（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何初步單元過關(guān)檢測 文.doc

《（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何初步單元過關(guān)檢測 文.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何初步單元過關(guān)檢測 文.doc（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第七章 立體幾何初步 單元過關(guān)檢測(七) (120分鐘　150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩條不同的直線,l是平面α外的一條直線,則“l(fā)⊥a,l⊥b”是“l(fā)⊥α”的 (　　) A.充要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選C.若a,b是平面α內(nèi)兩條不同的直線,l是平面α外的一條直線,l⊥a,l⊥b,a∥b,則l可以與平面α斜交,推不出l⊥α.若l⊥α,a,b是平面α內(nèi)兩條不同的直線,l是平面α外的一條直線,則l⊥a,l⊥b.所以“l(fā)⊥a,l⊥b”是“l(fā)⊥α”的必要不充分條件. 2.關(guān)于空間兩條直線a,b和平面α,下列命題正確的是 (　　) A.若a∥b,b?α,則a∥α B.若a∥α,b?α,則a∥b C.若a∥α,b∥α,則a∥b D.若a⊥α,b⊥α,則a∥b 【解析】選D.線面平行的判定定理中的條件要求a?α,故A錯;對于線面平行,這條直線與面內(nèi)的直線的位置關(guān)系可以平行,也可以異面,故B錯;平行于同一個平面的兩條直線的位置關(guān)系:平行、相交、異面都有可能,故C錯;垂直于同一個平面的兩條直線是平行的,故D正確. 3.將長方體截去一個四棱錐,得到的幾何體如圖所示,則該幾何體的側(cè)視圖為 (　　) 【解析】選D.所得幾何體的輪廓線中,除長方體原有的棱外,有兩條是原長方體的面對角線,它們在側(cè)視圖中落在矩形的兩條邊上,另一條是原長方體的體對角線,在側(cè)視圖中體現(xiàn)為矩形的自左下至右上的一條對角線,因不可見,故用虛線表示. 4.(2018黃山模擬)已知正方體被過一面對角線和它對面兩棱中點組成的平面截去一個三棱臺后的幾何體的正視圖和俯視圖如圖所示,則它的側(cè)視圖是 (　　) 【解析】選A.如圖,由題意可知截取三棱臺后的幾何體是七面體,側(cè)視圖的輪廓是正方形,因AP不可見,故而用虛線. 5.如圖是棱長為2的正方體的表面展開圖,則多面體ABCDE的體積為 (　　) A.2 B. C. D. 【解析】選D.多面體ABCDE為四棱錐(如圖),利用割補法可得其體積V=4-=. 6.封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8, AA1=3,則V的最大值是 (　　) A.4π B. C.6π D. 【解析】選B.由題意知,底面三角形的內(nèi)切圓直徑為4,三棱柱的高為3,所以球的最大直徑為3,V的最大值為. 7.一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示,則該幾何體的表面積為 (　　) A.16 B.8+8 C.2+2+8 D.4+4+8 【解析】選D.由三視圖知, 該幾何體是底面邊長為=2的正方形,高PD=2的四棱錐P-ABCD,因為PD⊥平面ABCD,且四邊形ABCD是正方形,易得BC⊥PC,BA⊥PA, 又PC===2, 所以S△PCD=S△PAD=22=2, S△PAB=S△PBC=22=2. 所以幾何體的表面積為4+4+8. 8.在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為 (　　) A. B. C. D.2π 【解析】選C.過點C作CE垂直于AD所在直線于點E,梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑,線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑,ED為高的圓錐而成,如圖所示,該幾何體的體積為 V=V圓柱-V圓錐=πAB2BC-πCE2DE=π122-π121=. 9.在正三棱錐S-ABC中,點M是SC的中點,且AM⊥SB,底面邊長AB=2,則正三棱錐S-ABC的外接球的表面積為 (　　) A.6π B.12π C.32π D.36π 【解析】選B.