2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第7講 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)專題突破 文.doc

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第7講　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 1.(1)[2015全國(guó)卷Ⅰ] 函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖像如圖M2-7-1所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (　　) 圖M2-7-1 A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z (2)[2016全國(guó)卷Ⅰ] 將函數(shù)y=2sin2x+的圖像向右平移個(gè)周期后,所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 (　　) A.y=2sin2x+　　　　　　B.y=2sin2x+ C.y=2sin2x- D.y=2sin2x- [試做]__________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 命題角度　三角函數(shù)圖像平移問題和求解析式問題 (1)解決三角函數(shù)圖像平移問題:關(guān)鍵一,有兩種途徑,“先平移后伸縮”和“先伸縮后平移”; 關(guān)鍵二,ωx+φ=ωx+. 利用圖像變換求三角函數(shù)解析式問題: 關(guān)鍵一,確定圖像的變換方向(左加右減、上加下減、橫縱坐標(biāo)的伸長(zhǎng)或縮短); 關(guān)鍵二,根據(jù)不同的變換形式變換已知解析式. (2)利用圖像求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式時(shí),常采用待定系數(shù)法:由圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求A,由函數(shù)的周期求ω,確定φ時(shí)常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解,或由圖像上的某一特殊點(diǎn)求出φ的值. 2.[2016全國(guó)卷Ⅱ] 函數(shù)f(x)=cos 2x+6cos-x的最大值為 (　　) A.4　　　　　B.5　　　　　C.6　　　　　D.7 [試做] __________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 命題角度　三角函數(shù)的有界性 利用三角函數(shù)的有界性求最值問題:方法一,利用誘導(dǎo)公式、三角恒等變換,將函數(shù)化為關(guān)于sin x和cos x的二次函數(shù),采用配方法求最值; 方法二,利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式將函數(shù)化為f(x)=Asin(ωx+φ)+b(或f(x)=Acos(ωx+φ)+b)的形式,根據(jù)三角函數(shù)的有界性運(yùn)用整體思想求最值. 3.【引全國(guó)卷】 [2014全國(guó)卷Ⅰ] 在函數(shù)①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos2x+,④y=tan2x-中,最小正周期為π的所有函數(shù)為 (　　) A.①②③　　　B.①③④　　　C.②④　　　D.①③ [試做]__________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 【薦地方卷】 [2018江蘇卷] 已知函數(shù)y=sin(2x+φ)-<φ<的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱,則φ的值為　　　　. 命題角度　三角函數(shù)圖像與性質(zhì)問題 (1)解決三角函數(shù)圖像與性質(zhì)問題:關(guān)鍵一,將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+b(或f(x)=Acos(ωx+φ)+b)(A>0,ω>0)的形式; 關(guān)鍵二,把ωx+φ看作一個(gè)整體t,根據(jù)y=sin t或y=cos t的單調(diào)區(qū)間或圖像的對(duì)稱軸,求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或原圖像的對(duì)稱軸; 關(guān)鍵三,最小正周期為. (2)對(duì)稱與周期:正弦曲線、余弦曲線的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心、相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期,相鄰對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期;正切曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離是個(gè)周期. 小題1三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式 1 (1)已知sin+α=,則sin-α= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.- C. D.- (2)已知sin α+cos α=,則sin αcos α的值為　　　　. [聽課筆記] ______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】 應(yīng)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值的易失分點(diǎn):(1)確定不了函數(shù)值的符號(hào),如由sin2α=求sin α的值;(2)誘導(dǎo)公式不熟,記憶與使用錯(cuò)誤. 