陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理小結(jié)復(fù)習(xí)（一）教案 北師大版選修2-3.doc

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第一章 計數(shù)原理（復(fù)習(xí)一） 一、兩個計數(shù)原理 1． 精要總結(jié) （1）分類加法計數(shù)原理又稱為分類計數(shù)原理、加法原理等．應(yīng)用此原理解題要注意以下幾點： ①明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些辦法，怎樣才算是完成這件事． ②當(dāng)完成這件事的n類方法是相互獨立的，無論哪種方案中的哪種方法都可以單獨完成這件事，而不需要再用到其他的方法． ③確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩藴?，準確地對“這件事”進行分類，要求每一種方法都屬于某一類方案，不同類方案的任意兩種方法是不同的方法．也就是分類時必須既“不重復(fù)”也“不遺漏”． ④分類加法計數(shù)原理的集合表述形式 做一件事．完成它的辦法用集合S表示，S被劃分成n類方法分別用集合S1，S2，S3，……，Sn表示，即S=S1∪S2∪S3∪……∪Sn且Si∪Sj=（i≠j；i，j=1，2，……，n），S1，S2，S3，……，Sn分別有m1，m2，……，mn個元素，則完成這件事共有的方法即集合S中元素的個數(shù)為m1+m2+……+mn．如下圖所示： （2）分步乘法計數(shù)原理又稱為分步計數(shù)原理、乘法原理等．應(yīng)用此原理解題要注意以下三點： ①明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事要經(jīng)過幾步． ②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事都不可能完成． ③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n步連續(xù)地去做，才能完成這件事，各步驟之間既不能重復(fù)也不能遺漏． 可以用下圖表示分步計數(shù)原理． （3）分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理常綜合應(yīng)用：在分類中又包含分步，或分步中包含分類，“類”“步”交融．解決此類問題要注意根據(jù)所學(xué)認真分析，既要會合理分類，又能合理分步，解答時是先分類后分步，還是先分步后分類應(yīng)視具體問題而定．常見的問題一般是先分類后分步． 2． 錯例辨析 例1 甲、乙、丙、丁四位女同學(xué)在課后練習(xí)打排球，第一次甲傳給乙、丙、丁三人中任一人，第二次由接球者再傳給其他三人任一人，這樣共傳了4次，則第4次球仍回到甲的方法共有 ( ) A．21種 B．42種 C．24種 D．27種 錯解：分四步完成：第一步由甲傳給乙、丙、丁中的一人，有3種方法；第二步傳給甲以外的2人，第三步又傳給甲以外的2人，第四步再傳給甲．共有221種方法，因此一共有3221=12種方法． 錯因分析：上述解法中漏掉了第二步可以在傳回甲這種情況，正確解法如下： 正解：分四步完成：第一步由甲傳給乙、丙、丁中的一人，有3種方法；第二步應(yīng)分二類考慮：第一類傳給甲，則第三步傳給乙、丙、丁均可，第四步再傳給甲，共有131種方法；第二類不傳給甲，則可傳給甲以外的2人，第三步又傳給甲以外的2人，第四步再傳給甲．共有221種方法，因此一共有3(131+221)=21種方法． 變式訓(xùn)練：甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自從家里拿來了互不相同的一本課外書，他們把四本不同的書籍放在一起，然后從中取一本別的同學(xué)的書進行交換看，則不同的取法共有（） A． 6種 B． 9種 C． 11種 D． 23種 答案:B 解：第一步：四個人中的任意一人(例如甲)先取一本，則由題意知共有3 種取法；第二步：由第一人取走的書的供書人取，也有3種取法；第三步：由剩余的兩人中的任一人取，只有一種取法；第四步：最后一人取，只有一種取法．由分步乘法計數(shù)原理，共有3311=9(種)．故選B． 二、排列組合問題的綜合應(yīng)用 1． 精要總結(jié) 排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)．排列問題常見方法要熟悉，相鄰用捆綁法、不相鄰用插空法、特殊元素（位置）優(yōu)先處理等，還常通過試驗、畫簡圖等手段使問題形象化，從而易于尋求解題途徑．由于結(jié)果的正確性難以直接檢驗．因而常需要用不同的方法求解來獲得檢驗．組合問題解決的基本方法是按元素的性質(zhì)進行分類、按事件發(fā)生的過程分步，要注意題設(shè)中“至少”“至多”等限制詞的意義，注意正難則反的思想的應(yīng)用． 處理排列與組合的綜合性問題應(yīng)遵循的三大原則：先特殊后一般的原則、先選后排的原則、先分類后分步的原則．