因為三棱錐S-ABC為正三棱錐,所以SB⊥AC,又AM⊥SB,AC∩AM=A,所以SB⊥平面SAC,所以SB⊥SA,SB⊥SC,同理,SA⊥SC,即SA,SB,SC三線兩兩垂直,且AB=2,所以SA=SB=SC=2,所以(2R)2=322=12,所以球的表面積S= 4πR2=12π. 10.如圖所示,平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,將其沿對角線BD折成四面體A′BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面體A′BCD的頂點在同一個球面上,則該球的體積為 (　　) A.π B.3π C.π D.2π 【解析】選A.如圖所示, 取BD的中點E,BC的中點O,連接A′E,EO,A′O,OD. 因為平面A′BD⊥平面BCD,A′E⊥BD, 平面A′BD∩平面BCD=BD, A′E?平面A′BD, 所以A′E⊥平面BCD. 因為A′B=A′D=CD=1,BD=, 所以A′E=,EO=,所以O(shè)A′=. 在Rt△BCD中,OB=OC=OD=BC=, 所以四面體A′BCD的外接球的球心為O,球的半徑為,所以V球=π= π. 11.如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45,∠BAD=90,將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD.則在三棱錐A-BCD中,下列命題正確的是 (　　) A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 【解析】選D.因為在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45,∠BAD=90,所以BD⊥CD,又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,CD?平面BCD,所以CD⊥平面ABD,則CD⊥AB, 又AD⊥AB,AD∩CD=D,所以AB⊥平面ADC, 又AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC. 12.(2018金華模擬)棱長為4的正四面體內(nèi)切一球,然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球,則這些小球的最大半徑為(　　) A. B. C. D. 【解析】選B.由于正四面體的棱長為4,故四個面的面積都是 (4)2=12, 又頂點A在底面BCD上的投影為底面的中心G,點G到底面三個頂點的距離都是4, 由此知頂點A到底面BCD的距離是=4, 此正四面體的體積是124=16, 設(shè)最初正四面體內(nèi)切球半徑為r,則正四面體的體積為r124=16r,故有r=, 故上半部分的以小球為內(nèi)切球的三棱錐的高為2,原正四面體的高為4, 所以空隙處放入一個小球,設(shè)小球的最大半徑為a,=,所以a=. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上) 13.有一塊多邊形的菜地,它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示),∠ABC=45,AB=AD=1,DC⊥BC,則這塊菜地的面積為________. 【解析】如圖,在直觀圖中,過點A作AE⊥BC,垂足為點E, 則在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45,所以BE=. 而四邊形AECD為矩形,AD=1, 所以EC=AD=1,所以BC=BE+EC=+1. 由此可還原原圖形如圖. 在原圖形中,A′D′=1,A′B′=2,B′C′=+1, 且A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′, 所以這塊菜地的面積為 S=(A′D′+B′C′)A′B′ =2=2+. 答案:2+ 14.如圖所示,從棱長為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD-A1B1C1D1中分離出來由三個正方形面板組成的幾何圖形.如果用圖示中這樣一個裝置來盛水,那么最多能盛的水的體積為________ cm3. 【解析】最多能盛多少水,實際上是求三棱錐C1-CD1B1的體積. 又= =6=36(cm3), 所以用圖示中這樣一個裝置來盛水,最多能盛36 cm3體積的水. 答案:36 15.