【自我檢測(cè)】 1.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(m,-2m),其中m≠0,則sin α+cos α等于 (　　) A.- B. C.- D. 2.已知cosα+=,則sin-α的值等于 (　　) A. B.- C. D. 3.已知sin α+cos α=,則tan α= (　　) A. B. C.- D.- 小題2三角函數(shù)的圖像及應(yīng)用 2 (1)為了得到函數(shù)y=cos的圖像,只需將函數(shù)y=sin+的圖像 (　　) A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位 C.向左平移π個(gè)單位 D.向右平移π個(gè)單位 (2)函數(shù)f(x)=sin(πx+θ)|θ|<的部分圖像如圖M2-7-2,且f(0)=-,則圖中m的值為 (　　) 圖M2-7-2 A.1 B. C.2 D.或2 [聽課筆記] _______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】 三角函數(shù)圖像平移變換中的誤區(qū): (1)函數(shù)圖像的平移法則是“左加右減、上加下減”,但是左右平移變換只是針對(duì)x作的變換; (2)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像向左(右)平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后,其圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=sin[ω(xk)+φ],而不是g(x)=sin(ωxk+φ). 【自我檢測(cè)】 1.要得到函數(shù)y=sin2x+的圖像,只需將函數(shù)y=2sin xcos x的圖像 (　　) A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位 C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位 2.將最小正周期為π的函數(shù)f(x)=sinωx++cosωx+(ω>0)的圖像向右平移個(gè)單位后,所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 (　　) A.y=2sin2x- B.y=2cos2x- C.y=2sin 2x D.y=2cos2x- 3.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,φ< 的部分圖像如圖M2-7-3所示,為了得到g(x)=cos 2x的圖像,則只需將f(x)的圖像 (　　) 圖M2-7-3 A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 小題3三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 3 (1)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖像上相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為,且f=0,則下列說法正確的是 (　　) A.ω=2 B.函數(shù)y=f(x-π)為偶函數(shù) C.函數(shù)f(x)在-π,-上單調(diào)遞增 D.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱 (2)[2018全國(guó)卷Ⅱ] 若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是減函數(shù),則a的最大值是 (　　) A. B. C. D.π [聽課筆記] _______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】 利用三角函數(shù)的性質(zhì)解題時(shí)要注意以下兩點(diǎn):一是考查三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí),首先要將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再對(duì)比y=sin x的性質(zhì),即把ωx+φ看成一個(gè)整體處理,但是一定要滿足ω>0,否則易出錯(cuò);二是一定要結(jié)合圖像進(jìn)行分析. 【自我檢測(cè)】 1.函數(shù)f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)在-,上單調(diào)遞增,則ω的取值不可能為 (　　) A. B. C. D. 2.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+φ),其中常數(shù)φ滿足-π<φ<0.若函數(shù)g(x)=f(x)+f(x)(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù))是偶函數(shù),則φ等于 (　　) A.- B.-π C.- D.- 3.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為6,P,-2是該函數(shù)圖像上的一個(gè)最低點(diǎn),則該函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是 (　　) A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 小題4三角函數(shù)的值域與最值問題 4 函數(shù)f(x)=cos xsinx+-cos2x+在閉區(qū)間-,上的最小值是　　　　. [聽課筆記] ______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】 求三角函數(shù)的值域與最值問題的類型與求解策略:(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函數(shù),要根據(jù)三角恒等變換把函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+B的形式,再借助三角函數(shù)圖像與性質(zhì)確定值域與最值;(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函數(shù),轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)去求解;(3)形如y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c的三角函數(shù),可先設(shè)t=sin xcos x,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)去求解. 