2019高考數(shù)學一輪復習 第9章 解析幾何 第11課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習 理.doc

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第11課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1．若過原點的直線l與雙曲線－＝1有兩個不同交點，則直線l的斜率的取值范圍是(　　) A.　　　　 B．(－，) C. D.∪ 答案　B 解析　∵－＝1，其兩條漸近線的斜率分別為k1＝－，k2＝，要使過原點的直線l與雙曲線有兩個不同的交點，畫圖可知，直線l的斜率的取值范圍應是∪. 2．已知橢圓x2＋2y2＝4，則以(1，1)為中點的弦的長度為(　　) A．3　　　　　　　　　 B．2 C. D. 答案　C 解析　設y－1＝k(x－1)，∴y＝kx＋1－k. 代入橢圓方程，得x2＋2(kx＋1－k)2＝4. ∴(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－4＝0. 由x1＋x2＝＝2，得k＝－，x1x2＝. ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4－＝. ∴|AB|＝＝. 3．(2018遼寧師大附中期中)過點M(－2，0)的直線n與橢圓＋y2＝1交于P1，P2兩點，線段P1P2的中點為P，設直線m的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 答案　D 解析　設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，則 兩式相減，得＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 即＋2y(y1－y2)＝0. ∴k1＝－，又∵k2＝. ∴k1k2＝－. 4．(2017山東師大附中模擬)已知兩定點A(0，－2)，B(0，2)，點P在橢圓＋＝1上，且滿足||－||＝2，則為(　　) A．－12 B．12 C．－9 D．9 答案　D 解析　易知A(0，－2)，B(0，2)為橢圓＋＝1的兩焦點，∴||＋||＝24＝8，又||－||＝2，∴||＝5，||＝3. ∵||＝4，∴△ABP為直角三角形，∴＝||2＝9. 5．(2018福建廈門中學期中)設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D．3 答案　B 解析　不妨設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)，焦點F(c，0)，對稱軸為直線y＝0. 由題意知－＝1，y＝，∴＝4a，b2＝2a2，c2－a2＝2a2，c2＝3a2，∴e＝＝.故選B. 6．(2018德州一中期末)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l.若射線y＝2(x－1)(x≤1)與C，l分別交于P，Q兩點，則＝(　　) A. B．2 C. D．5 答案　C 解析　拋物線C：y2＝4x的焦點為F(1，0)，設準線l：x＝－1與x軸的交點為F1，過點P作直線l的垂線，垂足為P1，由得點Q的坐標為(－1，－4)，所以|FQ|＝2.根據(jù)拋物線的定義可得，|PF|＝|PP1|，所以＝＝＝＝，故選C. 7．已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線與直線y＝2x＋1交于P、Q兩點，若|PQ|＝，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝－4x B．y2＝12x C．y2＝－4x或y2＝12x D．以上都不對 答案　C 解析　由題意設拋物線的方程為y2＝2px，聯(lián)立方程得消去y，得4x2－(2p－4)x＋1＝0，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝. |PQ|＝|x1－x2|＝＝＝，所以＝，p2－4p－12＝0，p＝－2或6，所以y2＝－4x或y2＝12x. 8．(2018衡水中學調(diào)研)過拋物線x2＝4y的焦點作兩條互相垂直的弦AB、CD，則＋＝(　　) A．2 B．4 C. D. 答案　D 解析　根據(jù)題意，拋物線的焦點為(0，1)，設直線AB的方程為y＝kx＋1(k≠0)，直線CD的方程為y＝－x＋1，由得y2－(2＋4k2)y＋1＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得yA＋yB＝2＋4k2，所以|AB|＝y(tǒng)A＋yB＋2＝4＋4k2，同理|CD|＝y(tǒng)C＋yD＋2＝4＋，所以＋＝＋＝，故選D. 9．(2018福州外國語學校適應性考試)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的焦距為2，拋物線y＝x2＋與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 答案　D 解析　由題意可得c＝，即a2＋b2＝5，雙曲線的漸近線方程為y＝x.將漸近線方程和拋物線方程y＝x2＋聯(lián)立，可得x2x＋＝0，由漸近線和拋物線相切可得Δ＝－4＝0，即有a2＝4b2，又a2＋b2＝5，解得a＝2，b＝1，可得雙曲線的方程為－y2＝1.故選D. 10．(2018天津紅橋區(qū)期末)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p＝(　　) A．1 B. C．2 D．3 答案　C 解析　因為雙曲線方程為－＝1，所以雙曲線的漸近線方程是y＝x.又拋物線y2＝2px(p>0)的準線方程是x＝－，故A，B兩點的縱坐標分別是y＝.因為雙曲線的離心率為2，所以＝2，所以＝3，則＝，A，B兩點的縱坐標分別是y＝＝.又△AOB的面積為，x軸是∠AOB的平分線，所以p＝，解得p＝2.故選C. 11．