已知幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm). 則這個幾何體的表面積為________,體積為________. 【解析】這個幾何體的直觀圖如圖所示. 這個幾何體是一個簡單組合體,它的下部是一個圓柱(底面半徑為1 cm,高為 2 cm),它的上部是一個圓錐(底面半徑為1 cm,母線長為2 cm,高為 cm).所以所求表面積 S=π12+2π12+π12=7π(cm2), 所求體積 V=π122+π12 =2π+π(cm3). 答案:7π cm2　π cm3 16.如圖,正方形BCDE的邊長為a,已知AB=BC,將△ABE沿邊BE折起,折起后A點在平面BCDE上的射影為D點,對翻折后的幾何體有如下描述: ①AB與DE所成角的正切值是; ②AB∥CE; ③VB-ACE是a3; ④平面ABC⊥平面ADC. 其中正確的是______________.(填寫你認為正確的序號) 【解析】作出折疊后的幾何體的直觀圖如圖所示: 因為AB=a,BE=a,所以AE=a. 所以AD==a, 所以AC==a. 在△ABC中,cos∠ABC= ==. 所以sin∠ABC==. 所以tan∠ABC==. 因為BC∥DE,所以∠ABC是異面直線AB,DE所成的角,故①正確. 連接BD,CE,則CE⊥BD,又AD⊥平面BCDE, CE?平面BCDE,所以CE⊥AD, 又BD∩AD=D,BD?平面ABD, AD?平面ABD, 所以CE⊥平面ABD,又AB?平面ABD, 所以CE⊥AB.故②錯誤. 三棱錐B-ACE的體積 V=S△BCEAD=a2a=,故③正確. 因為AD⊥平面BCDE,BC?平面BCDE, 所以BC⊥AD,又BC⊥CD,AD∩CD=D, 所以BC⊥平面ACD,因為BC?平面ABC, 所以平面ABC⊥平面ACD.故④正確. 答案:①③④ 三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(10分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M,N,P分別為棱AB,BC,C1D1的中點. 求證:(1)AP∥平面C1MN. (2)平面B1BDD1⊥平面C1MN. 【證明】(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中, 因為點M,P分別為棱AB,C1D1的中點, 所以AM=PC1. 又AM∥CD,PC1∥CD,故AM∥PC1, 所以四邊形AMC1P為平行四邊形. 從而AP∥C1M, 又AP?平面C1MN,C1M?平面C1MN, 所以AP∥平面C1MN. (2)連接AC,在正方形ABCD中,AC⊥BD. 又點M,N分別為棱AB,BC的中點, 故MN∥AC. 所以MN⊥BD. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD, 又MN?平面ABCD,所以DD1⊥MN, 而DD1∩DB=D,DD1,DB?平面B1BDD1, 所以MN⊥平面B1BDD1, 又MN?平面C1MN, 所以平面B1BDD1⊥平面C1MN. 18.(12分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2, BC=1,E,F分別是A1C1,BC的中點. (1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)求證:C1F∥平面ABE. (3)求三棱錐E-ABC的體積. 【解析】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,因為BB1⊥底面ABC,AB?平面ABC,所以BB1⊥AB. 因為AB⊥BC,BB1∩BC=B, 所以AB⊥平面B1BCC1.又AB?平面ABE, 所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)取AB的中點G,連接EG,FG. 因為G,F分別是AB,BC的中點, 所以FG∥AC, 且FG=AC. 因為AC∥A1C1,且AC=A1C1, 所以FG∥EC1,且FG=EC1, 所以四邊形FGEC1為平行四邊形, 所以C1F∥EG. 又因為EG?平面ABE,C1F?平面ABE, 所以C1F∥平面ABE. (3)因為AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以AB==, 所以三棱錐E-ABC的體積 V=S△ABCAA1=12=. 19.(12分)(2018臨沂模擬)如圖,圓錐的軸截面為三角形SAB,O為底面圓圓心,C為底面圓周上一點,D為BC的中點. (1)求證:平面SBC⊥平面SOD. (2)如果∠AOC=∠SDO=60,BC=2,求該圓錐的側(cè)面積. 