數(shù)學(xué)物理方程ch

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1、 Ch1 Ch1 緒緒 論論1 基本概念一、基本概念與定義一、基本概念與定義偏微分方程：偏微分方程：指含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些指含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些偏導(dǎo)數(shù)的等式偏導(dǎo)數(shù)的等式(描述自變量、未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)之描述自變量、未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系間的關(guān)系)；PDF的階：的階：出現(xiàn)在出現(xiàn)在PDF中的最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)；中的最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)；一般形式為一般形式為 。 0),(yxuuuyxF注：注：F可以不顯含自變量和未知函數(shù)，但必須含有未可以不顯含自變量和未知函數(shù)，但必須含有未知函數(shù)的某個(gè)偏導(dǎo)數(shù)。知函數(shù)的某個(gè)偏導(dǎo)數(shù)。微分方程的分類：微分方程的分類： 1、如果方程關(guān)于未知函數(shù)及其

2、各階偏導(dǎo)數(shù)是線性、如果方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)是線性 的，則稱此方程為的，則稱此方程為線性方程線性方程，反之稱為，反之稱為非線性方程；非線性方程； 2、如非線性方程對未知函數(shù)的、如非線性方程對未知函數(shù)的所有最高階偏導(dǎo)數(shù)總所有最高階偏導(dǎo)數(shù)總 體體來說是線性的，則稱它為來說是線性的，則稱它為擬線性方程擬線性方程； 3、如非線性方程中方程對未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)、如非線性方程中方程對未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo) 數(shù)不是線性的，則稱它為數(shù)不是線性的，則稱它為完全非線性方程完全非線性方程； 4、對線性偏微分方程而言，將方程中不含未知函數(shù)、對線性偏微分方程而言，將方程中不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱為及其偏導(dǎo)數(shù)

3、的項(xiàng)稱為自由項(xiàng)自由項(xiàng)。當(dāng)自由項(xiàng)為零時(shí)，該方。當(dāng)自由項(xiàng)為零時(shí)，該方程稱為程稱為齊次方程，齊次方程，否則稱為否則稱為非齊次方程。非齊次方程。( , )( , );uua x yf x yxy例1 判斷下列方程類型： 20;uuuxyxy330;uuuutxx22()()0;uuxy22220.uuuutxx 一階線性一階線性一階擬線性一階擬線性三階擬線性三階擬線性一階非線性一階非線性二階擬線性二階擬線性微分方程的解：微分方程的解： 形式解形式解：未經(jīng)過驗(yàn)證的解為形式解。：未經(jīng)過驗(yàn)證的解為形式解。特解特解：通過定解條件確定了解中的任意常數(shù)后得到：通過定解條件確定了解中的任意常數(shù)后得到的解。的解。通解

4、通解：解中含有相互獨(dú)立的和偏微分方程階數(shù)相同：解中含有相互獨(dú)立的和偏微分方程階數(shù)相同的任意常數(shù)的解。的任意常數(shù)的解。古典解古典解：如果將某個(gè)函數(shù)：如果將某個(gè)函數(shù) u 代入偏微分方程中，能使代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，則這個(gè)函數(shù)就是該偏微分方程的解。方程成為恒等式，則這個(gè)函數(shù)就是該偏微分方程的解。例2 驗(yàn)證( , )()()u x tf xatg xat222220uuatx是方程是方程的解，其中的解，其中f,g是任意兩個(gè)二階是任意兩個(gè)二階連續(xù)可微函數(shù)，連續(xù)可微函數(shù)，a為正常數(shù)。為正常數(shù)。解：解：222222()()()()()()()()uafxatag xattua fxata g

5、xattufxatg xatxufxatgxatx 故故22222,uuatx移項(xiàng)即證。移項(xiàng)即證。 2 三類典型方程的導(dǎo)出一、一、弦振動(dòng)方程 十八世紀(jì)達(dá)朗貝爾十八世紀(jì)達(dá)朗貝爾(DAlembert)(DAlembert)等人首先討論等人首先討論了如下的彈性弦的振動(dòng)問題。了如下的彈性弦的振動(dòng)問題。 設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦，平衡時(shí)沿直線拉緊，設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦，平衡時(shí)沿直線拉緊，而后以某種方法激發(fā)，使弦在鉛直平面內(nèi)作微小振而后以某種方法激發(fā)，使弦在鉛直平面內(nèi)作微小振動(dòng)。求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。動(dòng)。求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 將實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型時(shí)，必須作一些理想化將實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型時(shí)，必須作

