2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計(jì)數(shù)原理和概率 第3課時(shí) 二項(xiàng)式定理練習(xí) 理.doc

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第3課時(shí) 二項(xiàng)式定理 1．(2017衡水中學(xué)調(diào)研卷)若(－)n的展開(kāi)式中第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n＝(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　依題意，T4＝Cn3(－)3x－1，∵其展開(kāi)式中第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，∴－1＝0，∴n＝5.故選B. 2．(2017長(zhǎng)沙一模)(x2－)6的展開(kāi)式中(　　) A．不含x9項(xiàng) B．含x4項(xiàng) C．含x2項(xiàng) D．不含x項(xiàng) 答案　D 解析　Tr＋1＝(－1)rC6rx12－2rx－r＝(－1)rC6rx12－3r，故x的次數(shù)為12，9，6，3，0，－3，－6.選D. 3．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展開(kāi)式中一次項(xiàng)系數(shù)為(　　) A．Cn2 B．Cn＋12 C．Cnn－1 D.Cn＋13 答案　B 解析　1＋2＋3＋…＋n＝＝Cn＋12. 4．(1－)4(1＋)4的展開(kāi)式中x的系數(shù)是(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 答案　A 解析　原式＝(1－)4(1＋)4＝(1－x)4，于是x的系數(shù)是C41(－1)＝－4. 5．(x2－x＋1)10展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為(　　) A．－210 B．210 C．30 D．－30 答案　A 解析　(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C100(x2)10－C101(x2)9(x－1)＋…－C109x2(x－1)9＋C1010(x－1)10，所以含x3項(xiàng)的系數(shù)為－C109C98＋C1010(－C107)＝－210，故選A. 6．(2018杭州學(xué)軍中學(xué))二項(xiàng)式(ax＋)6的展開(kāi)式的第二項(xiàng)的系數(shù)為－，則x2dx的值為(　　) A. B．3 C．3或 D．3或－ 答案　A 解析　二項(xiàng)展開(kāi)式的第二項(xiàng)為T(mén)2＝C61(ax)5，則由題意有C61a5＝－，解得a＝－1，所以x2dx＝x3－2＝－－(－)＝. 7．(2017山東師大附中月考)設(shè)復(fù)數(shù)x＝(i為虛數(shù)單位)，則C2 0171x＋C2 0172x2＋C2 0173x3＋…＋C2 0172 017x2 017＝(　　) A．i B．－i C．－1＋i D．1＋i 答案　C 解析　x＝＝－1＋i，C2 0171x＋C2 0172x2＋…＋C2 0172 017x2 017＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1，故選C. 8．(2018湖北宜昌一中模擬)二項(xiàng)式(－x)n的展開(kāi)式中含有x2項(xiàng)，則n可能的取值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　D 解析　展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Cnk()n－k(－x)k＝(－1)kCnkx－n，由－n＝2，得n＝－2.k＝4時(shí)，n＝8，選D. 9．若(x＋)(2x－)5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．－40 B．－20 C．20 D．40 答案　D 解析　令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1. ∴(2x－)5的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C5r(2x)5－r(－)r＝(－1)r25－rC5rx5－2r. 令5－2r＝1，得r＝2.令5－2r＝－1，得r＝3. ∴展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為(－1)223C52＋(－1)322C53＝80－40＝40. 10．(2017湖北四校聯(lián)考)(＋4x2＋4)3展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．120 B．160 C．200 D．240 答案　B 解析　(＋4x2＋4)3＝(＋2x)6，展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C6r()6－r(2x)r＝C6r2rx2r－6，令2r－6＝0，可得r＝3，故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為160. 另解：展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為：43＋C314C214＝64＋96＝160. 11．(2018廣東普寧一中期末)若(x6＋)n的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　(x6＋)n展開(kāi)式的通項(xiàng)為Cnr(x6)n－r(x－)r＝Cnrx6n－r，r＝0，1，2，…，n，則依題設(shè)，由6n－r＝0，得n＝r，∴n的最小值等于5. 12．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案　B 解析　(x－1)4＝1＋C41x(－1)3＋C42x2(－1)2＋C43x3(－1)＋x4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4， ∴a0＝1，a2＝C42＝6，a4＝1. ∴a0＋a2＋a4＝8. 13．(2018西安五校聯(lián)考)從(＋)20的展開(kāi)式中任取一項(xiàng)，則取到有理項(xiàng)的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　(＋)20的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝C20k()20－k()k＝C20kx5－k，其中k＝0，1，2，…，20. 