一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習(xí):第五章 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)規(guī)范練 A組 基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 1.(20xx嘉興調(diào)研)已知an=(n∈N*),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則使Sn>0的n的最小值為(  ) A.99         B.100 C.101 D.102 解析:由通項(xiàng)公式得a1+a100=a2+a99=a3+a98=…=a50+a51=0,a101=>0,故選C. 答案:C 2.(20xx昆明七校調(diào)研)在等比數(shù)列{an}中,Sn是它的前n項(xiàng)和,若q=2,且a2與2a4的等差中項(xiàng)為18,則S5=(  ) A.62 B.-

2、62 C.32 D.-32 解析:依題意得a2+2a4=36,q=2,則2a1+16a1=36,解得a1=2,因此S5==62,選A. 答案:A 3.已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=1,且a3,a4+,a11成等比數(shù)列.若p-q=10,則ap-aq=(  ) A.14 B.15 C.16 D.17 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意分析知d>0,因?yàn)閍3,a4+,a11成等比數(shù)列,所以2=a3a11,即2=(1+2d)(1+10d),即44d2-36d-45=0,所以d=,所以an=.所以ap-aq=(p-q)=15. 答案:B 4.已知數(shù)列{an}滿

3、足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=,若函數(shù)f(x)=sin 2x+2cos2,記yn=f(an),則數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為(  ) A.0 B.-9 C.9 D.1 解析:由已知可得,數(shù)列{an}為等差數(shù)列,f(x)=sin 2x+cos x+1,∴f=1. ∵f(π-x)=sin(2π-2x)+cos(π-x)+1=-sin 2x-cos x+1,∴f(π-x)+f(x)=2. ∵a1+a9=a2+a8=…=2a5=π,∴f(a1)+…+f(a9)=24+1=9,即數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為9. 答案:C 5.等差數(shù)列{an}的公差為2,若a2,a4,

4、a8成等比數(shù)列,則{an}的前n項(xiàng)和Sn=(  ) A.n(n+1) B.n(n-1) C. D. 解析:因?yàn)閍2,a4,a8成等比數(shù)列,所以a=a2a8,所以(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.所以Sn=na1+2=n(n+1).故選A. 答案:A 6.已知{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d≠0,Sn為其前n項(xiàng)和,若a1,a2,a5成等比數(shù)列,則S8=________. 解析:因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,所以a1(a1+4d)=(a1+d)2,解得d=2a1=2,所以S8=64. 答案:64 7.對(duì)于數(shù)列{an},定義數(shù)列

5、{an+1-an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”,若a1=2,{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2n,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=__________. 解析:∵an+1-an=2n,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.∴Sn==2n+1-2. 答案:2n+1-2 8.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=________. 解析:由3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,得4S2=3S1+S3,即3S2-3S1=S3-S2,則3a2=a3,

6、得公比q=3,所以an=a1qn-1=3n-1. 答案:3n-1 9.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*. (1)若a2,a3,a2+a3成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)雙曲線x2-=1的離心率為en,且e2=2,求e+e+…+e. 解析:(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,兩式相減得到an+2=qan+1,n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故 an+1=qan對(duì)所有n≥1都成立. 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列. 從而an=qn-1.

7、由a2,a3,a2+a3成等差數(shù)列,可得2a3=a2+a2+a3, 所以a3=2a2,故q=2, 所以an=2n-1(n∈N*). (2)由(1)可知,an=qn-1. 所以雙曲線x2-=1的離心率en== . 由e2= =2解得q=. 所以e+e+…+e=(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n-1)] =n+[1+q2+…+q2(n-1)] =n+ =n+(3n-1). 10.(20xx西安質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=6,b2+S3=8. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式

8、; (2)求++…+. 解析:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,d>0,{bn}的公比為q,則an=1+(n-1)d,bn=qn-1. 依題意有, 解得,或 (舍去). 故an=n,bn=2n-1. (2)由(1)知Sn=1+2+…+n=n(n+1), ∴==2(-), ∴++…+ =2[(1-)+(-)+…+(-)] =2(1-) =. B組 能力提升練 1.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-3)3+x-1,{an}是公差不為0的等差數(shù)列,f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,則a1+a2+…+a7=(  ) A.0 B.7 C.14 D.21 解析:∵f(