6、一些理想化的假設(shè)，以便抓住問題最本質(zhì)的特征。在考察弦振動(dòng)的假設(shè)，以便抓住問題最本質(zhì)的特征。在考察弦振動(dòng)問題時(shí)的基本假設(shè)為問題時(shí)的基本假設(shè)為: : 1.均勻細(xì)弦理解為弦的直徑與弦的長度相比可以忽均勻細(xì)弦理解為弦的直徑與弦的長度相比可以忽略，以至可以將弦視為一條曲線，它的線密度略，以至可以將弦視為一條曲線，它的線密度為常為常數(shù)。數(shù)。 2.2.弦在一平面內(nèi)作微小橫振動(dòng)，即弦的位置始終在一弦在一平面內(nèi)作微小橫振動(dòng)，即弦的位置始終在一平面內(nèi)的一條直線段附近，且弦振動(dòng)的幅度及弦在平面內(nèi)的一條直線段附近，且弦振動(dòng)的幅度及弦在任意位置處的切線的傾角都很小。任意位置處的切線的傾角都很小。 3.3.柔軟的弦可以假

7、設(shè)為弦在形變時(shí)不抵抗彎曲，弦上柔軟的弦可以假設(shè)為弦在形變時(shí)不抵抗彎曲，弦上各質(zhì)點(diǎn)間的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的各質(zhì)點(diǎn)間的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長形變與張力的關(guān)系服從胡克伸長形變與張力的關(guān)系服從胡克(Hooke)(Hooke)定律定律. . 我們?nèi)∠业钠胶馕恢脼槲覀內(nèi)∠业钠胶馕恢脼閤 x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系。軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系。設(shè)設(shè) u(x,t)u(x,t)是坐標(biāo)為是坐標(biāo)為x x的弦上一點(diǎn)在的弦上一點(diǎn)在t t時(shí)刻的時(shí)刻的( (橫向橫向) )位移，在弦上任取一位移，在弦上任取一小段小段x,x+x,x+xx，這一段的弧長為，這一段的弧長為： gds M N ds x

8、1T u xdx x 2 1 2T dxxusxxx21由假設(shè)由假設(shè)2 2可知，可知， 很小，于是很小，于是 與與1 1相比可以忽略相比可以忽略不計(jì)，不計(jì)，xu2xu從而從而xdxsxxx弧段弧段NMNM在在x軸方向的受力的總和為軸方向的受力的總和為 。 1122coscosTT由于弦只作橫向振動(dòng)，因此由于弦只作橫向振動(dòng)，因此 。0coscos1122TT由于弦作微小振動(dòng)，根據(jù)假設(shè)由于弦作微小振動(dòng)，根據(jù)假設(shè)2 2知知 都很小，從而都很小，從而 21,1cos, 1cos21因此可以近似地得到因此可以近似地得到 。 TTT21弧段弧段NMNM在在u u軸方向的受力總和為軸方向的受力總和為 xgT

9、T1122sinsin注意到注意到 都很小，因此都很小，因此 21,xtxxuxtxu),(tansin,),(tansin2211且弧段且弧段NMNM在在u方向時(shí)刻方向時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)加速度為的運(yùn)動(dòng)加速度為 ，小弧，小弧段的質(zhì)量為段的質(zhì)量為 ，22),(ttxux所以所以2221),(sinsinttxuxxgTT即即22),(),(),(ttxuxxgxtxuxtxxuT也就是也就是22),(),(),(ttxugxtxutxxuTxx當(dāng)當(dāng) 時(shí)取極限，得時(shí)取極限，得 0 x2222),(),(ttxugxtxuTgttxuxtxuT2222),(),(即即 一般說來，張力較大時(shí)弦振動(dòng)速度變化較

10、快，即一般說來，張力較大時(shí)弦振動(dòng)速度變化較快，即 要比要比 g大得多，所以又可以把大得多，所以又可以把g略去。經(jīng)過這略去。經(jīng)過這樣逐步略去一些次要的量，抓住主要的量。最后得到樣逐步略去一些次要的量，抓住主要的量。最后得到 u(x,t)應(yīng)近似地滿足的方程應(yīng)近似地滿足的方程 22tu) 1 (22222xuatu這里這里 。 (1)(1)式稱為一維波動(dòng)式稱為一維波動(dòng)方程方程Ta 2 如果弦還在橫向如果弦還在橫向( (位移位移 u的方向的方向) )受到外力的作用。受到外力的作用。設(shè)在時(shí)刻設(shè)在時(shí)刻 t弦上弦上 x點(diǎn)處的外力密度為點(diǎn)處的外力密度為 F(x,t)。仿照前。仿照前面面的推導(dǎo)，有的推導(dǎo)，有 )