而當(dāng)k＝0，4，8，12，16，20時(shí)，5－k為整數(shù)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)， 所以從(＋)20的展開(kāi)式中任取一項(xiàng)， 則取到有理項(xiàng)的概率為P＝＝. 14．(2017衡水中學(xué)調(diào)研卷)設(shè)a，b，m為整數(shù)(m>0)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱(chēng)a和b對(duì)模m同余，記為a≡b(modm)．若a＝C200＋C2012＋C20222＋…＋C2020220，a≡b(mod10)，則b的值可以是(　　) A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021 答案　D 解析　a＝C200＋C2012＋C20222＋…＋C2020220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余數(shù)為1，又a≡b(mod10)，所以b的值可以是2 021. 15．(2018廣東湛江調(diào)研)若(2x－1)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018(x∈R)，記S2 018＝ ，則S2 018的值為_(kāi)_______． 答案?。? 解析　令x＝0，則a0＝1.令x＝，則(2－1)2 018＝a0＋＋＋…＋＝1＋ ＝0，∴S2018＝ ＝－1. 16．(x＋2)10(x2－1)的展開(kāi)式中x10的系數(shù)為_(kāi)_______． 答案　179 解析　(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10， 本題求x10的系數(shù)，只要求(x＋2)10展開(kāi)式中x8及x10的系數(shù)Tr＋1＝C10rx10－r 2r. 取r＝2，r＝0得x8的系數(shù)為C10222＝180， x10的系數(shù)為C100＝1， ∴所求系數(shù)為180－1＝179. 17．在(ax－1)6的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若中間項(xiàng)的系數(shù)是160，則實(shí)數(shù)a＝________． 答案?。? 解析　∵在(ax－1)6的二項(xiàng)展開(kāi)式中共有7項(xiàng)，展開(kāi)式的中間項(xiàng)為第4項(xiàng)，此時(shí)T4＝C63(ax)3(－1)3，∴中間項(xiàng)的系數(shù)為－a3C63＝－20a3＝160，∴a＝－2. 18．若(x－)8的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1 120，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為_(kāi)_______． 答案　1 解析　(x－)8的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C8rx8－r(－a2)rx－r＝C8r(－a2)rx8－2r，令8－2r＝0，解得r＝4，所以C84(－a2)4＝1 120，所以a2＝2，故(x－)8＝(x－)8.令x＝1，得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(1－2)8＝1. 19．設(shè)函數(shù)f(x，n)＝(1＋x)n(n∈N*)． (1)求f(x，6)的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)； (2)若f(i，n)＝32i(i為虛數(shù)單位)，求Cn1－Cn3＋Cn5－Cn7＋Cn9. 答案　(1)20x3　(2)32 解析　(1)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)T4＝C63x3＝20x3. (2)由已知(1＋i)n＝32i，兩邊取模，得()n＝32，所以n＝10. 所以Cn1－Cn3＋Cn5－Cn7＋Cn9＝C101－C103＋C105－C107＋C109，而(1＋i)10＝C100＋C101i＋C102i2＋…＋C109i9＋C1010i10＝(C100－C102＋C104－C106＋C108－C1010)＋(C101－C103＋C105－C107＋C109)i＝32i，所以C101－C103＋C105－C107＋C109＝32. 1．(2018四川綿陽(yáng)模擬)在(－)8的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是(　　) A．－28 B．－7 C．7 D．28 答案　C 解析　∵展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr＋1＝C8r()8－r(－x－)r＝C8r()8－r(－1)rx8－r，當(dāng)8－r＝0時(shí)，r＝6，∴常數(shù)項(xiàng)是C86()2(－1)6＝7. 2．(2017保定模擬)(－2x2)5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是(　　) A．5 B．－5 C．10 D．－10 答案　D 解析　常數(shù)項(xiàng)為C51()4(－2x2)＝－10. 3．(2015湖南，理)已知(－)5的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a＝(　　) A. B．－ C．6 D．－6 答案　D 解析　由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)可得 Tr＋1＝C5r()5－r(－)r＝(－a)rC5rx－＝(－a)rC5rx－r，令－r＝，得r＝1，所以(－a)rC5r＝(－a)C51＝30，則a＝－6，故選D. 4．(2018四川成都七中月考)化簡(jiǎn)2n－Cn12n－1＋Cn22n－2＋…＋(－1)n－1Cnn－12＝(　　) A．1 B．(－1)n C．1＋(－1)n D．1－(－1)n 答案　D 解析　2n－Cn12n－1＋Cn22n－2＋…＋(－1)n－1Cnn－12＝Cn02n(－1)0－Cn12n－1＋Cn22n－2＋…＋(－1)n－1Cnn－12＋(－1)nCnn20－(－1)nCnn20＝(2－1)n－(－1)n＝1－(－1)n. 5．已知(xcosθ＋1)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)與(x＋)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)相等，且θ∈(0，π)，則θ＝(　　) A. B.