一輪優(yōu)化探究文數(shù)蘇教版練習(xí):第十章 第三節(jié) 合情推理與演繹推理 Word版含解析

上傳人:仙*** 文檔編號(hào):40241029 上傳時(shí)間:2021-11-15 格式:DOC 頁數(shù):6 大小:271.50KB
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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 一、填空題 1.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則: ①“mn=nm”類比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”類比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt?m=x”類比得到“p≠0,a·p=x·p?a=x”;

2、 ⑤“|m·n|=|m|·|n|”類比得到“|a·b|=|a|·|b|”;⑥“=”類比得到“=”. 以上的式子中,類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是________. 解析:只有①②正確,其余錯(cuò)誤. 答案:2 2.請(qǐng)閱讀下列材料: 若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1,a2滿足a+a=1,那么a1+a2≤. 證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,從而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤. 根據(jù)上述證明方法,若n個(gè)正實(shí)數(shù)滿足a+a+…+a=1時(shí),你能得到的結(jié)論為_

3、_______.(不必證明) 解析:設(shè)g(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1, ∵g(x)≥0對(duì)x∈R恒成立, ∴Δ=4(a1+a2+…+an)2-4n≤0, ∴a1+a2+…+an≤. 答案:a1+a2+…+an≤ 3.如圖,第(1)個(gè)多邊形是由正三角形“擴(kuò)展”而來,第(2)個(gè)多邊形是由正四邊形“擴(kuò)展”而來,……如此類推.設(shè)由正n邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為an,則a6=________;+++…+=________. 解析:an=n(n+1),∴a6=6×7=42. ++…+=++…+ =-

4、+-+…+-=-=. 答案:42  4.對(duì)于等差數(shù)列{an},有如下命題:“若{an}是等差數(shù)列,a1=0,s、t是互不相等的正整數(shù),則有(s-1)at=(t-1)as”.類比此命題,給出等比數(shù)列{bn}相應(yīng)的一個(gè)正確命題:“________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.” 答案:若{bn}是等比數(shù)列,b1=1,s,t是互不相等的正整數(shù),則有b

5、=b 5.如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的,第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為(n≥2),其余每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和,如 =+,=+,=+,…,則第7行第4個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))為________. 解析:由“第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為”可知,第7行第1個(gè)數(shù)為,由“其余每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和”可知,第7行第2個(gè)數(shù)為-=,同理易知,第7行第3個(gè)數(shù)為-=,第7行第4個(gè)數(shù)為-=. 答案: 6.觀察下列等式: 32+42=52, 102+112+122=132+142, 212+222+232+242=252+262+272, 362+

6、372+382+392+402=412+422+432+442, …… 由此得到第n(n∈N*)個(gè)等式為________. 解析:由歸納推理直接寫出即可. 答案:(2n2+n)2+(2n2+n+1)2+…+(2n2+n+n)2=(2n2+2n+1)2+(2n2+2n+2)2+…+(2n2+2n+n)2 7.兩點(diǎn)等分單位圓時(shí),有相應(yīng)正確關(guān)系為sin α+sin(π+α)=0;三點(diǎn)等分單位圓時(shí),有相應(yīng)正確關(guān)系為sin α+sin(α+)+s in(α+)=0.由此可以推知:四點(diǎn)等分單位圓時(shí)的相應(yīng)正確關(guān)系為________. 解析:類比推理可知,四點(diǎn)等分單位圓時(shí),α與α+π的終邊互為反向

7、延長(zhǎng)線,α+與α+的終邊互為反向延長(zhǎng)線,如圖. 答案:sin α+sin(α+)+sin(α+π)+sin(α+)=0 8.已知結(jié)論:“在正三角形ABC中,若D是邊BC的中點(diǎn),G是三角形ABC的重心,則=2”.若把該結(jié)論推廣到空間,則有結(jié)論:“在棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中,若△BCD的中心為M,四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等”,則=________. 解析:由題知,O為正四面體的外接球、內(nèi)切球球心,設(shè)正四面體的高為h,由等體積法可求內(nèi)切球半徑為h,外接球半徑為h,所以=3. 答案:3 9.正方形ABCD的邊長(zhǎng)是a,依次連結(jié)正方形ABCD各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的正方形,

8、再依次連結(jié)新正方形各邊中點(diǎn)又得到一個(gè)新的正方形,依此得到一系列的正方形,如圖所示.現(xiàn)有一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā),沿正方形的邊逆時(shí)針方向爬行,每遇到新正方形的頂點(diǎn)時(shí),沿這個(gè)正方形的邊逆時(shí)針方向爬行,如此下去,爬行了10條線段.則這10條線段的長(zhǎng)度的平方和是________. 解析:由題可知,這只小蟲爬行的第一段長(zhǎng)度的平方為a=(a)2=a2,第二段長(zhǎng)度的平方為a=(a)2=a2,…,從而可知,小蟲爬行的線段長(zhǎng)度的平方可以構(gòu)成以a=a2為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為S10==a2. 答案:a2 二、解答題 10.通過觀察下列等式,猜想出一個(gè)一般性結(jié)論,并證明結(jié)論的真假. si

9、n230°+sin290°+sin2150°=; sin260°+sin2120°+sin2180°=; sin245°+sin2105°+sin2165°=; sin215°+sin275°+sin2135°=. 解析:猜想:sin2(α-)+sin2α+sin2(α+)=. 證明:∵左=(sin αcos-cos αsin)2+sin2α+(sin αcos+cos αsin)2 =(sin2α+cos2α)==右,∴待證式成立. 11.圓x2+y2=R2(

10、R>0)上任一點(diǎn)P(不在x軸上),與圓上兩點(diǎn)A (-R,0),B(R,0)的連線PA,PB的斜率kPA,kPB有下面的等式成立:kPAkPB=-1,類比這個(gè)命題,寫出橢圓+=1(a>b>0)中對(duì)應(yīng)的命題,并加以證明. 解析:命題:對(duì)橢圓+=1(a>b>0)上任一點(diǎn)P(不在x軸上),與橢圓上兩點(diǎn)A(-a,0),B(a,0)的連線PA,PB的斜率kPA,kPB有下面的等式成立:kPAkPB=-. 證明:設(shè)P(x,y),則有+=1,kPA=,kPB=,∴kPAkPB==(1-)=-. 12.小朋用第二十九屆北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃迎迎”擺出如圖(1)、(2)、(3)

11、、(4)這四個(gè)圖案,現(xiàn)按同樣的方式構(gòu)造圖形,設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)“福娃迎迎”. (1)試寫出f(5)、f(6)的值; (2)歸納出f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系式,并求出f(n)的表達(dá)式; (3)求證:+++…+<. 解析:(1)f(5)=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41, f(6)=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1=61. (2)因?yàn)閒(2)-f(1)=3+1=4,f(3)-f(2)=5+3=8, f(4)-f(3)=7+5=12,…,歸納得f(n)-f(n-1)=4(n-1),則f(n+1)-f(n)=4n. f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1) =4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=2n2-2n+1. (3)證明:當(dāng)k≥2時(shí),=<=(-).則+++…+<1+·[(1-)+(-)+…+(-)]=1+(1-)<1+=.

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