11、2(),(),(),(22222txfxtxuattxuFf 這里這里 。 方程方程(2)(2)與與(1)(1)的差別在于的差別在于(2)(2)的右端多了一個(gè)與未的右端多了一個(gè)與未知函數(shù)知函數(shù)u(x,t)u(x,t)無關(guān)的項(xiàng)，這個(gè)項(xiàng)稱為自由項(xiàng)。我們把無關(guān)的項(xiàng)，這個(gè)項(xiàng)稱為自由項(xiàng)。我們把含有自由項(xiàng)的方程稱為非齊次方程。自由項(xiàng)恒等于含有自由項(xiàng)的方程稱為非齊次方程。自由項(xiàng)恒等于0 0的方程稱為齊次方程。的方程稱為齊次方程。(1)(1)為齊次一維波動(dòng)方程，為齊次一維波動(dòng)方程，(2)(2)為非齊次一維波動(dòng)方程。為非齊次一維波動(dòng)方程。 類似地，可以推出均勻薄膜的橫振動(dòng)滿足二維波動(dòng)類似地，可以推出均勻薄膜的橫

12、振動(dòng)滿足二維波動(dòng)方程方程2()( , , ), ( , ),0ttxxyyuauuf x y tx yt其中其中 是薄膜在時(shí)刻是薄膜在時(shí)刻t和和 處的位移；處的位移；( , , )uu x y t( , )x y2aT,T為張力，為張力，為薄膜的面密度；為薄膜的面密度；表示表示t時(shí)刻、單位質(zhì)量膜在時(shí)刻、單位質(zhì)量膜在(,)xy處所受垂直處所受垂直為為Oxy平面平面上的有界區(qū)域。的有界區(qū)域。( , , )f x y t方向的外力；方向的外力； 根據(jù)電磁場理論中的麥克斯韋方程，可以推出電場根據(jù)電磁場理論中的麥克斯韋方程，可以推出電場E和磁場和磁場H滿足的三維波動(dòng)方程滿足的三維波動(dòng)方程 2222222

13、22()EcEtxyz222222222()HcHtxyz其中其中c是光速。是光速。二、熱傳導(dǎo)方程二、熱傳導(dǎo)方程 當(dāng)一個(gè)物體內(nèi)部各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，熱量當(dāng)一個(gè)物體內(nèi)部各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，熱量會(huì)從溫度高的地方向溫度低的地方流動(dòng)，這種現(xiàn)象稱會(huì)從溫度高的地方向溫度低的地方流動(dòng)，這種現(xiàn)象稱為熱傳導(dǎo)。由于熱傳導(dǎo)過程總是表現(xiàn)為溫度隨時(shí)間和為熱傳導(dǎo)。由于熱傳導(dǎo)過程總是表現(xiàn)為溫度隨時(shí)間和未知的變量而變化，所以解決熱傳導(dǎo)問題，歸結(jié)為求未知的變量而變化，所以解決熱傳導(dǎo)問題，歸結(jié)為求物體內(nèi)溫度的分布問題。物體內(nèi)溫度的分布問題。 在物體在物體中任取一小區(qū)域?yàn)橹腥稳∫恍^(qū)域?yàn)閂，它的外，它的外表曲面為表曲面為

14、，如圖所示。，如圖所示。V熱場熱場MSVVn 假設(shè)區(qū)域假設(shè)區(qū)域V內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)M(x,y,z)處在時(shí)刻處在時(shí)刻 t 的溫度為的溫度為 u(x,y,z,t), n為曲面元素為曲面元素dS的單位外法向量。由熱傳導(dǎo)學(xué)中的的單位外法向量。由熱傳導(dǎo)學(xué)中的Fourier實(shí)驗(yàn)定律知：物體在無窮小時(shí)間實(shí)驗(yàn)定律知：物體在無窮小時(shí)間dt內(nèi)流過一個(gè)內(nèi)流過一個(gè)無窮小面積元無窮小面積元dS的熱量的熱量dQ與時(shí)間與時(shí)間dt，熱流通過的面積，熱流通過的面積dS及及u沿沿dS的法向的方向?qū)?shù)的法向的方向?qū)?shù) 成正比，即成正比，即 nudSdtnukdQ 其中其中k=k(x,y,z)稱為物體在點(diǎn)稱為物體在點(diǎn)M(x,y,z) 處的熱傳

15、導(dǎo)系數(shù)處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，取正值。上式的負(fù)號表示熱流流向是溫度梯度的相，取正值。上式的負(fù)號表示熱流流向是溫度梯度的相反方向。反方向。 當(dāng)物體均勻且各向同性時(shí)，可令熱傳導(dǎo)系數(shù)當(dāng)物體均勻且各向同性時(shí)，可令熱傳導(dǎo)系數(shù)k, ,物物體的密度體的密度，比熱，比熱c都為常數(shù)。利用上面的關(guān)系，在時(shí)都為常數(shù)。利用上面的關(guān)系，在時(shí)間段間段 內(nèi)，通過曲面內(nèi)，通過曲面 流入?yún)^(qū)域流入?yún)^(qū)域V V 的全部熱量為：的全部熱量為： ,21ttV 211ttVdtdSnukQ根據(jù)散度定理得，根據(jù)散度定理得， 如果物體內(nèi)有熱源，設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)單位體積如果物體內(nèi)有熱源，設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)單位體積所產(chǎn)生的熱量為所產(chǎn)生的熱量為F(x,y,z,t