【解析】(1)由題意知,SO⊥平面OBC. 又BC?平面OBC.所以SO⊥BC. 在△OBC中,OB=OC,CD=BD, 所以O(shè)D⊥BC. 又SO∩OD=O,所以BC⊥平面SOD. 又BC?平面SBC, 所以平面SBC⊥平面SOD. (2)在△OBC中,OB=OC,CD=BD, 因為∠AOC=60,所以∠COD=60. 因為CD=BC=, 所以O(shè)D=1,OC=2, 在△SOD中,∠SDO=60, 又SO⊥OD,所以SO=, 在△SAO中,OA=OC=2,所以SA=. 所以該圓錐的側(cè)面積S側(cè)=πOASA=2π. 20.(12分)(2018南陽模擬)如圖,四邊形ABCD是正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=DA=2AF=2. (1)求證:AC⊥平面BDE. (2)求證:AC∥平面BEF. (3)求四面體BDEF的體積. 【解析】(1)因為DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC. 因為ABCD是正方形, 所以AC⊥BD, 因為DE∩BD=D, 所以AC⊥平面BDE. (2)設(shè)AC∩BD=O,取BE中點G,連接FG,OG,所以O(shè)GDE. 因為AF∥DE,DE=2AF, 所以AFOG, 從而四邊形AFGO是平行四邊形,FG∥AO, 因為FG?平面BEF,AO?平面BEF, 所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF. (3)因為DE⊥平面ABCD, 所以DE⊥AB. 因為正方形ABCD中,AB⊥AD,且AD∩DE=D, 所以AB⊥平面ADEF, 因為AF∥DE,DE=DA=2AF=2, 所以△DEF的面積S=EDAD=2, 所以四面體BDEF的體積=S△DEFAB=. 21.(12分)如圖,在Rt△ABC中,AB=BC=4,點E在線段AB上.過點E作EF∥BC交AC于點F,將△AEF沿EF折起到△PEF的位置(點A與點P重合),使得∠PEB=30. (1)求證:EF⊥PB. (2)試問:當(dāng)點E在何處時,四棱錐P-EFCB的側(cè)面PEB的面積最大?并求此時四棱錐P-EFCB的體積. 【解析】(1)因為EF∥BC,且BC⊥AB, 所以EF⊥AB,即EF⊥BE,EF⊥PE. 又BE∩PE=E,所以EF⊥平面PBE, 又PB?平面PBE,所以EF⊥PB. (2)設(shè)BE=x,PE=y,則x+y=4. 所以S△PEB=BEPEsin∠PEB =xy≤=1. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時,S△PEB的面積最大. 此時,BE=PE=2. 由(1)知EF⊥平面PBE,所以平面PBE⊥平面EFCB, 在平面PEB中,作PO⊥BE于點O, 又平面PBE∩平面EFCB=BE, 所以PO⊥平面EFCB. 即PO為四棱錐P-EFCB的高. 又PO=PEsin 30=2=1, S四邊形EFCB=(2+4)2=6, 所以VP-BCFE=61=2. 22.(12分)如圖1,在正△ABC中,E,F分別是AB,AC邊上的點,且BE=AF=2CF.點P為邊BC上的點,將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面BEFC,連接A1B,A1P,EP,如圖2所示. (1)求證:A1E⊥FP. (2)若BP=BE,點K為棱A1F的中點,則在平面A1FP上是否存在過點K的直線與平面A1BE平行,若存在,請給予證明;若不存在,請說明理由. 【解析】(1)在正△ABC中,取BE的中點D,連接DF,如圖3. 因為BE=AF=2CF,所以AF=AD,AE=DE,而∠A=60,所以△ADF為正三角形,又AE=DE, 所以EF⊥AD. 所以在題干圖2中,A1E⊥EF,BE⊥EF. 故∠A1EB為二面角A1-EF-B的一個平面角, 因為平面A1EF⊥平面BEFC, 所以∠A1EB=90,即A1E⊥EB. 因為EF∩EB=E,所以A1E⊥平面BEFC. 因為FP?平面BEFC,所以A1E⊥FP. (2)在平面A1FP上存在過點K的直線與平面A1BE平行.理由如下: 如圖1,在正△ABC中,因為BP=BE,BE=AF,所以BP=AF,所以FP∥AB, 所以FP∥BE. 如圖4,取A1P的中點M,連接MK, 因為點K為棱A1F的中點, 所以MK∥FP. 因為FP∥BE,所以MK∥BE. 因為MK?平面A1BE,BE?平面A1BE, 所以MK∥平面A1BE. 故在平面A1FP上存在過點K的直線MK與平面A1BE平行.