或 C. D.或 答案　B 解析　由二項(xiàng)式定理知(xcosθ＋1)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為C53cos2θ，(x＋)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為C41，所以C53cos2θ＝C41，解得cos2θ＝，解得cosθ＝，又θ∈(0，π)，所以θ＝或，故選B. 6．已知(1＋ax)(1＋x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為5，則a＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 答案　D 解析　方法一：(1＋x)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C5rxr(0≤r≤5，r∈Z)，則(1＋ax)(1＋x)5的展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)為C52x2＋axC51x＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，解得a＝－1.故選D. 方法二：(1＋ax)(1＋x)5是6個(gè)因式之積，所以展開(kāi)式中x2的系數(shù)為C52＋aC51＝10＋5a，所以10＋5a＝5，解得a＝－1.故選D. 7．已知(3x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，設(shè)(3x－1)n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，則(　　) A．Sn>Tn B．SnTn D．Sn＝Tn 答案　C 解析　由題意知Sn＝2n，令x＝0，得a0＝(－1)n，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n，所以Tn＝2n－(－1)n，故選C. 8．設(shè)(5x－)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，M－N＝240，則展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為(　　) A．500 B．－500 C．150 D．－150 答案　C 解析　N＝2n，令x＝1，則M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2， ∴(2n)2－2n＝240，2n＝16，n＝4. 展開(kāi)式中第r＋1項(xiàng)Tr＋1＝C4r(5x)4－r(－)r ＝(－1)rC4r54－rx4－. 令4－＝3，即r＝2，此時(shí)C4252(－1)2＝150. 9．已知在(－)n的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)分別是________． 答案　x2，－，x－2 解析　(－)n的展開(kāi)式中的通項(xiàng)Tr＋1＝Cnr(－)rx，因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r＝5時(shí)，有＝0，即n＝10.根據(jù)通項(xiàng)，由題意得令＝k(k∈Z)，則10－2r＝3k，即r＝5－k，所以0≤5－k≤10，解得－≤k≤，又k∈Z，r∈Z，所以k可取2，0，－2，即r可取2，5，8，所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為x2，－，x－2. 10．在(1＋x＋)10的展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_______(結(jié)果用數(shù)值表示)． 答案　45 解析　因?yàn)?1＋x＋)10＝[(1＋x)＋]10＝(1＋x)10＋C101(1＋x)9＋…＋C1010()10，所以x2項(xiàng)只能在(1＋x)10的展開(kāi)式中，即C102x2，系數(shù)為C102＝45. 11．(2016北京)在(1－2x)6的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為_(kāi)_______．(用數(shù)字作答) 答案　60 解析　二項(xiàng)式(1－2x)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝C6r(－2x)r＝C6r(－2)rxr，令r＝2，則x2的系數(shù)為C62(－2)2＝60. 12．(2017浙江)已知多項(xiàng)式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝________，a5＝________． 答案　16　4 解析　由題意知a4為含x的項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式定理得a4＝C3212C2222＋C3313C212＝16，a5是常數(shù)項(xiàng)，所以a5＝C3313C2222＝4. 13．(2016山東)若(ax2＋)5的展開(kāi)式中x5的系數(shù)是－80，則實(shí)數(shù)a＝________． 答案　－2 解析　(ax2＋)5展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝C5ra5－rx10－2rx－＝C5ra5－rx10－r.令10－r＝5得r＝2，即C52a3＝－80，故a＝－2. 14．(1)求證：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除； (2)求S＝C271＋C272＋…＋C2727除以9的余數(shù)． 答案　(1)略　(2)7 解析　(1)證明：∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝ ＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝Cn031n＋Cn131n－1＋…＋Cnn－131＋Cnn－1 ＝31(Cn031n－1＋Cn131n－2＋…＋Cnn－1)， 顯然Cn031n－1＋Cn131n－2＋…＋Cnn－1為整數(shù)， ∴原式能被31整除． (2)S＝C271＋C272＋…＋C2727＝227－1＝89－1 ＝(9－1)9－1＝C9099－C9198＋…＋C989－C99－1 ＝9(C9098－C9197＋…＋C98)－2. ∵C9098－C9197＋…＋C98是整數(shù)， ∴S被9除的余數(shù)為7.