《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.3 映射的概念學(xué)案 蘇教版必修1》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.3 映射的概念學(xué)案 蘇教版必修1(5頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2.3 映射的概念
1.理解映射的概念及表達(dá)方法.
2.會(huì)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否為映射.
映射的概念
一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合,如果按某種對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于A中的每一個(gè)元素,在B中都有惟一的元素與之對(duì)應(yīng),那么,這樣的單值對(duì)應(yīng)就叫集合A到集合B的映射.記作f:A→B.
若集合A有n個(gè)元素,集合B有m個(gè)元素,則集合A到集合B的映射有mn個(gè).
【做一做1-1】根據(jù)對(duì)應(yīng)法則f:x→2x-1,寫出圖中給定元素的對(duì)應(yīng)元素.
(1)
(2)
答案:(1)1 3 5 (2)4 5 6
【做一做1-2】已知映射f:A→B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4}
2、,集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的元素,且對(duì)任意的a∈A,在B中和它對(duì)應(yīng)的元素是|a|,則集合B中的元素的個(gè)數(shù)是________.
答案:4
1.怎樣理解映射的概念?
剖析:(1)映射定義中的兩個(gè)集合A、B是有先后次序的,A到B的映射與B到A的映射是不同的.
(2)映射是由集合A、B以及從A到B的對(duì)應(yīng)法則f所確定的.
(3)在一個(gè)映射中,在對(duì)應(yīng)法則f的作用下,集合A中的任何一個(gè)元素a對(duì)應(yīng)著集合B中的元素b.
(4)符號(hào)“f:A→B”表示集合A到集合B的映射,其中對(duì)應(yīng)法則f的具體內(nèi)容可用漢字?jǐn)⑹觯纭扒笳摇薄俺艘?再加5”等.但在專業(yè)教材中,一般用比較抽象的符號(hào)來表示.
3、
(5)在一個(gè)映射中,集合A、B可以是數(shù)集,也可以是點(diǎn)集或其他集合;集合A、B也可以是同一集合,但在確定的映射中,集合A、B的地位一般是不要求對(duì)等的.
2.為什么說映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)?
剖析:(1)映射也是兩個(gè)集合A與B元素之間存在的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系.說其是一種特殊的映射,就是因?yàn)樗辉试S存在“一對(duì)一”與“多對(duì)一”這兩種對(duì)應(yīng),而不允許存在“一對(duì)多”的對(duì)應(yīng).
(2)映射中所允許的“一對(duì)一”與“多對(duì)一”這兩種對(duì)應(yīng)的特點(diǎn),從A到B的映射f:A→B實(shí)際是要求集合A中的任一元素都必須對(duì)應(yīng)于集合B中惟一的元素.但對(duì)集合B中的元素并無任何要求,即允許集合B中的元素在集合A中可能有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng),可能
4、有兩個(gè)或多個(gè)元素與之對(duì)應(yīng),也可能沒有元素與之對(duì)應(yīng).
題型一 映射的概念
【例1】下列對(duì)應(yīng)是不是從A到B的映射?
(1)A=Q,B={x∈Q|x>0},f:x→|x|;
(2)A=B=N*,f:x→|x-2|;
(3)A={x∈N|x≥2},B={y∈Z|y≥0},f:x→y=x2-2x+1;
(4)A={x|x>0},B={y|y∈R},f:x→y=.
解:(1)中,當(dāng)x=0∈A時(shí),|x|=0B,即A中的元素0按照對(duì)應(yīng)法則在B中找不到應(yīng)該對(duì)應(yīng)的元素,故(1)不是映射.
(2)中,當(dāng)x=2∈A時(shí),|x-2|=0B,與(1)類似,(2)也不是映射.
(3)中,因?yàn)閥=(x-
5、1)2≥0,所以對(duì)任意x,總有y≥0;又當(dāng)x∈N時(shí),x2-2x+1必為整數(shù),即y∈Z.所以當(dāng)x∈A時(shí),x2-2x+1∈B,且對(duì)A中每一個(gè)元素x,在B中都有惟一的y與之對(duì)應(yīng),故(3)是映射.
(4)中,任意一個(gè)x都有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng),故不是映射.
反思:給定兩集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f,判斷是否是從集合A到集合B的映射,其基本方法是利用映射的定義.用通俗的語言講:A→B的對(duì)應(yīng)有“多對(duì)一”“一對(duì)一”及“一對(duì)多”,前兩種對(duì)應(yīng)是A→B的映射,而后一種不是A→B的映射.
題型二 映射的個(gè)數(shù)問題
【例2】已知M={a,b,c},N={-2,0,2},且從M到N的映射滿足f(a)>f(b)≥f(c),試
6、確定這樣的映射f的個(gè)數(shù)為__________.
解析:因?yàn)閺腗到N的映射滿足f(a)>f(b)≥f(c),所以,(1)當(dāng)f(a)=2時(shí),有
或或
(2)當(dāng)f(a)=0時(shí),有
綜上,從M到N滿足f(a)>f(b)≥f(c)的映射f的個(gè)數(shù)是4.
答案:4
反思:對(duì)于這類有條件的映射問題,求解時(shí)要注意考慮周到,注意分情況討論,切勿遺漏情況.
【例3】已知A={1,2,3,4},B={6,7},則以A為定義域,B為值域的不同函數(shù)的個(gè)數(shù)為__________.
解析:當(dāng)A中有三個(gè)元素對(duì)應(yīng)B中元素6時(shí),另一個(gè)元素必須對(duì)應(yīng)B中元素7,這樣可組成4個(gè)滿足題意的不同函數(shù);
當(dāng)A中有三個(gè)元素對(duì)應(yīng)
7、B中元素7時(shí),另一個(gè)元素必須對(duì)應(yīng)B中元素6,這樣可組成4個(gè)滿足題意的不同函數(shù);
當(dāng)A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)B中元素6時(shí),剩下兩個(gè)元素必對(duì)應(yīng)7,這樣可組成6個(gè)滿足題意的函數(shù).
