高中數(shù)學(xué)人教A版必修五 第一章解三角形 學(xué)業(yè)分層測評4 含答案

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1、起 學(xué)業(yè)分層測評(四) (建議用時(shí):45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1.從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系為(  ) A.α>β B.α=β C.α+β=90 D.α+β=180 【解析】 根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖,如圖.知α=β,故應(yīng)選B. 【答案】 B 2.在靜水中劃船的速度是每分鐘40 m,水流的速度是每分鐘20 m,如果船從岸邊A處出發(fā),沿著與水流垂直的航線到達(dá)對岸,那么船的前進(jìn)方向應(yīng)指向河流的上游并與河岸垂直方向所成的角為(  ) A.15 B.30 C.45 D.60 【解析】 如圖所示, si

2、n∠CAB==,∴∠CAB=30. 【答案】 B 3.我艦在敵島A處南偏西50的B處,且A、B距離為12海里,發(fā)現(xiàn)敵艦正離開島沿北偏西10的方向以每小時(shí)10海里的速度航行,若我艦要用2小時(shí)追上敵艦,則速度大小為(  ) A.28海里/小時(shí) B.14海里/小時(shí) C.14海里/小時(shí) D.20海里/小時(shí) 【解析】 如圖,設(shè)我艦在C處追上敵艦,速度為v, 在△ABC中,AC=102=20(海里), AB=12海里,∠BAC=120, ∴BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=784, ∴BC=28海里, ∴v=14海里/小時(shí). 【答案】 B 4.地上畫了一個(gè)角∠B

3、DA=60,某人從角的頂點(diǎn)D出發(fā),沿角的一邊DA行走10米后,拐彎往另一邊的方向行走14米正好到達(dá)△BDA的另一邊BD上的一點(diǎn),我們將該點(diǎn)記為點(diǎn)N,則N與D之間的距離為(  ) A.14米 B.15米 C.16米 D.17米 【解析】 如圖,設(shè)DN=x m, 則142=102+x2-210 xcos 60, ∴x2-10x-96=0. ∴(x-16)(x+6)=0. ∴x=16或x=-6(舍). ∴N與D之間的距離為16米. 【答案】 C 二、填空題 5.(2015湖北高考)如圖1226,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北

4、30的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75的方向上,仰角為30,則此山的高度CD= m. 圖1226 【解析】 由題意,在△ABC中,∠BAC=30,∠ABC=180-75=105,故∠ACB=45. 又AB=600 m,故由正弦定理得=,解得BC=300 m. 在Rt△BCD中,CD=BCtan 30=300 =100(m). 【答案】 100 6.某船在岸邊A處向正東方向航行x海里后到達(dá)B處,然后朝南偏西60方向航行3海里到達(dá)C處,若A處與C處的距離為海里,則x的值為 . 【解析】 x2+9-2x3cos 30=()2, 解

5、得x=2或x=. 【答案】 或2 7.一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60方向,行駛4 h后,船到B處,看到這個(gè)燈塔在北偏東15方向,這時(shí)船與燈塔的距離為 km. 【導(dǎo)學(xué)號:05920062】 【解析】 如圖所示,依題意有AB=154=60,∠MAB=30, ∠AMB=45, 在△AMB中, 由正弦定理得=, 解得BM=30(km). 【答案】 30 8.一船自西向東航行,上午10:00到達(dá)燈塔P的南偏西75、距塔68 n mile的M處,下午14:00到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則這只船航行的速度為 n mi

6、le/h. 【解析】 如圖,由題意知∠MPN=75+45=120,∠PNM=45. 在△PMN中,由正弦定理,得 =, ∴MN=68=34. 又由M到N所用時(shí)間為14-10=4(h), ∴船的航行速度v==(n mile/h). 【答案】  三、解答題 9.平面內(nèi)三個(gè)力F1、F2、F3作用于同一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài).已知F1、F2的大小分別為1 N、 N,F(xiàn)1與F2的夾角為45,求F3的大小及F3與F1的夾角的大?。? 【解】 如圖,設(shè)F1與F2的合力為F,則F3=-F. ∵∠BOC=45, ∴∠ABO=135. 在△OBA中,由余弦定理得 |F|2=|F1|2+

