江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 專題一 三角函數(shù)與平面向量 第3講 平面向量學案.doc
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第3講 平面向量 [考情考向分析] 1.江蘇高考對平面向量側重基本概念與基本計算的考查．重點是向量的數(shù)量積運算.2.向量作為工具，常與三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等結合，考查向量的綜合運用．解題時要注意解析法和轉化思想的滲透． 熱點一 平面向量的線性運算 例1 (1)如圖，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于點E，BC邊上的中線AM交DE于點N，設＝a，＝b，用a，b表示向量，則＝____________. 答案 (a＋b) 解析 因為DE∥BC，所以DN∥BM， 則△AND∽△AMB，所以＝. 因為＝，所以＝. 因為M為BC的中點， 所以＝(＋)＝(a＋b)， 所以＝＝(a＋b)． (2)(2018江蘇啟東中學模擬)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，點E是BC的中點．若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的值為________． 答案 解析 由題意得，＝(＋)＝(＋3) ＝(＋3－3)＝2－， ∴＝＋， 故x＋y＝＋＝. 思維升華 (1)對于平面向量的線性運算，要先選擇一組基底，同時注意向量共線定理的靈活運用． (2)運算過程中重視數(shù)形結合，結合圖形分析向量間的關系． 跟蹤演練1 (1)已知兩點A(1,0)，B(1,1)，O為坐標原點，點C在第二象限，且∠AOC＝135，設＝－＋λ(λ∈R)，則λ的值為________． 答案 解析 由∠AOC＝135知，點C在直線y＝－x(x<0)上， 設點C的坐標為(a，－a)，a<0， ∵＝－＋λ(λ∈R)，∴有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)， 得a＝－1＋λ，－a＝λ，消去a得λ＝. (2)如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點，且交對角線AC于點K，其中，＝，＝，＝λ，則λ的值為________． 答案 解析 ∵＝，＝， ∴＝，＝2. 由向量加法的平行四邊形法則可知，＝＋， ∴＝λ＝λ(＋) ＝λ＝λ＋2λ， 由E，F(xiàn)，K三點共線，得λ＋2λ＝1，可得λ＝. 熱點二 平面向量的數(shù)量積 例2 (1)(2018江蘇興化一中模擬)在△ABC中，點D，E分別在線段AC，BC上，＝，若AE，BD相交于點F，且||＝，則＝________. 答案 3 解析 如圖，由已知，得－＝0， ∴(＋)－(＋)＝0， ∴－＝0， ∴(＋)＝0，即＝0， ∴BD⊥AE，在Rt△BEF中，＝||2＝3. (2)(2018江蘇揚州中學模擬)如圖，已知AC＝BC＝4，∠ACB＝90，M為BC的中點，D為以AC為直徑的圓上一動點，則的最小值是________． 答案 8－4 解析 以AC的中點O為原點，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(－2,0)，C(2，0)，O(0,0)，M(2，－2)， 設D(2cos α，2sin α)， ∴＝(4，－2)， ＝(2－2cos α，－2sin α)， ∴＝4(2－2cos α)＋4sin α ＝8＋4sin(α－θ)， 其中tan θ＝2， ∵sin(α－θ)∈[－1,1]，∴()min＝8－4. 思維升華 (1)數(shù)量積的計算通常有三種方法：數(shù)量積的定義、坐標運算、數(shù)量積的幾何意義，特別要注意向量坐標法的運用． (2)求解幾何圖形中的數(shù)量積問題，把向量分解轉化成已知向量的數(shù)量積計算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐標系，把數(shù)量積的計算轉化成坐標運算，也是一種較為簡捷的方法． 跟蹤演練2 (1)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若＝－3，則＝________. 答案 解析 方法一 設＝4a，＝3b， 其中|a|＝|b|＝1， 則＝2a，＝2b. 由＝(＋)(＋)＝－3， 得(3b＋2a)(2b－4a)＝－3， 化簡得ab＝， 所以＝12ab＝. 方法二 以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系(圖略)，則A(0,0)，B(4,0)， 設D(3cos α，3sin α)， 則C(3cos α＋2,3sin α)，M(2cos α，2sin α)． 由＝－3， 得(3cos α＋2,3sin α)(2cos α－4,2sin α)＝－3， 化簡得cos α＝， 所以＝12cos α＝. (2)如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90，D是BC的中點，若向量＝＋m，且的終點M在△ACD的內(nèi)部(不含邊界)，則的取值范圍是________． 答案 (－2,6) 解析?。?＋) ＝ ＝－16＋16m2 ＝16m2－3， 由平行四邊形法則可得m∈， 所以的取值范圍是(－2,6)． 熱點三 平面向量的綜合問題 例3 (1)已知正實數(shù)x，y滿足向量a＝(x＋y,2)，b＝(xy－2，1)共線，c＝，且a(a－c)≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． 答案 解析 由a＝(x＋y,2)，b＝(xy－2,1)共線得x＋y＝2(xy－2)， 則x＋y＋4＝2xy≤， 即(x＋y)2－2(x＋y)－8≥0， 當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立． 又由x，y是正實數(shù)，得x＋y≥4. 不等式a(a－c)≥0， 即a2≥ac， 所以(x＋y)2＋4≥m(x＋y)＋3， 即(x＋y)2－m(x＋y)＋1≥0，令x＋y＝t，t≥4， 則t2－mt＋1≥0，t∈[4，＋∞)．(*) 對于方程t2－mt＋1＝0，當Δ＝m2－4≤0， 即－2≤m≤2時，(*)式恒成立； 當m<－2時，相應二次函數(shù)y＝t2－mt＋1的對稱軸t＝<－1，(*)式恒成立； 當m>2時，由相應二次函數(shù)y＝t2－mt＋1的對稱軸t＝<4，且16－4m＋1≥0， 得2
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