16、), ), 則在則在 內(nèi)熱源放出的內(nèi)熱源放出的熱量為：熱量為： ,21tt22111(3)tttVtVQk udv dtk udvdt 212( , , , )(4)ttVQF x y z t dvdt 流入的熱量和物理內(nèi)部熱源產(chǎn)生的熱量使流入的熱量和物理內(nèi)部熱源產(chǎn)生的熱量使V內(nèi)溫內(nèi)溫度發(fā)生變化。區(qū)域度發(fā)生變化。區(qū)域V在時(shí)間間隔在時(shí)間間隔 內(nèi)各點(diǎn)溫度從內(nèi)各點(diǎn)溫度從 變化到變化到 。于是在。于是在 內(nèi)內(nèi)V內(nèi)溫度升內(nèi)溫度升高所需的熱量為：高所需的熱量為： ,21tt),(1tzyxu),(2tzyxu,21tt2121321 ( , , , )( , , , )()(5)VttVttttVQcu

17、x y z tu x y z tdvc u dt dvc u dvdt 由能量守恒定律，有由能量守恒定律，有 ，即，即213QQQ 2121)(ttVttVtdtdvFukdtdvuc 由于時(shí)間間隔由于時(shí)間間隔 及區(qū)域及區(qū)域V都是任意的都是任意的，并且被積，并且被積函數(shù)都是連續(xù)的，因此函數(shù)都是連續(xù)的，因此 ,21ttFukuct令令 ， 得得cFfcka,22(6)tuauf 稱（稱（6）為三維熱傳導(dǎo)方程。如果物體內(nèi)部沒有熱源）為三維熱傳導(dǎo)方程。如果物體內(nèi)部沒有熱源，即，即 f 0,則得齊次熱傳導(dǎo)方程則得齊次熱傳導(dǎo)方程 2(7)tuau注注1 1：在前面所討論的熱傳導(dǎo)問題中，作為特例，如在前面

18、所討論的熱傳導(dǎo)問題中，作為特例，如果所考慮的物體是一根細(xì)桿或一塊薄板，或者即使不果所考慮的物體是一根細(xì)桿或一塊薄板，或者即使不是細(xì)桿或薄板，而其中的溫度是細(xì)桿或薄板，而其中的溫度u只與只與x和和t，或只與，或只與x,y和和t有關(guān)，則方程（有關(guān)，則方程（7 7）就變成一維熱傳導(dǎo)方程）就變成一維熱傳導(dǎo)方程 222xuatu或二維熱傳導(dǎo)方程或二維熱傳導(dǎo)方程)(22222yuxuatu注注2：雖然我們習(xí)慣上稱式（雖然我們習(xí)慣上稱式（7）為熱傳導(dǎo)方程，但在）為熱傳導(dǎo)方程，但在生產(chǎn)實(shí)際中還有很多現(xiàn)象都可以用這種方程來描述。生產(chǎn)實(shí)際中還有很多現(xiàn)象都可以用這種方程來描述。例如在電學(xué)中，海底電纜的電壓例如在電學(xué)

19、中，海底電纜的電壓 e 也滿足方程也滿足方程 22xekte其中其中 k=RC，R為電阻，為電阻，C為電容。又如導(dǎo)電線圈在為電容。又如導(dǎo)電線圈在所圍柱體內(nèi)的磁場所圍柱體內(nèi)的磁場H滿足方程滿足方程 )(2222222zHyHxHatH其中其中 ，c為光速，為光速，為磁導(dǎo)率，為磁導(dǎo)率，為電容率。為電容率。422ca 在研究物質(zhì)在液體中的擴(kuò)散現(xiàn)象時(shí)，擴(kuò)散物質(zhì)的在研究物質(zhì)在液體中的擴(kuò)散現(xiàn)象時(shí)，擴(kuò)散物質(zhì)的濃度濃度N( (單位體積中擴(kuò)散物質(zhì)的含量單位體積中擴(kuò)散物質(zhì)的含量) )也滿足方程也滿足方程 其中其中D D是擴(kuò)散系數(shù)，所以也稱熱傳導(dǎo)方程為擴(kuò)散方程是擴(kuò)散系數(shù)，所以也稱熱傳導(dǎo)方程為擴(kuò)散方程。 )(2222

