（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 課時分層作業(yè) 五十二 8.7 拋物線 文.doc

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課時分層作業(yè) 五十二拋　物　線 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.已知拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點在坐標原點O,并且經(jīng)過點M(2,y0).若點M到該拋物線焦點的距離為3,則|OM|= (　　) A.2　　　B.2　　　C.4　　　D.2 【解析】選B.設(shè)拋物線的標準方程為C:y2=2px(p>0),由焦半徑公式得2+=3,所以p=2,不妨設(shè)M(2,2),如圖, |OM|=2. 2.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線y=2x-4與C交于A,B兩點,則cos∠AFB= (　　) A. B. C.- D.- 【解析】選D.聯(lián)立 解得或不妨設(shè)A在x軸上方, 所以A(4,4),B(1,-2), 因為F點坐標為(1,0), 所以=(3,4),=(0,-2), cos∠AFB===-. 【一題多解】選D.因為A(4,4), B(1,-2),|AB|=3,|AF|=5,|BF|=2, 由余弦定理知, cos∠AFB==-. 3.已知拋物線y2=2px(p>0)的準線經(jīng)過點(-1,1),則該拋物線焦點坐標為 (　　) A. B.(1,0) C. D.(0,1) 【解析】選B.因為拋物線y2=2px(p>0)的準線為x=-且過點(-1,1),故-=-1,解得p=2.所以拋物線的焦點坐標為(1,0). 【一題多解】選B.由于準線方程為x=-,焦點坐標為,所以由準線經(jīng)過點(-1,1),可知焦點坐標為(1,0). 【變式備選】拋物線y=2x2的焦點坐標是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.拋物線的標準方程為x2=y,所以焦點坐標是. 【方法技巧】根據(jù)拋物線的標準方程確定焦點坐標. 4.以x軸為對稱軸,原點為頂點的拋物線上的一點P(1,m)到焦點的距離為4,則拋物線的方程是 (　　) A.y=4x2 B.y=12x2 C.y2=6x D.y2=12x 【解析】選D.設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),則由拋物線的定義知1+=4,即p=6,所以拋物線方程為y2=12x. 5. 已知拋物線y2=2x的弦AB的中點的橫坐標為,則|AB|的最大值為 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選D.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=3,利用拋物線的定義可知,|AF|+ |BF|=x1+x2+1=4,由圖可知|AF|+|BF|≥|AB|,即|AB|≤4,當且僅當直線AB過焦點F時,|AB|取得最大值4. 6.設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,曲線y=(k>0)與C交于點P,PF⊥x軸,則k= (　　) A. B.1 C. D.2 【解析】選D.因為y2=4x,所以F(1,0).又因為曲線y=(k>0)與C交于點P,PF⊥x軸,所以P(1,2).將點P(1,2)的坐標代入y=(k>0),得k=2. 7.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為 (　　) A.16 B.14 C.12 D.10 【解析】選A.方法一:設(shè)直線l1方程為y=k1(x-1),聯(lián)立方程 得x2-2x-4x+=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4), 所以x1+x2=-=, 同理直線l2與拋物線的交點滿足x3+x4=, 由拋物線定義可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p =++4=++8≥2+8=16, 當且僅當k1=-k2=1(或-1)時,取得等號. 方法二:不妨設(shè)AB的傾斜角為θ.作AK1垂直于準線,垂足為K1,AK2垂直于x軸,垂足為K2,準線交x軸于點G, 易知 所以cos θ+p=, 所以=,同理=, 所以==, 又DE與AB垂直,即DE的傾斜角為+θ, ==, 而y2=4x,即p=2. 所以+=2p =4== =≥16,當θ=時取等號, 即+的最小值為16. 二、填空題(每小題5分,共15分) 8.已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點,則|FN|=________. 【解析】設(shè)N(0,a),F(2,0),那么M,點M在拋物線上,所以=8,解得a=4,所以N(0,4), 那么|FN|==6. 答案:6 9.如圖是拋物線形拱橋,當水面在l時,拱頂離水面2米,水面寬4米.水位下降1米后,水面寬________米. 【解析】建立坐標系如圖所示: 則可設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0).因為點(2,-2)在拋物線上,所以p=1,即拋物線方程為x2=-2y.當y=-3時,x=.所以水位下降1米后,水面寬為2米. 答案:2 10.已知雙曲線C1:-=1(a>0,b>0) 的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為 2,則拋物線C2的方程為________. 【解析】因為雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)的離心率為2,所以2==,所以=,所以漸近線方程為xy=0,因為拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點F,所以F到雙曲線C1的漸近線的距離為=2,所以p=8,所以拋物線C2的方程為x2=16y. 答案:x2=16y 1.(5分)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5.若以MF為直徑的圓過點(0,2),則拋物線C的方程為 (　　) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 【解析】選C.由已知得拋物線的焦點F,設(shè)點A(0,2),拋物線上點M(x0,y0),則=,=.由已知得,=0,即-8y0+16=0,因而y0=4, M.由|MF|=5得,+=5,又p>0,解得p=2或p=8,所以拋物線C的方程為y2=4x或y2=16x. 【變式備選】若直線ax-y+1=0經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點,則實數(shù)a=________. 【解析】直線ax-y+1=0經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F(1,0),則a+1=0,所以a=-1. 答案:-1 2.