高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念學(xué)案 蘇教版必修1.doc

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函數(shù)的概念 一、考點(diǎn)突破 1. 理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)構(gòu)成的要素； 2. 會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域，函數(shù)值，知道兩函數(shù)相等的條件。 二、重難點(diǎn)提示 重點(diǎn)：函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系； 難點(diǎn)：一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域的求法。 1. 函數(shù)的定義 設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的每一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有惟一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記做y＝f（x），x∈A。 2. 函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù)y＝f（x），x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合B的子集。兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全一致時(shí)，則認(rèn)為兩個(gè)函數(shù)相等。 3. 常見函數(shù)定義域的求法 （1）分式函數(shù)中分母不等于零。 （2）偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0。 （3）一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽。 【重要提示】在研究函數(shù)問題時(shí)，要樹立“定義域優(yōu)先”的觀點(diǎn)。 4. 函數(shù)解析式的求法 求函數(shù)解析式的常用方法有待定系數(shù)法、換元法、配湊法、消去法。 例題1 有以下判斷： ①f（x）＝與g（x）＝表示同一函數(shù)； ②函數(shù)y＝f（x）的圖象與直線x＝1的交點(diǎn)最多有1個(gè)； ③f（x）＝x2－2x＋1與g（t）＝t2－2t＋1是同一函數(shù)； ④若f（x）＝|x－1|－|x|，則＝0； 其中正確判斷的序號(hào)是________。 思路分析：對(duì)于（1），由于函數(shù)f（x）＝的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}，而函數(shù)g（x）＝的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對(duì)于（2），若x＝1不是y＝f（x）定義域的值，則直線x＝1與y＝f（x）的圖象沒有交點(diǎn)，如果x＝1是y＝f（x）定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線x＝1與y＝f（x）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即y＝f（x）的圖象與直線x＝1最多有一個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于（3），f（x）與g（t）的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，所以f（x）和g（t）表示同一函數(shù)；對(duì)于（4），由于＝－＝0，所以＝f（0）＝1。 綜上可知，正確的判斷是（2）（3）。 答案：（2）（3） 例題2 給出下列兩個(gè)條件： （1）f（＋1）＝x＋2； （2）f（x）為二次函數(shù)，且f（0）＝3，f（x＋2）－f（x）＝4x＋2，請(qǐng)?jiān)囍謩e求出f（x）的解析式。 思路分析：（1）將 +1 當(dāng)作一個(gè)整體，利用換元法設(shè)其為t，求出f(t)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，就是f(x)的解析式。 （2）設(shè)二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c，先求出c，再代入到f(x+2)-f(x)=4x+2中，根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別相等，列出關(guān)于a,b的方程即可分別求出a,b. 答案：解：（1）令t＝＋1，∴t≥1，x＝（t－1）2， 則f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1， ∴f（x）＝x2－1（x≥1）； （2）設(shè)f（x）＝ax2＋bx＋c （a≠0），又f（0）＝c＝3， ∴f（x）＝ax2＋bx＋3， ∴f（x＋2）－f（x）＝a（x＋2）2＋b（x＋2）＋3－（ax2＋bx＋3）＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2， ∴，∴， ∴f（x）＝x2－x＋3。 【方法提煉】 1. 函數(shù)三要素 函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系。這三要素不是獨(dú)立的，值域可由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定；因此當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同時(shí)，函數(shù)才是同一函數(shù)。 特別值得說明的是，對(duì)應(yīng)關(guān)系是就結(jié)果而言的（判斷兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對(duì)于函數(shù)定義域中的任意一個(gè)相同的自變量的值，按照這兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同），而不是指形式上的，即對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，不能只看外形，要看本質(zhì)；若是用解析式表示的，要看化簡(jiǎn)后的形式才能正確判斷。 2. 函數(shù)定義域的求解方法 求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含的運(yùn)算有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集。 復(fù)合函數(shù)求定義域的方法 （1）若的定義域?yàn)?，求出中的解的范圍，即為的定義域； （2）若的定義域?yàn)?，則由確定的范圍即為的定義域。 （3）若的定義域?yàn)?，求的定義域，可先由定義域求得的定義域，再由的定義域求的定義域。 【滿分訓(xùn)練】 求下列函數(shù)的定義域： （1）已知函數(shù)，求函數(shù)f（x）的定義域； （2）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求的定義域； （3）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋蠛瘮?shù)的定義域； （4）函數(shù)定義域是，求的定義域。 思路分析：（1）要使該函數(shù)有意義，應(yīng)滿足，即， ∴函數(shù)的定義域?yàn)椋? （2）的定義域?yàn)?，，? 故函數(shù)的定義域?yàn)椋? （3）由，得； 令，則，， 故的定義域?yàn)椋? （4）先求的定義域 的定義域是，，， 即的定義域是，再求的定義域?yàn)?，? ∴的定義域是。 總結(jié)：已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域，是指求滿足a≤g（x）≤b的x的取值范圍，而已知f[g（x）]的定義域是[a，b]，指的是x∈[a，b]。 3. 函數(shù)解析式的求法 （1）配湊法：由已知條件f（g（x））＝F（x），可將F（x）改寫成關(guān)于g（x）的表達(dá)式，然后以x替代g（x），便得到f（x）的解析式； （2）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)），可用待定系數(shù)法； （3）換元法：已知復(fù)合函數(shù)f（g（x））的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍； （4）消去法：已知關(guān)于f（x）與或f（-x）的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f（x）。