設F為拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，過F且傾斜角為60的直線交拋物線C于A，B兩點(B在第一象限，A在第四象限)，O為坐標原點，過A作C的準線的垂線，垂足為M，則|OB|與|OM|的比值為(　　) A. B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F(，0)，準線x＝－，直線AB：y＝(x－)，與拋物線方程聯(lián)立，消去x得，y2－2py－p2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＝－p，y2＝p，故M(－，－p)，則|OM|＝＝p，將y2＝p代入直線AB的方程得x2＝p，故B(p，p)，則|OB|＝＝p，所以|OB|＝3|OM|.故選C. 12．(2018河南鄭州二測)過點P(－1，0)作直線與拋物線y2＝8x相交于A，B兩點，且2|PA|＝|AB|，則點B到該拋物線焦點的距離為________． 答案　5 解析　設A(xA，yA)，B(xB，yB)，由相似三角形知識可知＝.① 設直線的斜率為k，則其方程為y－0＝k(x＋1)，即y＝kx＋k，由可得ky2－8y＋8k＝0，則yAyB＝8.② 由①②可得yB2＝24＝8xB，所以xB＝3，由拋物線的定義可知點B到焦點的距離為3＋＝5. 13．(2018湖北部分重點高中聯(lián)考)已知雙曲線C2與橢圓C1：＋＝1具有相同的焦點，則兩條曲線相交的四個交點形成的四邊形面積最大時雙曲線C2的離心率為________． 答案　 解析　設雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，由題意知a2＋b2＝4－3＝1，由解得交點的坐標滿足由橢圓和雙曲線關(guān)于坐標軸對稱知，以它們的交點為頂點的四邊形是長方形，其面積S＝4|xy|＝4＝8≤8＝4，當且僅當a2＝1－a2，即a2＝時，取等號，此時雙曲線的方程為－＝1，離心率e＝. 14．(2018淮南一模)過橢圓＋＝1(a>b>0)上的動點P作圓x2＋y2＝b2的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，直線AB與x軸，y軸分別交于M，N，則△MON(O為坐標原點)面積的最小值為________． 答案　 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線PA：x1x＋y1y＝b2，直線PB：x2x＋y2y＝b2.因為P(x0，y0)在直線PA，PB上，所以可得直線AB的方程為x0x＋y0y＝b2，得M(，0)，N(0，)，則△MON的面積S△MON＝＝≥＝，當且僅當||＝||時等號成立． 15．(2018湖南永州一模)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為2，離心率為，y軸上一點Q的坐標為(0，3)． (1)求該橢圓的方程； (2)若對于直線l：y＝x＋m，橢圓C上總存在不同的兩點A與B關(guān)于直線l對稱， 且3<32，求實數(shù)m的取值范圍． 答案　(1)＋y2＝1　(2)(－，) 解析　(1)由題意知c＝1，＝， 所以a＝，b＝1. 所以所求橢圓的方程為＋y2＝1. (2)方法一：由題意設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB方程為y＝－x＋n.聯(lián)立消去y并整理可得3x2－4nx＋2n2－2＝0， 由Δ＝(－4n)2－12(2n2－2)＝24－8n2>0，解得－0)的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA. (1)當t＝4，|AM|＝|AN|時，求△AMN的面積； (2)當2|AM|＝|AN|時，求k的取值范圍． 答案　(1)　(2)(，2) 解析　(1)設M(x1，y1)，則由題意知y1>0. 當t＝4時，E的方程為＋＝1，A(－2，0)． 由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為. 因此直線AM的方程為y＝x＋2. 將x＝y(tǒng)－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0. 解得y＝0或y＝，∵y1>0，所以y1＝. 因此△AMN的面積S△AMN＝2＝. (2)由題意知t>3，k>0，A(－，0)． 將直線AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1，得 (3＋tk2)x2＋2tk2x＋t2k2－3t＝0. 由x1(－)＝，得x1＝，故 |AM|＝|x1＋|＝. 由題設知，直線AN的方程為y＝－(x＋)， 故同理可得|AN|＝. 由2|AM|＝|AN|，得＝， 即(k3－2)t＝3k(2k－1)． 當k＝時上式不成立，因此t＝. t>3等價于＝<0， 即<0. 由此得或解得0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作平行于C的漸近線的直線交C于點P.若PF1⊥PF2，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 答案　D 解析　取雙曲線C的漸近線為y＝x.因為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，所以過F2作平行于漸近線y＝x的直線PF2的方程為y＝(x－c)． 因為PF1⊥PF2，所以直線PF1的方程為y＝－(x＋c)． 聯(lián)立方程組得點P的坐標為(，－)． 因為點P在雙曲線C上， 所以－＝1，即－＝1. 因為c2＝a2＋b2，所以－＝1，整理得c2＝5a2. 因為e＝>1，所以e＝.故選D. 2．已知雙曲線x2－＝1，過點A(1，1)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則l的條數(shù)為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　A 解析?、傩甭什淮嬖跁r，方程為x＝1符合． ②設斜率為k，y－1＝k(x－1)，kx－y－k＋1＝0. 　(4－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－5＝0. 