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高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
第2講 常考的數(shù)列綜合問題
數(shù)列通項公式的求解問題
例2 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列．
(1)求a1的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
審題破題 (1)可令n＝1，n＝2得關(guān)系式聯(lián)立求a1；(2)由已知可得n≥2時，2Sn－1＝an－2n＋1，兩式相減．
解 (1)當n＝1時，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，①
當n＝2時，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，②
又a1，a2＋5
2、，a3成等差數(shù)列，
所以a1＋a3＝2(a2＋5)，③
由①②③解得a1＝1.
(2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
∴當n≥2時，有2Sn－1＝an－2n＋1，
兩式相減得an＋1－3an＝2n，則－＝1，
即＋2＝.
又＋2＝3，知是首項為3，公比為的等比數(shù)列，
∴＋2＝3n－1，
即an＝3n－2n，n＝1時也適合此式，
∴an＝3n－2n.
構(gòu)建答題模板
第一步：令n＝1，n＝2得出a1，a2，a3的兩個方程，和已知a1，a2，a3的關(guān)系聯(lián)立求a1；
第二步：令n≥2得關(guān)系式后，利用作差得an＋1，an的關(guān)系；
第三步：構(gòu)造等比數(shù)列，并求出通項；
第四
3、步：求出數(shù)列{an}的通項．
對點訓練2 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的前三項a1，a2，a3；
(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出{an}的通項公式．
(1)解 在Sn＝2an＋(－1)n，n≥1中分別令n＝1,2,3，得
解得
(2)證明 由Sn＝2an＋(－1)n，n≥1，
得Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1，n≥2.
兩式相減得an＝2an－1－2(－1)n，n≥2.
an＝2an－1－(－1)n－(－1)n
＝2an－1＋(－1)n－1－(－1)n，
∴an＋(－1)n＝2(n≥2)．
4、故數(shù)列是以a1－＝為首項，公比為2的等比數(shù)列．所以an＋(－1)n＝2n－1，
∴an＝2n－1－(－1)n.
數(shù)列求和問題
例3 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值為8.
(1)確定常數(shù)k，并求an；
(2)求數(shù)列的前n項和Tn.
審題破題 (1)由Sn的最大值，可據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求k，因而確定an；(2)利用錯位相減法求和．
解 (1)當n＝k∈N*時，Sn＝－n2＋kn取最大值，
即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，因此k＝4，
從而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．
又a1＝S1＝，所以an＝－n.
(2)
5、設(shè)bn＝＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，
所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－
＝4－－＝4－.
構(gòu)建答題模板
第一步：利用條件求數(shù)列{bn}的通項公式；
第二步：寫出Tn＝b1＋b2＋…＋bn的表達式；
第三步：分析表達式的結(jié)構(gòu)特征、確定求和方法.(例如：公式法、裂項法，本題用錯位相減法)；
第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論；
第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點，易錯點及解題規(guī)范.如本題中在求an時，易忽視對n＝1，n≥2時的討論.
對點訓練3 已知點是函數(shù)f(x)＝ax (a>0，且a≠1)的圖象上的一點．等比數(shù)列{an}的前n項和為f(n)－c.數(shù)列{bn}
6、(bn>0)的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn－Sn－1＝＋ (n≥2)．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)若數(shù)列的前n項和為Tn，問滿足Tn>的最小正整數(shù)n是多少？
解 (1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x.
由題意知，a1＝f(1)－c＝－c，
a2＝f(2)－c]－f(1)－c]＝－，
a3＝f(3)－c]－f(2)－c]＝－.
又數(shù)列{an}是等比數(shù)列，
∴a1＝＝＝－＝－c，
∴c＝1.又公比q＝＝，
∴an＝－n－1＝－2n (n∈N*)．
∵Sn－Sn－1＝(－)(＋)
＝＋ (n≥2)．
又bn>0，>0，∴－＝1.
∴數(shù)列{}構(gòu)成一個首項為1、公差為1的等差數(shù)列，
＝1＋(n－1)1＝n，即Sn＝n2.
當n≥2時，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
當n＝1時，b1＝1也適合此通項公式．
∴bn＝2n－1 (n∈N*)．
(2)Tn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋＝＝.
由Tn＝>，得n>，
∴滿足Tn>的最小正整數(shù)n的值為101.
【大師特稿】高考數(shù)學答題模板：第2講常考的數(shù)列綜合問題含解析
