（浙江專用）2019高考數(shù)學二輪復習精準提分 第二篇 重點專題分層練中高檔題得高分 第8練 三角函數(shù)的概念、三角恒等變換試題.docx

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第8練　三角函數(shù)的概念、三角恒等變換 [明晰考情]　1.命題角度：三角函數(shù)的概念和應用；利用三角恒等變換進行求值或化簡.2.題目難度：單獨考查概念和三角變換，難度為中低檔；三角恒等變換和其他知識交匯命題，難度為中檔． 考點一　任意角的三角函數(shù) 要點重組　(1)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，構成集合S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}． (2)三角函數(shù)：角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝(x≠0)． (3)各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 1．在平面直角坐標系中，點O(0,0)，P(6,8)，將向量繞點O按逆時針方向旋轉后得到向量，則點Q的坐標是(　　) A．(－7，－) B. (－7，) C．(－4，－2) D．(－4，2) 答案　A 解析　因為點O(0,0)，P(6,8)，所以＝(6,8)， 設＝(10cosθ，10sinθ)， 則cosθ＝，sinθ＝， 因為向量繞點O按逆時針方向旋轉后得到， 設Q(x，y)，則x＝10cos ＝10＝－7， y＝10sin＝10＝－， 所以點Q的坐標為，故選A. 2．已知角α的終邊經(jīng)過點P(m，－3)，且cosα＝－，則m等于(　　) A．3B．－3C．－4D．4 答案　C 解析　由題意知，cosα＝＝－，∴m<0，解得m＝－4. 3．在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱．若sinα＝，則sinβ＝________. 答案　 解析　由角α與角β的終邊關于y軸對稱， 可知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)， 所以β＝2kπ＋π－α(k∈Z)， 所以sinβ＝sinα＝. 4．函數(shù)y＝的定義域是__________________． 答案　，k∈Z 考點二　三角函數(shù)的求值與化簡 要點重組　(1)同角三角函數(shù)基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα. (2)誘導公式：角α(k∈Z)的三角函數(shù)口訣： 奇變偶不變，符號看象限． (3)和差公式． 方法技巧　(1)三角函數(shù)求值化簡的基本思路“一角二名三結構”；注意角的變形，看函數(shù)名稱之間的關系；觀察式子的結構特點． (2)公式的變形使用尤其是二倍角余弦的變形是高考的熱點，sin2α＝，cos2α＝. 5．若sin＝，則sin的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　∵sin＝， ∴sin＝cos ＝cos＝cos2 ＝1－2sin2 ＝1－2＝－. 6．若tanα＝2tan，則等于(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　C 解析　cos＝cos ＝cos＝sin， 所以原式＝＝＝＝＝3. 7．若cos＝，sin＝，α∈，β∈，則sin(α＋β)＝________. 答案　 解析　∵α∈，且cos>0， ∴－<－α<0，∵β∈， ∴<＋β<， 又cos＝，sin＝， ∴sin＝－，cos＝， ∴sin(α＋β)＝sin ＝sincos－cossin ＝－＝. 8．已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，則α＋β＝________. 答案　 解析　因為0<β<<α<， 所以<2α<π，－<－β<0， 所以<2α－β<π. 又因為cos(2α－β)＝－， 所以sin(2α－β)＝. 因為0<β<<α<， 所以－<－2β<0， 所以－<α－2β<. 又因為sin(α－2β)＝， 所以cos(α－2β)＝. 所以cos(α＋β) ＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－＋＝. 又因為＜α＋β＜， 所以α＋β＝. 考點三　三角恒等變換的應用 要點重組　輔助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝. 9．函數(shù)f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)的最小正周期是(　　) A. B．π C. D．2π 答案　B 解析　∵f(x)＝2sinxcosx＋(cos2x－sin2x) ＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴T＝π，故選B. 10．(2018全國Ⅰ)已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，則|a－b|等于(　　) A.B.C.D．1 答案　B 解析　由cos2α＝，得cos2α－sin2α＝， ∴＝，又cosα≠0，∴＝， ∴tanα＝，即＝，∴|a－b|＝.故選B. 11．設當x＝θ時，函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，則cosθ＝________. 答案?。? 解析　f(x)＝sinx－2cosx ＝＝sin(x－φ)， 其中sinφ＝，cosφ＝. 當x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取到最大值， 即當θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取到最大值， 所以cosθ＝－sinφ＝－. 