按元素的性質(zhì)“分類”和按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”始終是處理排列、組合問題的基本原理，要通過解題訓(xùn)練積累分類和分步的基本技能，還要牢記排列數(shù)、組合數(shù)計算公式與組合數(shù)性質(zhì)，能熟練的進行運算． 2． 錯例辨析 例2 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有（） A．140種 B．80種 C．70種 D．35種 答案:C 錯解：至少要甲型和乙型電視機各一臺，可這樣?。杭仔?臺、乙型1臺，從剩余部分再任意取一臺；故不同的取法有臺．選A． 錯因分析：甲型1臺、乙型1臺，剩余的隨便取一臺會出現(xiàn)重復(fù)，因此，我們需要詳細將其中的情況分類，或者利用排除法解決． 正解：方法一：利用排除法，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有種．選 方法二：至少要甲型和乙型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有臺．選 變式訓(xùn)練：在去年清華大學(xué)自主招生過程中，我市有4名學(xué)生通過了考核，其中只有3個專業(yè)可供這4名同學(xué)選擇，每個專業(yè)至少要有一名同學(xué)填報，且甲、乙不能選擇同一專業(yè)，則不同的填報方案種數(shù)為__________種． 答案:30 解：先將4人分成三組，一組2人，其它兩組各1人且甲、乙不在同一組，共有分組方法，3組同學(xué)分別填報3個專業(yè)共有填法．根據(jù)分步計數(shù)原理可知,不同的填報方案種數(shù)為種． 例3 某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有（） A． 4種 B． 10種 C． 18種 D． 120種 錯解：贈送4人可以是2本畫冊2本集郵冊，可有=72種贈法；還可以是1本畫冊3本集郵冊，贈法有=48，所以贈法一共有72+48=120種，故選D． 錯解：由于相同的畫冊和相同的集郵冊是無區(qū)分的，故只需分組不需再排序． 正解：贈送4人可以是2本畫冊2本集郵冊，由于畫冊與集郵冊都是相同的，可有種贈法；還可以是1本畫冊3本集郵冊，贈法有，所以贈法一共有6+4=10種，故選B． 變式訓(xùn)練：亞運會期間，某班有四名學(xué)生參加了志愿者工作．將這四名學(xué)生分到A、B、C三個不同的展館服務(wù)，每個展館至少分配一人．若甲要求不到A館，則不同的分配方案有( ) A．36種 B．30種 C．24種 D．20種 答案：C 解：甲有兩種選擇，剩下的3個人可以每個展館都分一人，也可以在其他兩個展館中一個展館分兩人，一個展館分一人，所以不同的分配方案有=24種，故選C 三、二項展開式通項公式以及系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用． 1． 精要總結(jié) (1)運用二項式定理一定要牢記通項 (其中n，）．注意(a+b)n與(b+a)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不相同的，因此一定要注意二項式中兩項的順序問題．另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)的系數(shù)是兩個不同概念，前者只指而后者是指除字母外的常數(shù)部分． (2)求二項展開式中指定的項，通常是先根據(jù)已知條件求r，再求．有時還需先根據(jù)已知條件求n后，再確定r，才能求出． (3)有些三項展開問題可以通過變形變成二項式問題加以解決；有時也可以通過組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏．兩個二項式乘積問題的解決也是類似，可以將其中一個比較簡單的展開，逐項分析；也可以通過兩個式子的通項乘積建立新的通項公式，然后在進行分析． （4）求二項式所有項的系數(shù)和，可采用特殊值代入法，通常將字母變量賦值為l，-1或0； (5)用二項式定理證明整除問題，一般將被除式構(gòu)造為關(guān)于除式的二項式的形式，再展開，常采用“配湊法”、“消去法”配合整除的有關(guān)知識解決． 2． 錯例辨析 例4 如果在（+）n的展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項． 錯解：前三項的系數(shù)為成等差數(shù)列，故可知2n=1+， 整理可得n2-5n+2=0．顯然，不存在這樣的n，故本題無解． 錯因分析：對于二項式系數(shù)的定義與系數(shù)的定義理解不透徹，系數(shù)是指每項中除了字母之外的所有的常數(shù)． 正解：展開式中前三項的系數(shù)分別為1，，， 由題意得2=1+，得n=8． 設(shè)第r+1項為有理項，T=Cx，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8． 有理項為T1=x4，T5=x，T9=． 變式訓(xùn)練：的展開式中的系數(shù)是，如果展開式中第項和第項的二項式系數(shù)相等，則等于 答案:9，2 解：因為，令，即 所以的系數(shù)為； 又因為，所以或， 所以（舍去）或