所以共可組成4+4+6=14(個(gè))不同函數(shù).
答案:14
反思:求解此題要特別注意集合B必須為函數(shù)的值域的特別要求,它實(shí)際是要求集合B恰好是集合A中的所有元素所對(duì)應(yīng)的元素組成的.
題型三 映射的應(yīng)用
【例4】為了增加破譯密文的難度,有一種密碼把英文的明文按兩個(gè)字母一組分組,如果最后剩一個(gè)字母,則任意添一個(gè)字母,拼成一組.
例如I am your friend添一個(gè)o,分組為:Ia my ou rf ri en d
8、o,得到
,,,,,,.
其中9表示I在26個(gè)英文字母中的序號(hào),1表示a在26個(gè)英文字母中的序號(hào),依此類推,然后用一個(gè)公式,比如:?來進(jìn)行變換.
由?=,
2126=0余21,21對(duì)應(yīng)字母u,1326=0余13,13對(duì)應(yīng)字母m,即Ia變成um.
將變成x′=213+325=101除以26得余數(shù)為23,即w;
y′=13+425=113除以26得余數(shù)為9,即i.
試按上述方法及變換公式將明文I am your friend寫成密文.
解:因26的倍數(shù)除以26所得的余數(shù)為0,英文字母中沒有與0對(duì)應(yīng)的字母,故令與0對(duì)應(yīng)的字母為z.
?=,即ou不變;
?=,即rf變成bp;
?
9、=,即ri變成kb;
?=,即en變成zi;
?=,即do變成al.
故密文為umwioubpkbzial.
反思:密碼學(xué)問題涉及到很多的知識(shí),上面的例題只是一種很簡單的形式,也是一類很好的映射應(yīng)用問題,解決此類問題既要讀懂題意,又要看準(zhǔn)對(duì)應(yīng)法則,按照題目的引例進(jìn)行計(jì)算.
1下圖中表示的是從集合X到集合Y的對(duì)應(yīng),其中能構(gòu)成映射的是__________.
解析:圖象中必須滿足對(duì)于x的每一個(gè)值,y都有惟一的值與之對(duì)應(yīng).
答案:①
2若A={(x,y)|x∈Z,|x|<2,y∈N*,x+y<3},B={0,1,2},從A到B的對(duì)應(yīng)關(guān)系f:(x,y)→x+y,說明f是A到B的映
10、射,并畫出對(duì)應(yīng)圖,指出B中的元素2與A中的哪個(gè)元素對(duì)應(yīng).
分析:按照映射的定義,對(duì)于集合A中的每一元素,在集合B中都要有惟一的元素與它對(duì)應(yīng),但要注意集合A中的多個(gè)元素是可以對(duì)應(yīng)于B中的同一個(gè)元素的.
解:集合A的元素共有六個(gè),用列舉法表示為{(-1,2),(-1,3),(-1,1),(0,1),(0,2),(1,1)}.對(duì)應(yīng)圖如下圖所示:∵集合A中的每一元素,集合B中都有惟一的元素與之對(duì)應(yīng),∴f是A到B的映射.
2與A中對(duì)應(yīng)的元素有三個(gè),
即(-1,3)、(0,2)、(1,1).
3(1)已知集合A={a1,a2},B={b1,b2},試問從集合A到集合B的所有不同的映射有多少個(gè)
11、?
(2)已知集合A={a1,a2},B={b1,b2,b3},試問從集合A到集合B的所有不同的映射有多少個(gè)?
分析:當(dāng)所給集合中的元素?cái)?shù)目不大時(shí),可直接用圖示的方法展現(xiàn)所有不同的映射;若不然,可采用分析的方法解之.
解:(1)用圖示的方法可以清楚地看到從A到B能建立4個(gè)不同的映射(見下圖).
(2)分A中元素對(duì)應(yīng)B中同一元素和A中元素對(duì)應(yīng)B中不同元素兩種情況考慮.A中2個(gè)元素對(duì)應(yīng)B中相同元素的對(duì)應(yīng)有3個(gè),這時(shí)有3個(gè)不同的映射;A中2個(gè)元素同時(shí)對(duì)應(yīng)B中2個(gè)不同的元素的對(duì)應(yīng)有6個(gè),這時(shí)有6個(gè)不同的映射.所以,集合A到集合B的所有不同的映射一共有9個(gè).
已知集合A=R,B={(x,y
12、)|x,y∈R},f:A→B是A到B的映射,規(guī)定為:f:x→(x+1,x2+1),試求在B中的對(duì)應(yīng)元素及在A中的對(duì)應(yīng)元素.
解:由條件知當(dāng)x=時(shí),x+1=+1,x2+1=3.
所以在B中的對(duì)應(yīng)元素為(+1,3);
再由得x=,
說明點(diǎn)在A中的對(duì)應(yīng)元素為.
5已知集合A到集合B=的映射是f:x→,那么集合A中的元素最多有幾個(gè)?并寫出元素最多時(shí)的集合A.
解:∵f是映射,
∴A中的每一個(gè)元素在B中都有惟一元素與它對(duì)應(yīng),但≠0,
∴0在集合A中不存在元素與它對(duì)應(yīng).
當(dāng)=1時(shí),得x=2;
當(dāng)=時(shí),得x=3;
當(dāng)=時(shí),得x=4.
∴A中元素最多只能有6個(gè),
即A={-4,-3,-2,2,3,4}.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375