12．函數(shù)f(x)＝sinx－cos的值域為________． 答案　[－，] 解析　f(x)＝sinx－cos ＝sinx－ ＝sinx－cosx ＝ ＝sin∈[－，]． 1．若sin＝，A∈，則sinA的值為(　　) A. B. C.或 D. 答案　B 解析　∵A∈，∴A＋∈， ∴cos<0， ∴cos＝－＝－， ∴sinA＝sin ＝sincos－cossin ＝－＝. 2．若tan＝，且－＜α＜0，則＝________. 答案?。? 解析　由tan＝＝，得tanα＝－. 又－＜α＜0，所以sinα＝－. 故＝＝2sinα＝－. 3．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，則tanθ的值為________． 答案?。? 解析　∵sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)， ∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝， ∴sinθcosθ＝－， ∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝. 又θ∈(0，π)，∴sinθ＞0，cosθ＜0， ∴sinθ－cosθ＝， ∴sinθ＝，cosθ＝－， ∴tanθ＝－. 解題秘籍　(1)使用平方關系求函數(shù)值，要注意角所在的象限和三角函數(shù)值的符號． (2)利用三角函數(shù)值求角要解決兩個要素：①角的某一個三角函數(shù)值；②角的范圍(盡量縮小)． 1．已知點A的坐標為(4，1)，將OA繞坐標原點O按逆時針方向旋轉至OB，則點B的縱坐標為(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　由題意知|OA|＝|OB|＝7，設射線OA與x軸正方向所成的角為α，顯然sinα＝，cosα＝， 故sin＝sinαcos＋cosαsin＝＋＝， 故點B的縱坐標為|OB|sin＝. 2．已知P(m，2)為角α的終邊上一點，且sinα＝－，則tanα的值為(　　) A. B．－ C．1 D．－1 答案　D 解析　由題意知，＝－， 所以故m＝－2，所以tanα＝－1. 3．(2018全國Ⅲ)若sinα＝，則cos2α等于(　　) A.B.C．－D．－ 答案　B 解析　∵sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－22＝. 4.等于(　　) A．－B．－C.D. 答案　C 解析　由題意得 ＝ ＝＝sin30＝. 5．已知函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2x，下列說法錯誤的是(　　) A．f(x)的最小正周期為π B．直線x＝是f(x)圖象的一條對稱軸 C．f(x)在上單調遞增 D．|f(x)|的值域是[0,1] 答案　C 解析　f(x)＝cos2x，f(x)在上不單調， ∴選項C中的結論錯誤． 6．記a＝sin(cos2010)，b＝sin(sin2010)，c＝cos(sin2010)，d＝cos(cos2010)，則a，b，c，d中最大的是(　　) A．a(chǎn)B．bC．cD．d 答案　C 解析　注意到2010＝3605＋180＋30，因此 sin2010＝－sin30＝－，cos2010＝－cos30＝－，因為－＜－＜0，－＜－＜0,0＜＜＜，所以cos＞cos＞0，所以a＝sin＝－sin＜0，b＝sin＝－sin＜0，c＝cos＝cos＞d＝cos＝cos＞0，因此c最大． 7．設α∈，β∈，且tanα＝，則(　　) A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 答案　B 解析　由tanα＝，得＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ， ∴sin(α－β)＝cosα＝sin. ∵α∈，β∈， ∴α－β∈，－α∈， ∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，∴2α－β＝. 8．定義22矩陣＝a1a4－a2a3，若f(x)＝，則(　　) A．f(x)圖象關于(π，0)中心對稱 B．f(x)圖象關于直線x＝對稱 C．f(x)在區(qū)間上單調遞增 D．f(x)是周期為π的奇函數(shù) 答案　C 解析　由題中所給定義可知，f(x)＝cos2x－sin2x－ cos＝cos2x＋sin2x＝2cos. 令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)在區(qū)間上單調遞增． 9．函數(shù)f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函數(shù)，則tanθ＝________. 答案　－ 解析　因為函數(shù)f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函數(shù)，所以f(0)＝cosθ＋sinθ＝0，得tanθ＝－. 10．已知sin＝，則cos＝________. 答案　－ 解析　因為sin＝sin ＝cos＝cos＝， 所以cos＝2cos2－1＝22－1＝－. 11．(2018全國Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝________. 答案?。? 解析　∵sinα＋cosβ＝1，① cosα＋sinβ＝0，② ∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1， ∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－， ∴sin(α＋β)＝－. 12．若α∈，則的最大值為______________________________． 答案　 解析　∵α∈， ∴＝＝，且tanα>0， ∴＝≤＝， 當且僅當tanα＝，即tanα＝2(舍負)時，等號成立． 故的最大值為.