二項(xiàng)分布與正態(tài)分布[共12頁]

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1、宜賓市優(yōu)學(xué)堂培訓(xùn)學(xué)校 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布 [最新考綱] 1.了解條件概率和兩個事件相互獨(dú)立的概念. 2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布. 3.能解決一些簡單的實(shí)際問題. 知 識 梳 理 1.條件概率及其性質(zhì) 條件概率的定義 條件概率的性質(zhì) 設(shè)A,B為兩個事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率 (1)0≤P(B|A)≤1 (2)若B,C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A) 2.事件的相互獨(dú)立性 設(shè)A,B為兩個事件,如果P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨(dú)立. 若事

2、件A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B);事件A與,與B,與都相互獨(dú)立. 3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),若用Ai(i=1,2,…,n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果,則 P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An). (2)二項(xiàng)分布 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此時稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記為X~B(n,p),并稱p為成功概率. 4.正態(tài)分布 (1)正態(tài)分布的定義及表示 如果

3、對于任何實(shí)數(shù)a,b(a<b),隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記為X~N(μ,σ2). 函數(shù)φμ,σ(x)=,x∈R的圖象(正態(tài)曲線)關(guān)于直線x=μ對稱,在x=μ處達(dá)到峰值. (2)正態(tài)總體三個基本概率值 ①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682_6. ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954_4. ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997_4. 辨 析 感 悟 1.條件概率與相互獨(dú)立事件的概率 (1)若事件A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B).( ) (2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件

4、下,事件B發(fā)生的概率,P(AB)表示事件A,B同時發(fā)生的概率,一定有P(AB)=P(A)·P(B).( ) (3)(教材習(xí)題改編)袋中有5個小球(3白2黑),現(xiàn)從袋中每次取一個球,不放回地抽取兩次,則在第一次取到白球的條件下,第二次取到白球的概率是0.5. ( ) 2.二項(xiàng)分布與正態(tài)分布 (4)在正態(tài)分布函數(shù)φμ,σ(x)=中,μ是正態(tài)分布的期望值,σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.( ) (5)二項(xiàng)分布是一個概率分布列,是一個用公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生次數(shù)的概率分布.( ) (6)(

5、2014·揚(yáng)州調(diào)研改編)小王通過英語聽力測試的概率是,他連續(xù)測試3次,那么其中恰好第3次測試獲得通過的概率是P=C·1·3-1=.( ) [感悟·提升] 1.古典概型中,A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)==,其中,在實(shí)際應(yīng)用中P(B|A)=是一種重要的求條件概率的方法. 2.P(A·B)=P(A)·P(B)只有在事件A、B相互獨(dú)立時,公式才成立,此時P(B)=P(B|A),如(1),(2). 3.判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布,要看兩點(diǎn): 一是是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是否均

6、為p. 二是隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù).且P(X=k)=Cpk(1-p)n-k表示在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率. 考點(diǎn)一 條件概率 【例1】 (1)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù),事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)等于(  ). A. B. C. D. (2)如圖,EFGH是以O(shè)為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi), 用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”, 則P(B|A)=________.

7、 規(guī)律方法 (1)利用定義,求P(A)和P(AB),則P(B|A)=. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=. 【訓(xùn)練1】 已知1號箱中有2個白球和4個紅球,2號箱中有5個白球和3個紅球,現(xiàn)隨機(jī)地從1號箱中取出一球放入2號箱,然后從2號箱隨機(jī)取出一球,則兩次都取到紅球的概率是(  ). A. B. C. D. 考點(diǎn)二 相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率 【例2】 (2013·陜西卷改編)在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號

8、)登臺演唱,由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號中隨機(jī)選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中選3名歌手. (1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率; (2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求“X≥2”的事件概率. 規(guī)律方法 (1)解答本題關(guān)鍵是把所求事件包含的各種情況找出來,從而把所求事件表示為幾個事件的和事件. (2)求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有 ①利用相互獨(dú)立

9、事件的概率乘法公式直接求解. ②正面計算較繁或難以入手時,可從其對立事件入手計算. 【訓(xùn)練2】 甲、乙兩個籃球運(yùn)動員互不影響地在同一位置投球,命中率分別為與p,且乙投球2次均未命中的概率為. (1)求乙投球的命中率p; (2)求甲投球2次,至少命中1次的概率. 規(guī)律方法 (1)求解本題關(guān)鍵是明確正態(tài)曲線關(guān)于x=2對稱,且區(qū)間[0,4]也關(guān)于x=2對稱. (2)關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法 ①熟記P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值. ②充分利用正態(tài)

