高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入階段復習課學案 新人教A版選修12

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1、 第三課　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 [核心速填] 1．復數(shù)的有關概念及分類 (1)代數(shù)形式為z＝a＋bi(a，b∈R)，其中實部為a，虛部為b； (2)共軛復數(shù)為z＝a－bi(a，b∈R)． (3)復數(shù)的分類 ①若 z＝a＋bi(a，b∈R)是實數(shù)，則z與的關系為z＝. ②若z＝a＋bi(a，b∈R)是純虛數(shù)，則z與的關系為z＋＝0(z≠0)． 2．與復數(shù)運算有關的問題 (1)復數(shù)相等的充要條件 a＋bi＝c＋di?(a，b，c，d∈R)． (2)復數(shù)的模 復數(shù)z＝a＋bi的模|z|＝，且z＝|z|2＝a2＋b2. (3)復數(shù)的四則運算，若兩個復數(shù)z1＝a1＋b1

2、i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R) ①加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i； ②減法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i； ③乘法：z1z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i； ④除法：＝＝＋i(z2≠0)； 3．復數(shù)的幾何意義 (1)任何一個復數(shù)z＝a＋bi一一對應著復平面內(nèi)一個點Z(a，b)，也一一對應著一個從原點出發(fā)的向量. (2)復數(shù)加法的幾何意義 若復數(shù)z1、z2對應的向量1、2不共線，則復數(shù)z1＋z2是以1、2為兩鄰邊的平行四邊形的對角線所對應的復數(shù)． (3)復數(shù)減法的幾何意義 復數(shù)z1－z2是連接向量1

3、、2的終點，并指向Z1的向量所對應的復數(shù)． [題型探究] 復數(shù)的概念 　當實數(shù)a為何值時，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i. (1)為實數(shù)；(2)為純虛數(shù)； (3)對應的點在第一象限內(nèi)； (4)復數(shù)z對應的點在直線x－y＝0. 【導學號：48662162】 [解]　(1)z∈R?a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2. (2)z為純虛數(shù)， 即故a＝0. (3)z對應的點在第一象限，則 ∴∴a＜0，或a＞2. ∴a的取值范圍是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依題設(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，∴a＝2. [規(guī)律方法]　處理復數(shù)概念問題的兩個注

4、意點 (1)當復數(shù)不是a＋bi(a，b∈R)的形式時，要通過變形化為a＋bi的形式，以便確定其實部和虛部. (2)求解時，要注意實部和虛部本身對變量的要求，否則容易產(chǎn)生增根. [跟蹤訓練] 1．(1)若復數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，是z的共軛復數(shù)，則z2＋2的虛部為(　　) A．0　　　　　　 B．－1 C．1 D．－2 (2)設i是虛數(shù)單位，若復數(shù)a－(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 (1)A　(2)D　[(1)因為z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故選A. (2

5、)因為a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由純虛數(shù)的定義，知a－3＝0，所以a＝3.] 復數(shù)的幾何意義 　(1)在復平面內(nèi)，復數(shù)(i是虛數(shù)單位)所對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)已知復數(shù)z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它們在復平面上所對應的點分別為A，B，C.若＝2＋，則a＝________，b＝________. [解析]　(1)＝＝ ＝－＋i，∴復數(shù)對應的點位于第二象限． (2)∵＝2＋ ∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi) 即∴] [答案]　(1)B　(2)－3?。?0 [跟蹤訓練]

6、2．若i為虛數(shù)單位，如31圖中復平面內(nèi)點Z表示復數(shù)z，則表示復數(shù)的點是(　　) 圖31 A．E B．F C．G D．H D　[∵點Z(3,1)對應的復數(shù)為z， ∴z＝3＋i，＝＝＝＝2－i，該復數(shù)對應的點的坐標是(2，－1)，即H點．] 復數(shù)的四則運算 　(1) 已知是z的共軛復數(shù)，若zi＋2＝2z，則z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i (2)已知復數(shù)z1＝2－3i，z2＝，則＝(　　) A．－4＋3i B．3＋4i C．3－4i D．4－3i (1)[解析]　設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，代入zi＋2＝

7、2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi， 由復數(shù)相等的條件得， ∴∴z＝1＋i，故選A. (2)＝＝ ＝－＝4－3i. [答案]　(1)A　(2)D 母題探究：1.本例題(1)中已知條件不變，則＝________. i　[由解析知z＝1＋i，所以＝1－i. ＝＝i.] 2．本例題(2)中已知條件不變，則z1z2＝__________. －i　[z1z2＝ ＝＝ ＝＝－i.] [規(guī)律方法]　(1)復數(shù)的乘法運算與多項式的乘法運算類似； (2)復數(shù)的除法運算，將分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù)，最后整理成a＋bi

8、(a，b∈R)的結構形式. (3)利用復數(shù)相等，可實現(xiàn)復數(shù)問題的實數(shù)化. 轉化與化歸思想 　已知z是復數(shù)，z＋2i，均為實數(shù)，且(z＋ai)2的對應點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍. 【導學號：48662164】 [解]　設z＝x＋yi(x，y∈R)， 則z＋2i＝x＋(y＋2)i為實數(shù)，∴y＝－2. 又＝＝(x－2i)(2＋i) ＝(2x＋2)＋(x－4)i為實數(shù)， ∴x＝4.∴z＝4－2i，又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限． ∴，解得2

9、設出復數(shù)z的代數(shù)形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，則涉及復數(shù)的分類、幾何意義、模的運算、四則運算、共軛復數(shù)等問題，都可以轉化為實數(shù)x，y應滿足的條件，即復數(shù)問題實數(shù)化的思想是本章的主要思想方法. [跟蹤訓練] 3．已知x，y為共軛復數(shù)，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y. [解]　設x＝a＋bi(a，b∈R)，則y＝a－bi. 又(x＋y)2－3xyi＝4－6i， ∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i， ∴∴，或 或或∴ 或或或 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375