(浙江專版)2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題3.5 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(練).doc
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第05節(jié) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 A基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練 1.定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,以為頂點(diǎn)的△ABC的面積記為函數(shù)S(x),則函數(shù)S(x)的導(dǎo)函數(shù)的大致圖象為( ) 【答案】D 【解析】 因?yàn)?底邊長(zhǎng)一定,點(diǎn)由到的過程中,當(dāng)與 、 共線時(shí)不能組成三角形,所以函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)都不連續(xù),故排除選項(xiàng)、,又點(diǎn)由到的過程中面積先增后減,再增再減,因此導(dǎo)函數(shù)應(yīng)該先正后負(fù),再正再負(fù),所以選項(xiàng)D符合題意,故選D. 2.【2018屆湖南省湘潭市四模】已知定義在上的奇函數(shù)滿足(),則( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)以及已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后轉(zhuǎn)化求解即可. 詳解:設(shè)g(x)=,定義在R上的奇函數(shù)f(x),所以g(x)是奇函數(shù),x>0時(shí),g′(x)=, 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足2f(x)﹣xf(x)>0(x>0),所以g′(x)>0,所以g(x)是增函數(shù),g(﹣)=<, 可得:. 故選:B. 3.已知是定義在上的偶函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,若 ,且,則不等式的解集為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】可取特殊函數(shù),故選A. 4.定義在上的函數(shù),是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有成立,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析:把給出的等式變形得到,由此聯(lián)想構(gòu)造輔助函數(shù) ,由其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到其在上為增函數(shù),則,整理就得到答案. 5.【2018屆四川省沖刺演練(一)】已知函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析:根據(jù)與時(shí)的解析式,分別判斷出函數(shù)的單調(diào)性,即可得出函數(shù)零點(diǎn)及其范圍,再結(jié)合函數(shù)的圖象即可得出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 詳解:①當(dāng)時(shí),,則. ∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),. ∴在時(shí)取得極大值為3 ∵,, ∴函數(shù)在,上各有1個(gè)零點(diǎn) ②當(dāng)時(shí),,,的零點(diǎn)為2和3. 由,得或或或,其中,. 結(jié)合函數(shù)的圖象可知,方程的解的個(gè)數(shù)為2,方程的解的個(gè)數(shù)為1,方程的解的個(gè)數(shù)為3,方程的解的個(gè)數(shù)為2. ∴函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8個(gè) B能力提升訓(xùn)練 1.【2018屆寧夏銀川一中三?!吭O(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,且有,則不等式 的解集為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:根據(jù)題意,設(shè)g(x)=x2f(x),x<0,求出導(dǎo)數(shù),分析可得g′(x)≤0,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(﹣∞,0)上為減函數(shù),結(jié)合函數(shù)g(x)的定義域分析可得:原不等式等價(jià)于,解可得x的取值范圍,即可得答案. 詳解:根據(jù)題意,設(shè)g(x)=x2f(x),x<0, 其導(dǎo)數(shù)g′(x)=[x2f(x)]′=2xf(x)+x2f′(x)=x(2f(x)+xf′(x)), 又由2f(x)+xf′(x)>x2≥0,且x<0, 則g′(x)≤0,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(﹣∞,0)上為減函數(shù), (x+2018)2f(x+2018)﹣4f(﹣2)>0 ?(x+2018)2f(x+2018)>(﹣2)2f(﹣2)?g(x+2018)>g(﹣2), 又由函數(shù)g(x)在區(qū)間(﹣∞,0)上為減函數(shù), 則有, 解可得:x<﹣2020, 即不等式(x+2018)2f(x+2018)﹣4f(﹣2)>0的解集為(﹣∞,﹣2020); 故選:B. 2.設(shè)函數(shù),其中,若存在唯一的整數(shù),使得,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 3.已知定義在上的函數(shù)滿足:函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且當(dāng)成立(是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)), 若,,, 則的大小關(guān)系是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,∴關(guān)于軸對(duì)稱, ∴函數(shù)為奇函數(shù). 因?yàn)椋? ∴當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減. ,, ,,故選A. 4.【2018屆福建省寧德市5月檢查】已知定義在上的函數(shù)滿足且,若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為______. 【答案】 【解析】分析:求出f(x)的解析式為f(x)=ex,結(jié)合函數(shù)圖象即可得出a的范圍. 詳解:∵>0,∴f(x)為增函數(shù), ∴f(f(x)﹣ex)=1, ∴存在唯一一個(gè)常數(shù)x0,使得f(x0)=1, ∴f(x)﹣ex=x0,即f(x)=ex+x0, 令x=x0可得+x0=1, ∴x0=0,故而f(x)=ex, ∵f(x)≥ax+a恒成立,即ex≥a(x+1)恒成立. ∴y=ex的函數(shù)圖象在直線y=a(x+1)上方, 不妨設(shè)直線y=k(x+1)與y=ex的圖象相切,切點(diǎn)為(x0,y0), 則,解得k=1. ∴當(dāng)0≤a≤1時(shí),y=ex的函數(shù)圖象在直線y=a(x+1)上方,即f(x)≥ax+a恒成立,: 故答案為:[0,1]. 5.已知函數(shù),. (Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性; (Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(Ⅱ). 