2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（第1課時）余弦定理及其應(yīng)用學(xué)案（含解析）新人教B版必修5.docx

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第1課時　余弦定理及其應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明方法.2.會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題． 知識點一　余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則有 余弦定理 語言敘述 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍 公式表達 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 推論 cosA＝， cosB＝， cosC＝ 思考　在a2＝b2＋c2－2bccosA中，若A＝90，公式會變成什么？ 答案　a2＝b2＋c2，即勾股定理． 知識點二　余弦定理可以用于兩類解三角形問題 (1)已知三角形的兩邊和它們的夾角，求三角形的第三邊和其他兩個角． (2)已知三角形的三邊，求三角形的三個角． 1．在△ABC中，已知兩邊及夾角時，△ABC不一定唯一．(　　) 2．在△ABC中，三邊一角隨便給出三個，可求其余一個．(　√　) 3．在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，則角C為直角．(　√　) 4．在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，則角C為鈍角．(　　) 題型一　用余弦定理解三角形 命題角度1　已知兩邊及其夾角 例1　在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，則c＝；sinA＝. 答案　2　 解析　根據(jù)余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－212＝4，解得c＝2. 由a＝1，b＝2，c＝2，得cosA＝＝，所以sinA＝＝. 反思感悟　已知三角形兩邊及其夾角時，應(yīng)先從余弦定理入手求出第三邊． 跟蹤訓(xùn)練1　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15，求A. 解　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－4， 所以c＝－. 由正弦定理，得sinA＝＝， 因為b>a，所以B>A， 所以A為銳角，所以A＝30. 命題角度2　已知三邊 例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. 解　根據(jù)余弦定理，得cos A＝ ＝＝. ∵A∈(0，π)， ∴A＝， cos C＝ ＝＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝， ∴A＝，B＝，C＝. 反思感悟　已知三邊求三角，可利用余弦定理的推論先求一個角． 跟蹤訓(xùn)練2　在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判斷三角形的形狀． 解　因為a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5， 所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)． c最大，cosC＝<0， 所以C為鈍角， 從而三角形為鈍角三角形． 題型二　余弦定理的證明 例3　已知鈍角△ABC，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，試借助三角函數(shù)定義用a，b，C表示邊c. 解　不妨設(shè)A為鈍角． 如圖，作BD⊥CA，交CA延長線于點D. 由三角函數(shù)定義，sinC＝，cosC＝， ∴BD＝asinC，CD＝acosC. ∴AD＝CD－CA＝acosC－b. ∴c2＝BD2＋AD2 ＝a2sin2C＋(acosC－b)2 ＝a2sin2C＋a2cos2C＋b2－2abcosC ＝a2＋b2－2abcosC. 引申探究　注意到||＝b，||＝a，，的夾角為C，恰好可以作為一組基底，能否用平面向量完成例3? 解?。剑? ∴||2＝(－)2＝2＋2－2， 即c2＝a2＋b2－2abcosC. 反思感悟　所謂證明，就是在新舊知識間架起一座橋梁．橋梁架在哪兒，要勘探地形，證明一個公式，要觀察公式兩邊的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識，看有沒有相似的地方． 跟蹤訓(xùn)練3　用解析幾何的兩點間距離公式來證明余弦定理． 解　如圖，以A為原點，邊AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)， ∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A， 即a2＝b2＋c2－2bccosA. 同理可證b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 合理探究運算思路 典例　在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，則AC邊上的中線長為． 答案　7 解析　方法一　由條件知 cos A＝＝＝， 設(shè)中線長為x，由余弦定理，知 x2＝2＋AB2－2ABcos A ＝42＋92－249＝49， 所以x＝7. 所以AC邊上的中線長為7. 方法二　設(shè)AC中點為M，連接BM(圖略)． 則＝(＋)， ∴2＝(2＋2＋2) ＝(92＋72＋2||||cos∠ABC) 由余弦定理，得2||||cos∠ABC＝||2＋||2－||2＝92＋72－82， ∴||2＝(92＋72＋92＋72－82)＝49. ∴BM＝7，即AC邊上的中線長為7. [素養(yǎng)評析]　數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的一個重要表現(xiàn)就是探究運算思路，探究運算思路最主要的是弄清楚3個問題：①我有什么？