一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習(xí):第五章 第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)規(guī)范練 A組 基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 1.已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=(  ) A.21          B.42 C.63 D.84 解析:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.故選B. 答案:B 2.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1

2、=(  ) A. B.- C. D.- 解析:由題知公比q≠1,則S3==a1q+10a1,得q2=9,又a5=a1q4=9,則a1=,故選C. 答案:C 3.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=2,S6=18,則等于(  ) A.-3 B.5 C.-31 D.33 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由已知得q≠1. ∵S3=2,S6=18, ∴=,得q3=8, ∴q=2.∴==1+q5=33,故選D. 答案:D 4.在等比數(shù)列{an}中,a2a3a4=8,a7=8,則a1=(  ) A.1 B.1 C.2 D.2 解析:因?yàn)閿?shù)列{an}是

3、等比數(shù)列,所以a2a3a4=a=8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8, 所以q2=2,a1==1,故選A. 答案:A 5.設(shè)首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則(  ) A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 解析:因?yàn)閍1=1,公比q=,所以an=n-1,Sn==3=3-2n-1=3-2an,故選D. 答案:D 6.(20xx鄭州質(zhì)檢)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a=2a3a6,S5=-62,則a1的值是________. 解析:設(shè){an}的公比為q.由a=2a3a6得(a1q4)

4、2=2a1q2a1q5,∴q=2,∴S5==-62,a1=-2. 答案:-2 7.已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,a1=-2,且3(an+an+2)=10an+1,則公比q=________. 解析:因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}為遞增數(shù)列且a1=-2<0,所以0

5、-an=3n-1, ∴an-a1=a2-a1+a3-a2+…+an-1-an-2+an-an-1=1+3+…+3n-2=, ∵a1=1,∴an=. 答案: 9.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+1=3an+1. (1)證明{an+}是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式; (2)證明++…+<. 證明:(1)由an+1=3an+1得an+1+=3(an+). 又a1+=,所以{an+}是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列. 所以an+=, 因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an=. (2)由(1)知=. 因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí),3n-1≥23n-1, 所以≤. 于是++…+≤1++…+=<.

6、 所以++…+<. 10.(20xx合肥質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中,a1=,an+1=an,n∈N*. (1)求證:數(shù)列{}為等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 解析:(1)證明:由an+1=an知=, ∴{}是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)知{}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列, ∴=()n,∴an=, ∴Sn=++…+,① 則Sn=++…+,② ①-②得:Sn=+++…+-=1-, ∴Sn=2-. B組 能力提升練 1.(20xx長(zhǎng)春調(diào)研)等比數(shù)列{an}中,a3=9,前三項(xiàng)和S3=27,則公比q的值為(  ) A.1 B.- C.1或-

7、 D.-1或- 解析:當(dāng)公比q=1時(shí), a1=a2=a3=9, ∴S3=39=27. 當(dāng)q≠1時(shí),S3=, ∴27=, ∴a1=27-18q, ∴a3=a1q2, ∴(27-18q)q2=9, ∴(q-1)2(2q+1)=0, ∴q=-. 綜上q=1或q=-.選C. 答案:C 2.?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足:an+1=λan-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,則λ的值等于(  ) A.1 B.-1 C. D.2 解析:由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ.由于數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,所以=1,得λ=2. 答案:D

8、3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a3=a2+2a1,若存在兩項(xiàng)am,an,使得=4a1,則+的最小值為(  ) A. B. C. D.不存在 解析:∵正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a3=a2+2a1, ∴a1q2=a1q+2a1, 即q2=q+2,解得q=-1(舍)或q=2, ∵存在兩項(xiàng)am,an,使得=4a1, ∴aman=16a, ∴(a12m-1)(a12n-1)=16a, ∴a2m+n-2=16a,∴m+n=6, ∴+= =≥ =(當(dāng)且僅當(dāng)n=2m時(shí)取等號(hào)), ∴+的最小值是. 答案:A 4.已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=,a3a5=4(a4-1),則a

9、2=(  ) A.2 B.1 C. D. 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,a1=,a3a5=4(a4-1),由題可知q≠1,則a1q2a1q4=4(a1q3-1),∴q6=4(q3-1),∴q6-16q3+64=0,∴(q3-8)2=0,∴q3=8,∴q=2,∴a2=.故選C. 答案:C 5.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3+3S2=0,則公比q=________. 解析:由S3+3S2=0,得a1+a2+a3+3(a1+a2)=0,即4a1+4a2+a3=0,即4a1+4a1q+a1q2=0,即q2+4q+4=0,所以q=-2. 答案:-2 6.設(shè)數(shù)列{an}

10、(n=1,2,3,…)的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn+a1=2an,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,則a1+a5=________. 解析:由已知Sn+a1=2an,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2). 從而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因?yàn)閍1,a2+1,a3成等差數(shù)列, 即a1+a3=2(a2+1), 所以a1+4a1=2(2a1+1), 解得a1=2,所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列, 故an=2n,則a1+a5=2+25=34. 答案:34 7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=an-1(n∈N*

11、). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=2log3+1,求++…+. 解析:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=a1-1,∴a1=2, 當(dāng)n≥2時(shí),∵Sn=an-1,① ∴Sn-1=an-1-1(n≥2),② ①-②得an=(an-1)-(an-1-1), 即an=3an-1, ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列, ∴an=23n-1. (2)由(1)得bn=2log3+1=2n-1, ∴++…+=++…+=(1-+-+…+-)=. 8.?dāng)?shù)列{an}中,a1=2,an+1=an(n∈N*). (1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Tn,求證:Tn<2. 解析:(1)由題設(shè)得=,又=2,所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為的等比數(shù)列,所以=2n-1=22-n,an=n22-n=. (2)證明:bn===, 因?yàn)閷?duì)任意n∈N*,2n-1≥2n-1, 所以bn≤. 所以Tn≤1++++…+ =2<2.

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