10、曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1. 【訓(xùn)練3】 若在本例中,條件改為“已知隨機(jī)變量X~N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.682 6,”求P(X>4)的值. 考點(diǎn)四 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 【例4】 某種有獎銷售的飲料,瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”或“謝謝購買”字樣,購買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”字樣即為中獎,中獎概率為.甲、乙、丙三位同學(xué)每人購買了一瓶該飲料. (1)求甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率; (2)求中獎人數(shù)X的分布列. 規(guī)律方法 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在同樣的條件下

11、重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn),在這種試驗(yàn)中,每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果,即某事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生,并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的. (2)求復(fù)雜事件的概率,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的積事件,然后求概率. 【訓(xùn)練4】 某居民小區(qū)有兩個相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B,系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p. (1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,求p的值; (2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)

12、. 小結(jié) 1.相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別 相互獨(dú)立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響,計算式為P(AB)=P(A)P(B).互斥事件是指在同一試驗(yàn)中,兩個事件不會同時發(fā)生,計算公式為P(A∪B)=P(A)+P(B). 2.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次可看做是C個互斥事件的和,其中每一個事件都可看做是k個A事件與(n-k)個事件同時發(fā)生,只是發(fā)生的次序不同,其發(fā)生的概率都是pk(1-p)n-k.因此n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為Cpk(1-p)n-k. 3.若X服從正態(tài)分布,即X~N(μ,σ

13、2),要充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1.                   易錯辨析——對二項(xiàng)分布理解不準(zhǔn)致誤 【典例】 一名學(xué)生每天騎車上學(xué),從他家到學(xué)校的途中有6個交通崗,假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是. (1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù),求X的分布列; (2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù),求Y的分布列. 【自主體驗(yàn)】  (2013&#

14、183;遼寧卷)現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學(xué)從中任取3道題解答. (1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率; (2)已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題.設(shè)張同學(xué)答對每道甲類題的概率都是,答對每道乙類題的概率都是,且各題答對與否相互獨(dú)立.用X表示張同學(xué)答對題的個數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 基礎(chǔ)鞏固題組 一、選擇題 1.設(shè)隨機(jī)變量X~B,則P(X=3)的值是(  ). A. B. C. D. 2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,σ2).若P(X&

15、gt;2)=0.023,則P(-2≤X≤2)=(  ). A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977 3.(2014·湖州調(diào)研)國慶節(jié)放假,甲去北京旅游的概率為,乙、丙去北京旅游的概率分別為,.假定三人的行動相互之間沒有影響,那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為(  ). A. B. C. D. 4.甲、乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)各射擊一次,命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中,則它是被甲擊中的概率為(  ). A.0.45 B.0.6 C.0.65 D.0.75 5.(2013·湖北卷改編)假設(shè)每天從甲地去乙地的

16、旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機(jī)變量,記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0.則p0的值為(  ). (參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.) A.0.954 4 B.0.682 6 C.0.997 4 D.0.977 2 二、填空題 6.某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同,且在兩次罰球中至多命中一次的概率為,則該隊員每次罰球的命中率為________. 7.某次知識競賽規(guī)則如下:在主辦方

17、預(yù)設(shè)的5個問題中,選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題,即停止答題,晉級下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8,且每個問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立,則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于________. 8.有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中,隨機(jī)抽取一粒,則這粒種子能成長為幼苗的概率為________. 三、解答題 9.根據(jù)以往統(tǒng)計資料,某地車主購買甲種保險的概率為0.5,購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設(shè)各車主購買保險相互獨(dú)立. (1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的一種的概率; (2)求該地的3位車主中恰有1位車

18、主甲、乙兩種保險都不購買的概率. 10.某公交公司對某線路客源情況統(tǒng)計顯示,公交車從每個??奎c(diǎn)出發(fā)后,乘客人數(shù)及頻率如下表: 人數(shù) 0~6 7~12 13~18 19~24 25~30 31人及以上 頻率 0.10 0.15 0.25 0.20 0.20 0.10 (1)從每個??奎c(diǎn)出發(fā)后,乘客人數(shù)不超過24人的概率約是多少? (2)全線途經(jīng)10個??奎c(diǎn),若有2個以上(含2個)停靠點(diǎn)出發(fā)后乘客人數(shù)超過18人的概率大于0.9,公交公司就考慮在該線路增加一個班次,請問該線路需要增加班次嗎? - 13 -

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