20、22zNyNxNDtN三、三、Laplace方程方程 在上面研究的溫度分布問題中，如果經(jīng)過相當(dāng)長的時(shí)間后，區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的溫度隨時(shí)間的改變所發(fā)生的變化已不顯著，在數(shù)學(xué)上可近似看作 ，0tu 這時(shí)我們說溫度分布趨于定常，則此時(shí)熱傳導(dǎo)方這時(shí)我們說溫度分布趨于定常，則此時(shí)熱傳導(dǎo)方程變?yōu)槌套優(yōu)?222220uuuxyz上式稱為三維上式稱為三維Laplace方程。方程。若記若記Hamilton算子為算子為ijkxyz 波動(dòng)方程，熱傳導(dǎo)方程和波動(dòng)方程，熱傳導(dǎo)方程和Laplace方程是我們今后方程是我們今后著重研究的三類方程，許多物理現(xiàn)象可歸結(jié)為這三類著重研究的三類方程，許多物理現(xiàn)象可歸結(jié)為這三類典型的方程。典

21、型的方程。20uu 稱稱 為為Laplace算符，則上式變?yōu)樗惴?，則上式變?yōu)?, 記記2222222xyz 222222( , , )uuuf x y zxyz稱方程 為三維泊松方程。在電學(xué)中，該方程為電位滿足的方程，其中在電學(xué)中，該方程為電位滿足的方程，其中 ， 為電荷密度。為電荷密度。 4f 3 定解條件與定解問題 其中其中 為已知函數(shù)。我們稱（為已知函數(shù)。我們稱（1 1）為）為 應(yīng)滿足的初始條件。應(yīng)滿足的初始條件。)(),(xx),(txu一、弦振動(dòng)問題的定解條件一、弦振動(dòng)問題的定解條件1 1、初始條件、初始條件)(x)(x 方程（方程（1 1）或（）或（2 2）描述了弦振動(dòng)的一般規(guī)律，

22、但）描述了弦振動(dòng)的一般規(guī)律，但是弦振動(dòng)的具體情況還與弦兩端的約束情況以及弦上是弦振動(dòng)的具體情況還與弦兩端的約束情況以及弦上各點(diǎn)在初始時(shí)刻的位移和速度有關(guān)，即還需附加邊界各點(diǎn)在初始時(shí)刻的位移和速度有關(guān)，即還需附加邊界條件和初始條件。條件和初始條件。 設(shè)弦在開始時(shí)刻位于點(diǎn)設(shè)弦在開始時(shí)刻位于點(diǎn)x x的位移為的位移為 ，初速度為，初速度為 。即。即 ( ,0)( ),( ,0)( ),0, (1)tu xxu xxxl 一般地，一個(gè)方程如果其關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的最高一般地，一個(gè)方程如果其關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)為階導(dǎo)數(shù)為n n，則對應(yīng)的初始條件需要給出未知函數(shù)關(guān)，則對應(yīng)的初始條件需要給出未知函數(shù)關(guān)于時(shí)間

23、直到于時(shí)間直到n-1n-1階導(dǎo)數(shù)的所有初始時(shí)刻的值。階導(dǎo)數(shù)的所有初始時(shí)刻的值。2 2、邊界條件、邊界條件 （1 1）為了確定弦的運(yùn)動(dòng)還需給出邊界條件。最簡為了確定弦的運(yùn)動(dòng)還需給出邊界條件。最簡單的邊界條件為已知端點(diǎn)的位移規(guī)律，即單的邊界條件為已知端點(diǎn)的位移規(guī)律，即 12(0, )( ),( , )( ),0(2)utg tu l tg tt 其中其中 為兩個(gè)已知函數(shù)。這種邊界條件被稱為兩個(gè)已知函數(shù)。這種邊界條件被稱為狄利克雷為狄利克雷( (Dirichlet) )邊界條件（也稱為第一類邊值邊界條件（也稱為第一類邊值條件）。條件）。)(),(21tgtg 特別地，如果在整個(gè)振動(dòng)過程中弦的兩端保持

24、固定特別地，如果在整個(gè)振動(dòng)過程中弦的兩端保持固定，即，即 都恒為都恒為0 0時(shí)，稱為第一類齊次邊值條件時(shí)，稱為第一類齊次邊值條件。也就是。也就是)(),(21tgtg(0, )( , )0,0(3)utu l tt （2）在前面所討論的弦振動(dòng)問題中，若弦的一段在前面所討論的弦振動(dòng)問題中，若弦的一段（例如（例如x=0）在）在u軸方向上自由滑動(dòng)，且不受垂直方軸方向上自由滑動(dòng)，且不受垂直方向的外力。這種邊界稱為自由邊界。由于在向的外力。這種邊界稱為自由邊界。由于在 x=0 x=0處的處的張力的分量為張力的分量為 ，于是，于是 xuT00,(0)(4)xutx 若邊界張力沿若邊界張力沿u方向的分量是關(guān)