當4－k2＝0，k＝2時符合； 當4－k2≠0，Δ＝0，亦有一個答案，∴共4條． 3．已知雙曲線T：－y2＝1，過點B(－2，0)的直線交雙曲線于A點(A不是雙曲線的頂點)，若AB的中點Q在直線y＝x上，點P為雙曲線T上異于A，B的任意一點(不是雙曲線的頂點)，直線AP，BP分別交直線y＝x于M，N兩點，O為坐標原點，則＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－8 答案　A 解析　因為AB的中點Q在直線y＝x上，B(－2，0)，所以A(，)．設P(x0，y0)，當直線AP的斜率不存在時，易知P(，－)，M(，)，N(－，－)，此時＝(－)＋(－)＝－.當直線AP的斜率存在時，則直線AP的方程是y－＝(x－)，與直線y＝x聯(lián)立得xM＝y(tǒng)M＝.直線BP的方程為y＝(x＋2)，與直線y＝x聯(lián)立得xN＝y(tǒng)N＝.因為－y02＝1，所以＝xMxN＋yMyN＝2＝－. 4．(2017福建福州質(zhì)檢)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，若雙曲線左支上存在一點P與點F2關(guān)于直線y＝x對稱，則該雙曲線的離心率為________． 答案　 解析　由題意可知雙曲線左支上存在一點P與點F2關(guān)于直線y＝對稱，則PF1⊥PF2.又＝，聯(lián)立|PF2|－|PF1|＝2a，|PF2|2＋|PF1|2＝(2c)2，可得b3＋a2b＝2c2a.所以b＝2a，e＝. 5．(2018河北石家莊模擬)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P為雙曲線右支上一點，M為△PF1F2的內(nèi)心，滿足S△MPF1＝S△MPF2＋λS△MF1F2.若該雙曲線的離心率為3，則λ＝________．(注：S△MPF1，S△MPF2，S△MF1F2分別為△MPF1，△MPF2，△MF1F2的面積) 答案　 解析　設△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r，則由題意，得|PF1|r＝|PF2|r＋λ|F1F2|r，即|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|＝λ2c，又由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2a，所以2a＝λ2c，即λ＝＝＝. 6．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線相交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積． 答案　(1)y2＝8x　(2)24 解析　(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，－8)， ∴(－8)2＝2p8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x. (2)直線l2與l1垂直，故可設直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l2與x軸的交點為M. 由得y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2. 由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)，∴直線l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8，0)． 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA ＝|FM||y1－y2| ＝3＝24. 7．拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點． (1)若＝2，求直線AB的斜率； (2)設點M在線段AB上運動，原點O關(guān)于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值． 答案　(1)2　(2)4 解析　(1)依題意知F(1，0)，設直線AB的方程為x＝my＋1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x，得 y2－4my－4＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.① 因為＝2，所以y1＝－2y2.② 聯(lián)立①和②，消去y1，y2，得m＝. 所以直線AB的斜率是2. (2)由點C與原點O關(guān)于點M對稱，得M是線段OC的中點． 從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB. 因為2S△AOB＝2|OF||y1－y2| ＝＝4， 所以當m＝0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4. 8．(2018河南洛陽第一次統(tǒng)考)已知拋物線C：x2＝2py(y>0)，過焦點F的直線交C于A，B兩點，D是拋物線的準線l與y軸的交點． (1)若AB∥l，且△ABD的面積為1，求拋物線C的方程； (2)設M為AB的中點，過M作l的垂線，垂足為N，證明：直線AN與拋物線相切． 答案　(1)x2＝2y　(2)略 解析　(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p. ∴S△ABD＝p2＝1.∴p＝1. ∴拋物線C的方程為x2＝2y. (2)證明：設直線AB的方程為y＝kx＋， 聯(lián)立得x2－2kpx－p2＝0.① 設方程①的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2. 設A(x1，)，B(x2，)． 設M(kp，k2p＋)，N(kp，－)． ∴kAN＝＝＝＝＝. 又∵x2＝2py，∴y′＝. ∴拋物線x2＝2py在點A處的切線斜率k＝. ∴直線AN與拋物線相切．