【大師特稿】高考數(shù)學(xué)答題模板：第5講圓錐曲線的常規(guī)問題含解析

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第5講　圓錐曲線的常規(guī)問題 例6　已知雙曲線－＝1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過點(a,0)和(0，b)，且點(1,0)到直線l的距離與點(－1,0)到直線l的距離之和s≥c，求雙曲線的離心率e的取值范圍． 審題破題　用a，b表示s可得關(guān)于a，b，c的不等式，進而轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的不等式，求e的范圍． 解　設(shè)直線l的方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 由點到直線的距離公式，且a>1，得到點(1,0)到直線l的距離d1＝， 同理可得點(－1,0)到直線l的距離為d2＝， 于是s＝d1＋d2＝＝. 由s≥c，得≥c，即5a≥2c2， 可得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0， 解得≤e2≤5. 由于e>1，故所求e的取值范圍是. 構(gòu)建答題模板 第一步：提取．從題設(shè)條件中提取不等關(guān)系式； 第二步：解不等式．求解含有目標參數(shù)的不等式，得到不等式的解集； 第三步：下結(jié)論．根據(jù)不等式的解集，并結(jié)合圓錐曲線中幾何量的范圍，得到所求參數(shù)的取值范圍； 第四步：回顧反思．根據(jù)題設(shè)條件給出的不等關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，要考慮圓錐曲線自身的一些幾何意義，如離心率的范圍，圓錐曲線定義中的a，b，c的大小關(guān)系等． 對點訓(xùn)練6　橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，短軸長為，離心率為，直線l與y軸交于點P(0，m)，與橢圓C交于相異兩點A，B，且＝3. (1)求橢圓C的方程； (2)求m的取值范圍． 解　(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 設(shè)c>0，c2＝a2－b2，由題意，知2b＝，＝， 所以a＝1，b＝c＝. 故橢圓C的方程為y2＋＝1，即y2＋2x2＝1. (2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m(k≠0)，l與橢圓C的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0， Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*) x1＋x2＝，x1x2＝. 因為＝3，所以－x1＝3x2， 所以所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0. 所以3·2＋4·＝0. 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0， 即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0. 當m2＝時，上式不成立；當m2≠時，k2＝， 由(*)式，得k2>2m2－2， 又k≠0，所以k2＝>0. 解得－1<m<－或<m<1. 即所求m的取值范圍為∪.