江蘇省連云港市高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 2.1.6 點(diǎn)到直線的距離學(xué)案2（導(dǎo)學(xué)案）蘇教版必修2.doc

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2.1.6第二節(jié) 點(diǎn)到直線的距離（２） 【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 點(diǎn)到直線的距離公式 兩條平行直線之間的距離公式 直接運(yùn)用公式求值 對(duì)稱問(wèn)題的運(yùn)用 平面幾何中的運(yùn)用 學(xué)習(xí)要求 1．鞏固點(diǎn)到直線的距離公式及兩平行直線間的距離公式； 2．掌握點(diǎn)、直線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱（或關(guān)于直線成軸對(duì)稱）的點(diǎn)、直線的求解方法； 3．能運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式及兩平行直線間的距離公式靈活解決一些問(wèn)題． 【課堂互動(dòng)】 自學(xué)評(píng)價(jià) 1.若與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱, 則　　,　　． 2. 若與關(guān)于直線 對(duì)稱, 則與的中點(diǎn)落在直線上, 且與的連線與垂直. 【精典范例】 例1：在直線上找一點(diǎn),使它到原點(diǎn)和直線的距離相等． 分析：直線 與直線 平行，即可算出它們之間的距離，然后利用兩點(diǎn)之間的距離公式算出該點(diǎn)的坐標(biāo)． 聽課隨筆 【解】直線與之間的距離為：． 設(shè)直線上的點(diǎn)滿足題意，則， 解得或， ∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或． 點(diǎn)評(píng):本題主要利用兩條平行直線之間的距離公式解決問(wèn)題，是對(duì)上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的一個(gè)復(fù)習(xí)與鞏固． 例2：求直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程． 分析：解題的關(guān)鍵是中心對(duì)稱的兩直線互相平行，并且兩直線與對(duì)稱中心的距離相等． 【解】設(shè)所求直線的方程為 ， 由點(diǎn)到直線的距離公式可得 ， ∴（舍去）或， 所以，所求直線的方程為． 點(diǎn)評(píng):本題也可以利用點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱，設(shè)直線上任意一點(diǎn) （在直線上，所以）與對(duì)稱的點(diǎn)為則，解得，，然后將，的值代入求出所求直線，比較而言，此法注重軌跡的推導(dǎo)過(guò)程，而前面的方法比較簡(jiǎn)便，為求直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程的基本方法（直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問(wèn)題）． 例3：已知直線：， ：，求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程． 分析：直線關(guān)于直線對(duì)稱，可以在上任意取兩個(gè)點(diǎn)，再分別求出這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，最后利用兩點(diǎn)式求出所要求的方程．這里可以通過(guò)求出交點(diǎn)這個(gè)特殊點(diǎn)以簡(jiǎn)化計(jì)算． 【解】由，解得：，∴過(guò)點(diǎn)， 又顯然是直線上一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為， 則， 解得：，即， 因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，所以由兩點(diǎn)式得它的方程為：． 點(diǎn)評(píng): 本題為求直線關(guān)于第三條直線對(duì)稱的直線方程的基本方法（兩條直線關(guān)于第三條直線對(duì)稱的問(wèn)題）． 注意：這里有一種特殊情況： 直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為：． 例4：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，證明：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高． 分析：要證明的結(jié)論中涉及的都是點(diǎn)到直線的距離，故可考慮用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算距離，因此必須建立直角坐標(biāo)系. 【證明】設(shè)是等腰三角形，以底邊 所在直線為軸，過(guò)頂點(diǎn)且垂直與的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖）．設(shè)， (，)，則． 直線的方程：， 即：． 直線的方程：， 聽課隨筆 即：． 設(shè)底邊上任意一點(diǎn)為 （）， 則到的距離 ， 到的距離 ， 到的距離 ． 故原命題得證． 點(diǎn)評(píng):本題主要利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何證明方面的運(yùn)用，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題. 追蹤訓(xùn)練一 １． 點(diǎn)在軸上,若它到直線 的距離等于，則的坐標(biāo)是或． ２．直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為． 3. 光線沿直線1：照射到直線2：上后反射，求反射線所在直線的方程． 【解】由，解得：， ∴過(guò)點(diǎn)， 又顯然是直線上一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為， 則， 解得：，即， 因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，所以由兩點(diǎn)式得它的方程為． ４．求證：等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)到兩腰（所在直線）的距離的差的絕對(duì)值等于一腰上的高． 分析：要證明的結(jié)論中涉及的都是點(diǎn)到直線的距離，故可考慮用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算距離，因此必須建立直角坐標(biāo)系． 【證明】設(shè)是等腰三角形，以底邊所在直線為軸，過(guò)頂點(diǎn)且垂直于的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖， 設(shè)，， 則，直線方程為： ，即： ， 直線方程為：， 即：， 設(shè)或是底邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)， 則到距離為 ， 到距離為 ， 到距離為 ， 當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)， ， ∴當(dāng)或時(shí)，， 故原命題得證． 【選修延伸】 一、數(shù)列與函數(shù) 例５:分別過(guò)兩點(diǎn)作兩條平行線，求滿足下列條件的兩條直線方程： （1）兩平行線間的距離為；（2）這兩條直線各自繞、旋轉(zhuǎn)，使它們之間的距離取最大值． 聽課隨筆 分析：（１）兩條平行直線分別過(guò)， 兩點(diǎn),因此可以設(shè)出這兩條直線的方程之間(注意斜率是否存在)，再利用兩條平行直線之間的距離公式，列出方程，解出所要求的直線的斜率；（２）這兩條平行直線與垂直時(shí)，兩直線之間距離最大． 【解】（1）當(dāng)兩直線的斜率不存在時(shí)，方程分別為，滿足題意． 當(dāng)兩直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程分別為 與， 即： 與，由題意：，解得， 所以，所求的直線方程分別為： ， ． 綜上：所求的直線方程分別為： ， 或． （2）結(jié)合圖形，當(dāng)兩直線與垂直時(shí)，兩直線之間距離最大，最大值為，同上可求得兩直線的方程．此時(shí)兩直線的方程分別為，． 點(diǎn)評(píng):（１）設(shè)直線方程時(shí)一定要先考慮直線的斜率是否存在，利用平行直線之間的距離公式列出相應(yīng)的方程，解出相應(yīng)的未知數(shù)；（２）體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)圖形，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)． 思維點(diǎn)拔：對(duì)稱問(wèn)題 在遇到對(duì)稱問(wèn)題時(shí)關(guān)鍵是分析出是屬于什么對(duì)稱情況，這里大致可以分為：點(diǎn)關(guān)與點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，直線關(guān)于直線對(duì)稱這四種情況，一旦確定為哪種情況后對(duì)應(yīng)本節(jié)課的四種基本方法進(jìn)行求解． 追蹤訓(xùn)練二 1．兩平行直線，分別過(guò)， （１），之間的距離為５，求兩直線方 程； （２）若，之間的距離為，求的取值范圍． 【解】（1）當(dāng)兩直線的斜率不存在時(shí)，方程分別為，，不滿足題意． 當(dāng)兩直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程分別為 與， 即： 與， 由題意：，解得或， 所以，所求的直線方程分別為： ：，：或 ：， ：． （２）． 學(xué)生質(zhì)疑 教師釋疑