25、于時(shí)間方向的分量是關(guān)于時(shí)間t的一個(gè)的一個(gè)已已知函數(shù)知函數(shù)w(t)，則相應(yīng)的，則相應(yīng)的 邊界條件為邊界條件為 這種類型的邊界條件稱為諾伊曼（這種類型的邊界條件稱為諾伊曼（Neumann）邊）邊界條件，也稱為第二類界條件，也稱為第二類 邊界條件。邊界條件。 0( ),(0)(5)xuw ttx （3）若弦的一端束縛在與若弦的一端束縛在與Ox軸垂直的彈簧上，彈軸垂直的彈簧上，彈簧的彈性系數(shù)為簧的彈性系數(shù)為k k。 u u在在 x=l的值表示該彈性支承在該的值表示該彈性支承在該點(diǎn)的伸長。點(diǎn)的伸長。弦在支承拉力的垂直方向的分為弦在支承拉力的垂直方向的分為 。xuT.lxlxkuxuT由由Hooke定律，

26、有定律，有 Tk因此在彈性支承的情況下，邊界條件歸結(jié)為因此在彈性支承的情況下，邊界條件歸結(jié)為 ()0,(0)(6)x luutx其中其中 為已知函數(shù)。為已知函數(shù)。 在數(shù)學(xué)中還可以考慮更普遍的邊界條件在數(shù)學(xué)中還可以考慮更普遍的邊界條件 其中其中h(t)為已知函數(shù)。為已知函數(shù)。(6)(7)(6)(7)稱為第三類邊界條件，稱為第三類邊界條件，也稱洛平也稱洛平( (Robin) ) 邊界條件。邊界條件。 ()( ),(0)(7)x luuh ttx 邊界條件和初始條件統(tǒng)稱為定解條件，其中邊界條件和初始條件統(tǒng)稱為定解條件，其中(2)(2)(5)(7)(5)(7)稱為非齊次邊界條件，稱為非齊次邊界條件，(

27、3)(4)(6)(3)(4)(6)稱為齊次邊稱為齊次邊界條件。一個(gè)偏微分方程及其附加的定解條件構(gòu)成界條件。一個(gè)偏微分方程及其附加的定解條件構(gòu)成一個(gè)定解問題。在以后的討論中，我們把定解問題一個(gè)定解問題。在以后的討論中，我們把定解問題中的方程有時(shí)也稱為泛定方程。中的方程有時(shí)也稱為泛定方程。二、熱傳導(dǎo)方程的定解條件二、熱傳導(dǎo)方程的定解條件 顯然與弦振動(dòng)問題類似，單靠一個(gè)微分方程還不足顯然與弦振動(dòng)問題類似，單靠一個(gè)微分方程還不足以完全確定一個(gè)特定的物理過程。我們知道，對于一以完全確定一個(gè)特定的物理過程。我們知道，對于一個(gè)物體，在一個(gè)確定的傳熱過程中，它的溫度分布依個(gè)物體，在一個(gè)確定的傳熱過程中，它的溫

28、度分布依賴于開始時(shí)刻的溫度和物體表面上的溫度，因此還須賴于開始時(shí)刻的溫度和物體表面上的溫度，因此還須對方程附加相應(yīng)的初值條件和邊值條件。對方程附加相應(yīng)的初值條件和邊值條件。 初始條件初始條件下可以寫成：下可以寫成： 其中其中 為已知函數(shù)，它描述物體在為已知函數(shù)，它描述物體在 t=0 =0 時(shí)刻時(shí)刻的溫度分布。的溫度分布。 ( , , ,0)( , , ),( , , )(8)u x y zx y zx y z),(zyx 關(guān)于關(guān)于邊界條件邊界條件，從物理現(xiàn)象發(fā)生的過程來看有三種，從物理現(xiàn)象發(fā)生的過程來看有三種情況：情況： 情形情形1 1：若物體若物體 的表面的表面 的溫度分布已知，這時(shí)的溫度分

29、布已知，這時(shí)可歸結(jié)為第一類邊界條件：可歸結(jié)為第一類邊界條件： 其中其中 是給定在是給定在 上的已知函數(shù)。上的已知函數(shù)。 ( , , , )( , , , ),(9)u x y z yx y z t),(tzyx),0情形情形2 2：若已知物體若已知物體 表面上每一點(diǎn)的熱流密度表面上每一點(diǎn)的熱流密度q，也就是通過邊界曲面也就是通過邊界曲面 上的單位面積單位時(shí)間內(nèi)上的單位面積單位時(shí)間內(nèi)的熱量已知，這實(shí)際上表示溫度的熱量已知，這實(shí)際上表示溫度 u 沿邊界曲面沿邊界曲面 的法向?qū)?shù)是已知的，這時(shí)可以歸結(jié)為第二類邊界條的法向?qū)?shù)是已知的，這時(shí)可以歸結(jié)為第二類邊界條件：件： ( , , , ),(10)u