7、|F2|2-2|F1||F2|cos 135 =4+2. ∴|F|=1+,即|F3|=+1. 又由正弦定理得 sin∠BOA==. ∴∠BOA=30. ∴∠BOD=150. 故F3的大小為(+1)N,F(xiàn)1與F3的夾角為150. 10. (2016焦作模擬)如圖1227,正在海上A處執(zhí)行任務(wù)的漁政船甲和在B處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙,同時(shí)收到同一片海域上一艘漁船丙的求救信號,此時(shí)漁船丙在漁政船甲的南偏東40方向距漁政船甲70 km的C處,漁政船乙在漁政船甲的南偏西20方向的B處,兩艘漁政船協(xié)調(diào)后立即讓漁政船甲向漁船丙所在的位置C處沿直線AC航行前去救援,漁政船乙仍留在B處執(zhí)行任務(wù),漁政

8、船甲航行30 km到達(dá)D處時(shí),收到新的指令另有重要任務(wù)必須執(zhí)行,于是立即通知在B處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙前去救援漁船丙(漁政船乙沿直線BC航行前去救援漁船丙),此時(shí)B、D兩處相距42 km,問漁政船乙要航行多少距離才能到達(dá)漁船丙所在的位置C處實(shí)施營救. 圖1227 【解】 設(shè)∠ABD=α,在△ABD中,AD=30, BD=42,∠BAD=60. 由正弦定理得=, sin α=sin∠BAD=sin 60=, 又∵AD

9、BDC=402+422-24042cos(60+α)=3 844,BC=62 km, 即漁政船乙要航行62 km才能到達(dá)漁船丙所在的位置C處實(shí)施營救. [能力提升] 1.(2016湖南師大附中期中)為了測量某塔的高度,某人在一條水平公路C,D兩點(diǎn)處進(jìn)行測量.在C點(diǎn)測得塔底B在南偏西80,塔頂仰角為45,此人沿著南偏東40方向前進(jìn)10米到D點(diǎn),測得塔頂?shù)难鼋菫?0,則塔的高度為(  ) A.5米 B.10米 C.15米 D.20米 【解析】 如圖,由題意得,AB⊥平面BCD, ∴AB⊥BC,AB⊥BD. 設(shè)塔高AB=x, 在Rt△ABC中,∠ACB=45, 所以BC=

10、AB=x, 在Rt△ABD中,∠ADB=30, ∴BD==x, 在△BCD中,由余弦定理得 BD2=CB2+CD2-2CBCDcos 120, ∴(x)2=x2+100+10x, 解得x=10或x=-5(舍去),故選B. 【答案】 B 2.甲船在島A的正南B處,以每小時(shí)4千米的速度向正北航行,AB=10千米,同時(shí)乙船自島A出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60的方向駛?cè)?,?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí),它們所航行的時(shí)間為(  ) A.分鐘 B.分鐘 C.21.5分鐘 D.2.15小時(shí) 【解析】 如圖,設(shè)t小時(shí)后甲行駛到D處,則AD=10-4t,乙行駛到C處,則AC=6t.∵∠B

11、AC=120,∴DC2=AD2+AC2-2ADACcos 120=(10-4t)2+(6t)2-2(10-4t)6tcos 120=28t2-20t+100=282+. 當(dāng)t=時(shí),DC2最小,即DC最小,此時(shí)它們所航行的時(shí)間為60=分鐘. 【答案】 A 3.如圖1228所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,則cos θ= . 圖1228 【解析】 在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=12

12、0, 由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800?BC=20. 由正弦定理=? sin∠ACB=sin∠BAC=, ∠BAC=120,則∠ACB為銳角,cos∠ACB=. 由θ=∠ACB+30,則cos θ=cos(∠ACB+30)=cos∠ACBcos 30-sin∠ACBsin 30=. 【答案】  4.如圖1229,某軍艦艇位于島嶼A的正西方C處,且與島嶼A相距120海里.經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn),國際海盜船以100海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿東偏北60方向逃竄,同時(shí),該軍艦艇從C處出發(fā)沿東偏北α的方向勻速追趕國際海盜船,恰好用2小時(shí)追上. 圖1229 (1)求該軍艦艇的速度; (2)求sin α的值. 【解】 (1)依題意知,∠CAB=120,AB=1002=200,AC=120,∠ACB=α, 在△ABC中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos∠CAB=2002+1202-2200120cos 120=78 400,解得BC=280. 所以該軍艦艇的速度為=140海里/小時(shí). (2)在△ABC中,由正弦定理,得=, 即sin α===.

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