高考數學一輪復習 第七章 立體幾何與空間向量 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法 第一課時練習 理 新人教A版

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1、 第七章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法 第一課時 [基礎訓練組] 1．(導學號14577704)若直線l的一個方向向量為a＝(2,5,7)，平面α的一個法向量為u＝(1,1，－1)，則(　　) A．l∥α或l?α　　　　　　 B．l⊥α C．l?α D．l與α斜交 解析：A　[由條件知a·u＝2×1＋5×1＋7×(－1)＝0，所以a⊥u，故l∥α或l?α.故選A.] 2．(導學號14577705)若平面α，β的法向量分別為n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但

2、不垂直 D．以上均不正確 解析：C　[∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1與n2不垂直，∴α與β相交但不垂直．] 3．(導學號14577706)設平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于(　　) A．2 B．－4 C．4 D．－2 解析：C　[因為α∥β，所以＝＝，所以k＝4.] 4．(導學號14577707)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線NO、AM的位置關系是(　　)

3、 A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直 解析：C　[建立坐標系如圖，設正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，＝(－1,0，－2)，＝(－2,0,1)，·＝0，則直線NO、AM的位置關系是異面垂直．] 5．(導學號14577708)已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數x，y，z分別為(　　) A.，－，4 B.，－，4 C.，－2,4 D．4，，－15 解析：B　[∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4. BP

4、⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC， 又＝(3,1,4)，則解得] 6．(導學號14577709)已知平面α和平面β的法向量分別為a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，則x＝　________　. 解析：由α⊥β知a·b＝0，即x＋1×(－2)＋2×3＝0，解得x＝－4. 答案：－4 7．(導學號14577710)在空間直角坐標系中，點P(1，，)，過點P作平面yOz的垂線PQ，則垂足Q的坐標為　________　. 解析：由題意知，點Q即為點P在平面yOz內的射影， 所以垂足Q的坐標為(0，，)． 答案：(0，，) 8．(導學

5、號14577711)(2018·武漢市調研)已知平面α內的三點A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個平面α與β的位置關系是　________　. 解析：設平面α的法向量為m＝(x，y，z)， 由m·＝0，得x·0＋y－z＝0?y＝z， 由m·＝0，得x－z＝0?x＝z，取x＝1， ∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β. 答案：α∥β 9．(導學號14577712)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C

6、＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角．求證： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD. 證明：(1)以C為坐標原點，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°， ∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4， ∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)， M， ∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)， ＝. (1)設n＝(x，y，z

7、)為平面PAD的一個法向量， 由即 令y＝2，得n＝(－，2,1)． ∴n·＝－×＋2×0＋1×＝0， ∴n⊥.又CM?平面PAD， ∴CM∥平面PAD. (2)如圖，取AP的中點E，連接BE， 則E(，2,1)，＝(－，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0， ∴⊥，∴BE⊥DA. 又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD. 又∵BE?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD. 10．(導學號14577713)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為3，點E

8、在AA1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝1. (1)求證：E，B，F，D1四點共面； (2)若點G在BC上，BG＝，點M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥平面BCC1B1. 證明：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)， 則＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)． 所以＝＋.故，，共面． 又它們有公共點B，所以E，B，F，D1四點共面． (2)設M(0,0，z0)，G， 則＝， 而＝(0,3,2)， 由題設得·＝－×3＋z0·2＝0，

9、 得z0＝1.故M(0,0,1)， 有＝(3,0,0)． 又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)， 所以·＝0，·＝0， 從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B. 故ME⊥平面BCC1B1. [能力提升組] 11．(導學號14577714)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P為C1D1的中點，M為BC的中點．則AM與PM的位置關系為(　　) A．平行 B．異面 C．垂直 D．以上都不對 解析：C　[以D點為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz，

10、依題意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)． ∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即⊥，∴AM⊥PM.] 12．如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上且AM∥平面BDE，則M點的坐標為(　　) A．(1,1,1) B. C. D. 解析：C　[由選項特點，設M(λ，λ，1)，又A(，，0)，D(，0,0)，B(0，，0)，E(0,0,1)，則＝(－，0,1

11、)，＝(0，－，1)，＝(λ－，λ－，1)． 設平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，則 即 不妨取z＝，則n＝(1,1，)， 由于AM∥平面BDE，所以⊥n， 即·n＝0，所以λ－＋λ－＋＝0，解得λ＝， 即M點坐標為.故選C.] 13．(導學號14577715)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M、N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關系是　________　. 解析：∵正方體棱長為a，A1M＝AN＝， ∴＝，＝， ∴＝＋＋ ＝＋＋ ＝(＋)＋＋(＋) ＝＋. 又∵是平面B1BCC1的法向量

12、， ∴·＝·＝0， ∴⊥.又∵MN?平面B1BCC1，∴MN∥平面B1BCC1. 答案：平行 14．(導學號14577716)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F分別是AB，PB的中點． (1)求證：EF⊥CD； (2)在平面PAD內是否存在一點G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由． 解：(1)證明：如圖，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系， 設AD＝a，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，

13、a)，F， ＝，＝(0，a,0)． ∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD. (2)假設存在滿足條件的點G， 設G(x,0，z)，則＝， 若使GF⊥平面PCB， 則由·＝·(a,0,0) ＝a＝0，得x＝； 由·＝·(0，－a，a) ＝＋a＝0，得z＝0. ∴點G的坐標為， 即存在滿足條件的點G，且點G為AD的中點． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375