30、x y z tn其中其中 是給定在是給定在 上的已知上的已知函數(shù)。函數(shù)。),(tzyx), 0 特別，如物體特別，如物體 的邊界是絕熱的，即物體與周的邊界是絕熱的，即物體與周圍介質(zhì)無熱交換，于是圍介質(zhì)無熱交換，于是 ，這時(shí)歸，這時(shí)歸結(jié)為第二類齊次邊界條件：結(jié)為第二類齊次邊界條件：0),(tzyx0nu情形情形3 3：若已知通過若已知通過 與周圍介質(zhì)發(fā)生熱量交與周圍介質(zhì)發(fā)生熱量交換。換。不妨設(shè)周圍介質(zhì)在物體表面的溫度為不妨設(shè)周圍介質(zhì)在物體表面的溫度為 ，則，則物體物體 和外部介質(zhì)的溫度差為：和外部介質(zhì)的溫度差為： ),(tzyx),(),(tzyxtzyxu此時(shí)會(huì)產(chǎn)生熱量流動(dòng)。根據(jù)牛頓熱交換定律

31、：在無窮此時(shí)會(huì)產(chǎn)生熱量流動(dòng)。根據(jù)牛頓熱交換定律：在無窮小時(shí)段內(nèi)，經(jīng)過物體小時(shí)段內(nèi)，經(jīng)過物體 表面的無窮小面積表面的無窮小面積 dS的流出的流出（入）到周圍介質(zhì)中的熱量和物體與介質(zhì)在接觸面上（入）到周圍介質(zhì)中的熱量和物體與介質(zhì)在接觸面上的溫度差成正比。即的溫度差成正比。即 dSdtukdQ| )(1這里這里 為熱交換系為熱交換系數(shù)。數(shù)。01k由傅里葉定律，應(yīng)有由傅里葉定律，應(yīng)有 。udQkdSdtn 根據(jù)熱量守恒定律，得根據(jù)熱量守恒定律，得1(),( , , )ukkux y zn 即即 其中其中 。,( , , )uux y zn1kk 對于拉普拉斯方程和泊松方程，因?yàn)槭敲枋龇€(wěn)恒狀態(tài)的，與時(shí)間

32、無關(guān)，所以不提初始條件，只提邊界條件，其邊界條件與前面兩類方程類似。三、三、Laplace方程的定解條件方程的定解條件四、定解問題四、定解問題 把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問題定解問題。(1) 初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解 問題；(2) 邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解 問題； (3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解 問題。例：無限長弦振動(dòng)的定解問題22222,0,0(0, )( , )0,0( ,0)0,0( ,0)( ),tuuax l

33、 ttxutu l ttu xx lu xx 22222,0( ,0)( ),( ,0)( ),tuuaxttxu xxxu xx熱傳導(dǎo)方程的定解問題222,0( ,0)( ),uuaxttxu xxx 222,0,0(0, )( , )0,0( ,0)( )0 xuuaxl ttxutu l ttu xxxl拉普拉斯方程和泊松方程拉普拉斯方程和泊松方程定解問題只提邊值問題定解問題只提邊值問題 4 定解問題的適定性 任何一個(gè)定解問題，特別是從一些物理過程引起的任何一個(gè)定解問題，特別是從一些物理過程引起的定解問題，應(yīng)該具有一定的現(xiàn)實(shí)性、確定性以及逼近定解問題，應(yīng)該具有一定的現(xiàn)實(shí)性、確定性以及逼近

34、性。所謂現(xiàn)實(shí)性，指這個(gè)問題有解存在；所謂確定性性。所謂現(xiàn)實(shí)性，指這個(gè)問題有解存在；所謂確定性，指這個(gè)問題不至于有無窮多解，通常只要求唯一的，指這個(gè)問題不至于有無窮多解，通常只要求唯一的解；所謂可逼近性，指這個(gè)問題可借助于較可行的方解；所謂可逼近性，指這個(gè)問題可借助于較可行的方法近似的求解，因?yàn)楦郊訔l件的數(shù)據(jù)一般只能近似的法近似的求解，因?yàn)楦郊訔l件的數(shù)據(jù)一般只能近似的給出。從數(shù)學(xué)上看，判斷一個(gè)定解問題是否合理，既給出。從數(shù)學(xué)上看，判斷一個(gè)定解問題是否合理，既是否能夠描述給定的物理狀態(tài)，一般來說有以下三個(gè)是否能夠描述給定的物理狀態(tài)，一般來說有以下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：標(biāo)準(zhǔn)： (1)(1)解的存在性解的存在性(