②我要什么？③怎樣以我有達到我要？在本例中，我有三角形三邊長．由此可求三角．我要求中線長，由于M為中點，在△ABM中，我有AB，AM，∠A(兩邊夾角)．由此可求BM，思路貫通．在方法二中，我有＝(＋)．我要||，只要平方．平方后2，2都是已知的，只要求.我們知道要求數(shù)量積只需求出模和夾角．模||，||已知，cos∠ABC可求，由此思路貫通．從以上分析可以看出，探究運算思路始終圍繞三個問題進行構(gòu)思、選擇、排除. 1．一個三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是－，則三角形的第三條邊長為(　　) A．52B．2C．16D．4 答案　B 解析　設(shè)第三條邊長為x，則x2＝52＋32－253＝52，∴x＝2. 2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，則△ABC的最小角為(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　∵a>b>c，∴C為最小角且C為銳角， 由余弦定理，得cosC＝ ＝＝. 又∵C為銳角，∴C＝. 3．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　設(shè)頂角為C，周長為l，因為l＝5c，所以a＝b＝2c， 由余弦定理，得cosC＝＝＝. 4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，則角B為(　　) A.B.C.或D.或 答案　A 解析　∵a2－b2＋c2＝ac， ∴cosB＝＝＝， 又角B為△ABC的內(nèi)角，∴B＝. 5．(2018青島模擬)如圖所示，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，則BD的長為________． 答案　 解析　∵sin∠BAC＝sin(90＋∠BAD)＝cos∠BAD＝， ∴在△ABD中， 有BD2＝AB2＋AD2－2ABADcos∠BAD， ∴BD2＝18＋9－233＝3， ∴BD＝. 1．余弦定理與勾股定理的關(guān)系：余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． 2．利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題 (1)已知兩邊和夾角，解三角形． (2)已知三邊求三角形的任意一角． 一、選擇題 1．在△ABC中，已知B＝120，a＝3，c＝5，則b等于(　　) A．4B.C．7D．5 答案　C 解析　∵b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－235cos 120＝49，∴b＝7. 2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a∶b∶c＝3∶5∶7，則C的大小是(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　∵a∶b∶c＝3∶5∶7， ∴設(shè)a＝3k，b＝5k，c＝7k，k>0， 由余弦定理得cos C＝＝－， 又00，且cosC＝>0， ∴7.又因為sin C＝， 所以C＝. 11．在△ABC中，A＝60，最大邊長與最小邊長是方程x2－9x＋8＝0的兩個實根，則邊BC的長為． 答案　 解析　設(shè)內(nèi)角B，C所對的邊分別為b，c.∵A＝60，∴可設(shè)最大邊與最小邊分別為b，c.由條件可知b＋c＝9，bc＝8，∴BC2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A＝92－28－28cos 60＝57，∴BC＝. 三、解答題 12．在△ABC中，已知A＝120，a＝7，b＋c＝8，求b，c. 解　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)， 所以49＝64－2bc，即bc＝15, 由解得或 13.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從點O沿OD走到點D用了2min，從點D沿DC走到點C用了3min.若此人步行的速度為50m/min，求該扇形的半徑． 解　依題意得OD＝100m， CD＝150m， 連接OC，易知 ∠ODC＝180－∠AOB＝60， 因此由余弦定理，得 OC2＝OD2＋CD2－2ODCDcos∠ODC， 即OC2＝1002＋1502－2100150， 解得OC＝50(m)． 14．若△ABC的三邊長分別為AB＝7，BC＝5，CA＝6，則的值為(　　) A．19B．14C．－18D．－19 答案　D 解析　設(shè)三角形的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c， 依題意得a＝5，b＝6，c＝7. ∴＝||||cos(π－B)＝－accos B. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， ∴－accos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)＝－19， ∴＝－19. 15．已知a，b，c是△ABC的三邊長，若直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝1無公共點，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定 答案　B 解析　∵直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝1無公共點， ∴圓心(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝>1， 即a2＋b2－c2<0，∴cos C＝<0， 又C∈(0，π)，∴C為鈍角． 故△ABC為鈍角三角形．