(5分) O為坐標原點,F為拋物線C:y2=4x的焦點,P為C上一點,若|PF|=4,則△POF的面積為 (　　) A.2 B.2 C.2 D.4 【解析】選C.由題意可知焦點坐標為F(,0),因為|PF|=4,所以xP+=4,所以xP=3,所以|yP|=2,所以△POF的面積為S=2=2. 【變式備選】過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F且傾斜角為120的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A,B兩點,則的值等于 (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.記拋物線y2=2px的準線為l′,如圖,作AA1⊥l′,BB1⊥l′,AC⊥BB1,垂足分別是A1,B1,C,則有cos∠ABB1 ===, 即cos 60==,由此得=. 3.(5分)(2017山東高考)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線-=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點,若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為________________. 【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線的定義知|AF|=y1+,|BF|=y2+,|OF|=,所以|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=2p, 可得y1+y2=p, 聯(lián)立方程得-+1=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=p, 所以p=p,則=,=,所以雙曲線的漸近線方程為y=x. 答案:y=x 【變式備選】過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,若|AF|=3,則|BF|=________. 【解析】焦點坐標為F(1,0),所以直線方程為y=k(x-1),代入拋物線方程得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 所以x1+x2=,x1x2=1. 由題意知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,由已知|AF|=3,所以x1=2,所以x2=,所以|BF|=. 答案: 4.(12分)(2017北京高考)已知拋物線C:y2=2px過點P(1,1).過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點A,B,其中O為原點. (1)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標和準線方程. (2)求證:A為線段BM的中點. 【解析】(1)把P(1,1)代入y2=2px得p=,所以C:y2=x, 所以焦點坐標,準線方程:x=-. (2)設(shè)l:y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2), OP:y=x,ON:y=x, 由題知A(x1,x1),B, 由 消去y得k2x2+(k-1)x+=0, 所以x1+x2=,x1x2=. 所以y1+=kx1++=2kx1+,由x1+x2=,x1x2=, 上式=2kx1+=2kx1+(1-k)2x1=2x1, 所以A為線段BM的中點. 5.(13分)(2017全國卷Ⅲ)已知拋物線C:y2=2x,過點(2,0)的直線l交C于A,B兩點,圓M是以線段AB為直徑的圓. (1)證明:坐標原點O在圓M上. (2)設(shè)圓M過點P(4,-2),求直線l與圓M的方程. 【解析】(1)a.當直線l⊥x軸時,將x=2代入y2=2x得y=2, 故|AB|=4,圓的半徑為2,故原點O在圓M上, b.當直線l不垂直于x軸時,設(shè)AB的方程為y=k(x-2)①, 因為拋物線C的方程為y2=2x②, 聯(lián)立①②得,k2x2-(4k2+2)x+4k2=0, 設(shè)A,B坐標分別為(x1,y1),(x2,y2), 則x1+x2=③, x1x2=4④, 則=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-2)(x2-2) =(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2⑤, 將③④代入⑤得=4(1+k2)-2(4k2+2)+4k2=0, 故OA⊥OB,又因為AB為直徑,所以原點O在圓M上. (2)若斜率k不存在時,則圓M不經(jīng)過P(4,-2),故斜率k存在. 因為圓M過點P(4,-2),所以PA⊥PB, 即=0. 將點P,A,B的坐標代入得(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2+y1y2-4(x1+x2)+2(y1+y2)+20=0⑥, 由于y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2)=k(x1+x2)-4k, 利用(1)中的結(jié)論及式③化簡⑥式得k2+k-2=0, 解得k=-2或k=1. 所以當k=-2時,直線l的方程為y=-2(x-2),x1+x2=, 所以點M的橫坐標為x0=,將x0=代入直線l的方程y=-2(x-2)得縱坐標y0=-,所以點M, 所以|MP|==,所以圓M的方程為+=. 當k=1時,直線l的方程為y=x-2,x1+x2=6, 所以點M的橫坐標為x0=3,將x0=3代入直線l的方程得縱坐標y0=1, 所以點M(3,1),所以|MP|==, 所以圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10. 所以當k=-2時,直線l的方程為y=-2(x-2),圓M的方程為+=; 當k=1,直線l的方程為y=x-2,圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10. 【變式備選】有一塊正方形菜地EFGH,EH所在直線是一條小河.收獲的蔬菜可送到F點或河邊運走.于是,菜地分為兩個區(qū)域S1和S2,其中S1中的蔬菜運到河邊較近,S2中的蔬菜運到F點較近,而菜地內(nèi)S1和S2的分界線C上的點到河邊與到F點的距離相等,現(xiàn)建立平面直角坐標系,其中原點O為EF的中點,點F的坐標為(1,0),如圖. (1)求菜地內(nèi)的分界線C的方程. (2)菜農(nóng)從蔬菜運量估計出S1面積是S2面積的兩倍,由此得到S1面積的“經(jīng)驗值”為.設(shè)M是C上縱坐標為1的點,請計算以EH為一邊、另有一邊過點M的矩形的面積,及五邊形EOMGH的面積,并判斷哪一個更接近于S1面積的經(jīng)驗值. 【解析】(1)因為C上的點到直線EH與到點F的距離相等,所以C是以F為焦點、以EH所在直線為準線的拋物線在正方形EFGH內(nèi)的部分,其方程為y2=4x(0≤y≤2). (2)依題意,點M的坐標為. 所求的矩形面積為,而所求的五邊形面積為. 矩形面積與“經(jīng)驗值”之差的絕對值為=,而五邊形面積與“經(jīng)驗值”之差的絕對值為=,所以五邊形面積更接近于S1面積的“經(jīng)驗值”.