【自我檢測(cè)】 1.已知函數(shù)y=sin ωx+cos ωx(ω>0)在區(qū)間0,上的最小值為-1,則ω=　　　　. 2.已知函數(shù)y=cos2x+sin 2x-,x∈0,,則該函數(shù)的值域?yàn)椤　　　?  第7講　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 典型真題研析 1.(1)D　(2)D　[解析] (1)由圖知=-=1,所以T=2,即=2,所以ω=π.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像過點(diǎn),所以當(dāng)ω=π時(shí),+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z;當(dāng)ω=-π時(shí),+φ=-+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z.所以f(x)=cos,由2kπ<πx+<π+2kπ,解得2k-0時(shí),sin α==-,cos α==,∴sin α+cos α=-;當(dāng)m<0時(shí),sin α==,cos α==-,∴sin α+cos α=.綜上得sin α+cos α=,故選B. 2.A　[解析] 由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得sin-α=cos--α=cos+α=,故選A. 3.A　[解析] ∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=3,展開整理得sin2α+2cos2α+2sin αcos α=3, ∴=3,∴=3,即2tan2α-2tan α+1=0,得tan α=.故選A. 小題2 例2　(1)C　(2)B　[解析] (1)由題意可得,函數(shù)y=sin+=cos-=cos(x-π),所以只需把y=cos(x-π)的圖像向左平移π個(gè)單位就可得到函數(shù)y=cos的圖像.故選C. (2)由題意可得,f(0)=sin θ=-,∵|θ|<,∴θ=-,又f(m)=sinπm-=-,∴πm- =2kπ-或πm- =2kπ+,k∈Z,又由周期T==2,得00),令-+2kπ≤ωx-≤2kπ+,k∈Z,即- +≤x≤+,k∈Z.∵f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)在- ,上單調(diào)遞增,∴-≤-且≥,∴0<ω≤.故選D. 2.A　[解析] 由題意得g(x)=f(x)+f(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2cosx+φ+, ∵函數(shù)g(x)為偶函數(shù),∴φ+=kπ,k∈Z.又-π<φ<0,∴φ=-.故選A. 3.C　[解析] 由題意可得函數(shù)的最小正周期T=6,則ω===,結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)可得A=2,且ωx+φ=+φ=2kπ-(k∈Z),得φ=2kπ-π(k∈Z),所以函數(shù)的解析式為y=2sinx+2kπ-π=-2sinx,故其圖像對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足x=kπ(k∈Z),∴x=3k(k∈Z).取k=1,可得該函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為(3,0).故選C. 小題4 例4　-　[解析] f(x)=cos xsinx+-cos2x+=cos xsin x+cos x-+=sin 2x-cos 2x =sin2x-.因?yàn)閤∈-,,所以2x-∈-,,因此當(dāng)2x-=-時(shí),f(x)取得最小值-. 【自我檢測(cè)】 1.5　[解析] 由題意可得y=2sinωx+,∵x∈0,,∴ωx+∈,+,又∵函數(shù)的最小值為-1,∴+=,∴ω=5. 2.-,1　[解析] 函數(shù)y=cos2x+sin 2x-=+sin 2x-=sin 2x+cos 2x=sin2x+,因?yàn)閤∈0,,所以2x+∈,π, 故值域?yàn)? ,1. [備選理由] 有時(shí)會(huì)把一個(gè)代數(shù)式看成一個(gè)角,再利用誘導(dǎo)公式去化簡(jiǎn),靈活性更強(qiáng),把握已知和結(jié)論之間的聯(lián)系,備用例1是對(duì)例1的拓展和延伸;對(duì)于三角函數(shù)的單調(diào)性的考查,在某一個(gè)區(qū)間或者在某幾個(gè)區(qū)間上單調(diào)是個(gè)難點(diǎn)問題,備用例2是對(duì)例3的拓展和補(bǔ)充. 例1　[配例1使用] 已知sinx+=,則sin-x-cos2x-的值為　　　　. [答案] [解析] sin-x-cos2x- =sin2π-x+-cos 2x+- =- sinx++cos 2x+=-sinx++1-2sin2x+=- +1- = . 例2　[配例3使用] 將函數(shù)f(x)=cos 2x的圖像向右平移個(gè)單位得到g(x)的圖像,若g(x)在-2m,- 和3m,上都單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 (　　) A., B., C., D., [解析] A　由題意可得g(x)=cos 2x- ,其單調(diào)遞減區(qū)間為+kπ,+kπ,k∈Z,所以3m,?,,-2m,- ?- ,- ,所以得m∈,,故選A.