0－＝－. 7．設(shè)斜率為的直線l與橢圓＋＝1(a>b>0)交于不同的兩點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為(　　) A.B.C.D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)是－c，c， 所以兩個(gè)交點(diǎn)分別為，， 代入橢圓方程得＋＝1， 兩邊乘以2a2b2，則c2(2b2＋a2)＝2a2b2， ∵b2＝a2－c2， c2(3a2－2c2)＝2a4－2a2c2， 2a4－5a2c2＋2c4＝0， (2a2－c2)(a2－2c2)＝0， ＝2或， ∵0b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點(diǎn)是M(－4,1)，則橢圓的離心率是________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　 解析　設(shè)直線x－y＋5＝0與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直線AB的斜率k＝＝1. 由兩式相減得 ＋＝0， ∴＝－＝1，∴＝， 故橢圓的離心率e＝＝＝. 11．已知P(1,1)為橢圓＋＝1內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過P引一條弦，使此弦被P點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為________________． 答案　x＋2y－3＝0 解析　方法一　易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)其方程為y－1＝k(x－1)，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由 消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0， ∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2， ∴＝2，解得k＝－. 故此弦所在的直線方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 方法二　易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＋＝1，① ＋＝1，② ①－②得＋＝0， ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－. ∴此弦所在的直線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 三、解答題 12．已知橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，經(jīng)過點(diǎn)F1的一條直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)． (1)求△ABF2的周長(zhǎng)； (2)若直線AB的傾斜角為，求弦長(zhǎng)|AB|. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　(1)橢圓＋＝1，a＝2，b＝，c＝1， 由橢圓的定義，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4， |BF1|＋|BF2|＝2a＝4， 又|AF1|＋|BF1|＝|AB|， ∴△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8. (2)由(1)可得F1(－1,0)， ∵AB的傾斜角為，則AB的斜率為1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 故直線AB的方程為y＝x＋1， 由整理得7y2－6y－9＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝，y1y2＝－， 則由弦長(zhǎng)公式 |AB|＝ ＝＝. 13．橢圓ax2＋by2＝1與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點(diǎn)，C是線段AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AB|＝2，直線OC的斜率為，求橢圓的方程． 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與橢圓相交時(shí)弦中點(diǎn)問題 解　易知a>0，b>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則由題意得ax＋by＝1，① ax＋by＝1，② ②－①，得 a(x1＋x2)(x2－x1)＋b(y2＋y1)(y2－y1)＝0. ∵＝kAB＝－1，＝kOC＝， ∴b＝a. 又|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2， ∴|x2－x1|＝2. 由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4＝4， 將b＝a代入上式，得a＝，b＝， ∴所求橢圓的方程為＋y2＝1. 14．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)在橢圓＋＝1上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，||＝1，且＝0，則||的最小值是________． 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與橢圓相交的其他問題 答案　 解析　由||＝1，A(3,0)， 知點(diǎn)M在以A(3,0)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)， ∵＝0且P在橢圓上運(yùn)動(dòng)， ∴PM⊥AM，即PM為⊙A的切線，連接PA(如圖)， 則||＝＝， ∴當(dāng)||min＝a－c＝5－3＝2時(shí)，||min＝. 15．已知點(diǎn)P是圓O：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)QP到點(diǎn)M，使＝. (1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程； (2)過點(diǎn)C(m,0)作圓O的切線l，交(1)中的曲線E于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值． 解　(1)設(shè)M(x，y)，∵＝， ∴P為QM的中點(diǎn)，又有PQ⊥y軸，∴P， ∵點(diǎn)P是圓O：x2＋y2＝1上的點(diǎn)，∴2＋y2＝1， 即點(diǎn)M的軌跡E的方程為＋y2＝1. (2)由題意可知直線l與y軸不垂直， 故可設(shè)l：x＝ty＋m，t∈R，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵l與圓O：x2＋y2＝1相切， ∴＝1，即m2＝t2＋1，① 由 消去x，并整理得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0， 其中Δ＝4m2t2－4(t2＋4)(m2－4)＝48>0， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝.② ∴|AB|＝ ＝， 將①②代入上式得 |AB|＝＝，|m|≥1， ∴S△AOB＝|AB|1＝ ＝≤＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)|m|＝，即m＝時(shí)，等號(hào)成立， ∴△AOB面積的最大值為1.