35、existence)：所給定的定解問題至少存：所給定的定解問題至少存 在一個(gè)解；在一個(gè)解； (2)(2)解的唯一性解的唯一性(uniqueness)：所給定的定解問題至：所給定的定解問題至 多存在一個(gè)解多存在一個(gè)解 ； 定解問題的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解定解問題的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的問題的適定性適定性。一個(gè)定解問題若存在唯一、穩(wěn)定的。一個(gè)定解問題若存在唯一、穩(wěn)定的解，則稱該問題是適定的；否則是不適定的。解，則稱該問題是適定的；否則是不適定的。(3)(3)解的穩(wěn)定性解的穩(wěn)定性(stability)：當(dāng)給定條件以及方程中的：當(dāng)給定條件以及方程中的系數(shù)有微小變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的解

36、也只有微小的變動(dòng)。系數(shù)有微小變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的解也只有微小的變動(dòng)。 解的穩(wěn)定性也稱為解關(guān)于參數(shù)的連續(xù)依賴性。解的穩(wěn)定性也稱為解關(guān)于參數(shù)的連續(xù)依賴性。 Hadamard例例(1930年代年代)這個(gè)初始問題有解這個(gè)初始問題有解10,0( ,0)0,( ,0)sin,xxyyyuuxR yu xxRuxnnxxR2( , )sinhsinu x ynnynx此定解問題是適定的此定解問題是適定的不適定問題的求解是不適定問題的求解是目前一個(gè)研究課題，目前一個(gè)研究課題，有很重要的應(yīng)用。有很重要的應(yīng)用。 5 線性疊加原理 物理上，幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同物理上，幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效

37、果等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果的累加。例如幾個(gè)外力作用在一個(gè)物體上原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果的累加。例如幾個(gè)外力作用在一個(gè)物體上所產(chǎn)生的加速度可以用單個(gè)外力各自單獨(dú)作用在該物體上所產(chǎn)所產(chǎn)生的加速度可以用單個(gè)外力各自單獨(dú)作用在該物體上所產(chǎn)生的加速度相加而得到。此原理稱為生的加速度相加而得到。此原理稱為疊加原理疊加原理（Superposition PrincipleSuperposition Principle）。疊加原理對于用線性方程和線。疊加原理對于用線性方程和線性定解條件描述的物理現(xiàn)象來說，都是成立的。性定解條件描述的物理現(xiàn)象來說，都是成立的。 對于線性算子對于線性算子L，如下的疊加原理成立。，如

38、下的疊加原理成立。定理定理1.1. 若若 滿足線性方程滿足線性方程 則它們的線性組合則它們的線性組合 滿足方程滿足方程), 2 , 1(Niui), 2 , 1(NifLuiiNiiifkLu11(1)Niiiuk u 定理定理1.2.1.2. 若若 滿足線性方程滿足線性方程 且且 收斂。且算子收斂。且算子L中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)與求和可以交換次序中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)與求和可以交換次序( (如如 的這些偏導(dǎo)的這些偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，數(shù)連續(xù)， 且相應(yīng)的無窮級數(shù)一致收斂，則求導(dǎo)與求無窮和可交換次序且相應(yīng)的無窮級數(shù)一致收斂，則求導(dǎo)與求無窮和可交換次序) )，那么，那么u 滿足方程滿足方程 特別地，若特別地，若 滿足齊次方

39、程（滿足齊次方程（ ）或齊次定解條）或齊次定解條件（件（ ） ，則，則 也滿足該齊次方程或齊次定也滿足該齊次方程或齊次定解條件。解條件。 ),3 ,2, 1(iuiiu), 3 , 2 , 1(iui0Lu0unu1iiiuku(1,2)iiLufi1(2)iiiuk u1(3)iiiLuk f以上兩個(gè)疊加原理的證明是任意的，只需把微分算子與求以上兩個(gè)疊加原理的證明是任意的，只需把微分算子與求和運(yùn)算交換次序即可。和運(yùn)算交換次序即可。練習(xí)練習(xí)1、偏微分方程與、偏微分方程與 結(jié)合在一起，稱為初值問題；結(jié)合在一起，稱為初值問題；2、定解問題稱為適定的，若它、定解問題稱為適定的，若它 ； 3、設(shè)弦一端在、設(shè)弦一端在x=0處固定，另一端在處固定，另一端在x=l處做自由運(yùn)處做自由運(yùn)動(dòng)。則弦振動(dòng)問題的邊界條件為動(dòng)。則弦振動(dòng)問題的邊界條件為 。答案答案1、初始條件；、初始條件；2、存在唯一且穩(wěn)定的解；、存在唯一且穩(wěn)定的解；3、 。(0, )0,( , )0,0 xutu l tt