【解析】 (Ⅰ) ① 當(dāng)上單調(diào)遞減; ② 當(dāng). . ∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 綜上:當(dāng)上單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 (Ⅱ)當(dāng)由(Ⅰ)得上單調(diào)遞減,函數(shù)不可能有兩個(gè)零點(diǎn); 當(dāng)a>0時(shí),由(Ⅰ)得,且當(dāng)x趨近于0和正無(wú)窮大時(shí),都趨近于正無(wú)窮大, 故若要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則的極小值, 即,解得, 綜上所述,的取值范圍是 C 思維拓展訓(xùn)練 1.【浙江省寧波市六校2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考】已知函數(shù),為常數(shù) (Ⅰ)若時(shí),已知在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍; (Ⅱ)若,已知,恒成立,求的取值范圍. 【答案】(1)(2) (Ⅱ), 法1: 因,,恒成立,則內(nèi),先必須遞增,即先必須,即先必須,因其對(duì)稱軸,有圖知(此時(shí)在 ),所以 法2: 因,所以, 所以, 令,因, , 所以遞增,,所以, 點(diǎn)睛:本題考查了含有參量的導(dǎo)數(shù)極值問題和恒成立問題,在解答此類題目時(shí)將參數(shù)代入,然后根據(jù)題意進(jìn)行轉(zhuǎn)化,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明,本題有一定難度. 2.【浙江省麗水市2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末】已知函數(shù),. (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間; (Ⅱ)證明:; (Ⅲ)當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的值. 【答案】(1) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)證明見解析.(3) . 【解析】分析:(Ⅰ) 求導(dǎo),由,即可得到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間; (Ⅱ) 記h(x)=f(x) g(x)=,設(shè)法證明, 即可證明 . (Ⅲ) 由題即 易證,當(dāng)時(shí)取到等號(hào), 由 得,由此可求的值. 詳解: (Ⅰ) 因?yàn)? 由,得 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是. (Ⅱ) 記h(x)=f(x) g(x)=, , 所以在R上為減函數(shù) 因?yàn)? 所以存在唯一,使即, , 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),. 所以 所以 . (Ⅲ) 因?yàn)? 所以, 易證,當(dāng)時(shí)取到等號(hào), 由 得 , , 所以即. 3.【2018屆浙江省臺(tái)州中學(xué)模擬】已知函數(shù), (1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程; (2)當(dāng)時(shí),求證:. 【答案】(1);(2)證明見解析. (2)當(dāng)時(shí),令, ,, 所以在上單調(diào)遞增,且, 所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 所以的最小值為, 所以. 點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的定義和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題,在解題的過程中,注意曲線在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程的求解步驟,以及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立的解題思路,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,通過最值所滿足的條件,求得結(jié)果. 4.【2018屆浙江省杭州市第二中學(xué)6月熱身】已知函數(shù). (Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程; (Ⅱ)求證:. 【答案】(1).(2)證明見解析. 【解析】分析:(Ⅰ)先求,再求切線的斜率即可得到曲線在處的切線. (Ⅱ)要證,只要,而,故應(yīng)考慮在上的零點(diǎn),又,此方程在僅有一個(gè)根且為的最小值點(diǎn),所以待證成立,可估算,故成立. 詳解:(Ⅰ) 所以,則切線方程為. (Ⅱ)令,則, 設(shè)的兩根為,由于, 不妨設(shè),則在是遞減的,在是遞增的. 而,所在上存在唯一零點(diǎn),且, 所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增. 所以,, 因?yàn)椋?,所以. 點(diǎn)睛:解決曲線的切線問題,核心是切點(diǎn)的橫坐標(biāo),因?yàn)楹瘮?shù)在橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率.函數(shù)不等式的證明,可歸結(jié)為函數(shù)的最值來(lái)處理,有時(shí)最小值點(diǎn)難以計(jì)算時(shí),須估算最小值點(diǎn)的范圍. 5.【2018年浙江卷】已知函數(shù)f(x)=?lnx. (Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等,證明:f(x1)+f(x2)>8?8ln2; (Ⅱ)若a≤3?4ln2,證明:對(duì)于任意k>0,直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn). 【答案】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)見解析 詳解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù), 由得, 因?yàn)?,所以? 由基本不等式得. 因?yàn)?,所以? 由題意得. 設(shè), 則, 所以 x (0,16) 16 (16,+∞) - 0 + 2-4ln2 所以g(x)在[256,+∞)上單調(diào)遞增, 故, 即. (Ⅱ)令m=,n=,則 f(m)–km–a>|a|+k–k–a≥0, f(n)–kn–a<≤<0, 所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a, 所以,對(duì)于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直線y=kx+a與曲線y=f(x)有公共點(diǎn). 由f(x)=kx+a得. 設(shè)h(x)=, 則h′(x)=, 其中g(shù)(x)=. 由(Ⅰ)可知g(x)≥g(16),又a≤3–4ln2, 故–g(x)–1+a≤–g(16)–1+a=–3+4ln2+a≤0, 所以h′(x)≤0,即函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,因此方程f(x)–kx–a=0至多1個(gè)實(shí)根. 綜上,當(dāng)a≤3–4ln2時(shí),對(duì)于任意k>0,直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn). 點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略:(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào),確定差函數(shù)單調(diào)性,利用單調(diào)性得不等量關(guān)系,進(jìn)而證明不等式.(2)根據(jù)條件,尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系,或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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