9、x)=(x-3)3+x-1 =(x-3)3+(x-3)+2, 而y=x3+x是單調(diào)遞增的奇函數(shù), ∴f(x)=(x-3)3+(x-3)+2是關(guān)于點(diǎn)(3,2)成中心對(duì)稱的增函數(shù). 又∵{an}是等差數(shù)列, f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14=72, ∴f(a4)=2, 即(a4-3)3+(a4-3)+2=2, ∴a4=3, ∴a1+a2+…+a7=7a4=21. 答案:D 2.已知等差數(shù)列{an}的公差和首項(xiàng)都不等于0,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,則=(  ) A.2 B.3 C.5 D.7 解析:∵等差數(shù)列{an}中,a2,a4,a8成等比數(shù)列,∴a

10、=a2a8,∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),∴d2=a1d,∵d≠0,∴d=a1, ∴==3.故選B. 答案:B 3.定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下:{an}共有2m項(xiàng),其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)為1,且對(duì)任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有(  ) A.18個(gè) B.16個(gè) C.14個(gè) D.12個(gè) 解析:由題意可得a1=0,a8=1,a2,a3,…,a7中有3個(gè)0、3個(gè)1,且滿足對(duì)任意k≤8,都有a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù),利用列舉法可得不同的“規(guī)范01數(shù)列”有00001111,00010

11、111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101,共14個(gè). 答案:C 4.5個(gè)數(shù)依次組成等比數(shù)列,且公比為-2,則其中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的比值為(  ) A.- B.-2 C.- D.- 解析:由題意可設(shè)這5個(gè)數(shù)分別為a,-2a,4a,-8a,16a,故奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的比值為=-,故選C. 答案:C 5.若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),且a,b,-2這三個(gè)數(shù)

12、可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于__________. 解析:依題意有a,b是方程x2-px+q=0的兩根,則a+b=p,ab=q,由p>0,q>0可知a>0,b>0.由題意可知ab=(-2)2=4=q,a-2=2b或b-2=2a, 將a-2=2b代入ab=4可解得a=4,b=1,此時(shí)a+b=5,將b-2=2a代入ab=4可解得a=1,b=4,此時(shí)a+b=5,則p=5,故p+q=9. 答案:9 6.已知an=3n(n∈N*),記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Tn,若對(duì)任意的n∈N*,k≥3n-6恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________. 解析:Tn

13、==-+,所以Tn+=,則原不等式可以轉(zhuǎn)化為k≥=恒成立,令f(n)=,當(dāng)n=1時(shí),f(n)=-,當(dāng)n=2時(shí),f(n)=0,當(dāng)n=3時(shí),f(n)=,當(dāng)n=4時(shí),f(n)=,即f(n)是先增后減,當(dāng)n=3時(shí),取得最大值,所以k≥. 答案:k≥ 7.為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè),提高社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益,長(zhǎng)沙市計(jì)劃用若干時(shí)間更換一萬(wàn)輛燃油型公交車,每更換一輛新車,則淘汰一輛舊車,替換車為電力型和混合動(dòng)力型車.今年初投入了電力型公交車128輛,混合動(dòng)力型公交車400輛;計(jì)劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%,混合動(dòng)力型車每年比上一年多投入a輛. (1)求經(jīng)過(guò)n年,該市被更換的公交車總數(shù)S(n);

14、(2)若該市計(jì)劃7年內(nèi)完成全部更換,求a的最小值. 解析:(1)設(shè)an,bn分別為第n年投入的電力型公交車、混合動(dòng)力型公交車的數(shù)量. 依題意,得{an}是首項(xiàng)為128,公比為1+50%=的等比數(shù)列,{bn}是首項(xiàng)為400,公差為a的等差數(shù)列. 所以{an}的前n項(xiàng)和 Sn==256, {bn}的前n項(xiàng)和Tn=400n+a. 所以經(jīng)過(guò)n年,該市被更換的公交車總數(shù)為 S(n)=Sn+Tn=256+400n+a. (2)若計(jì)劃7年內(nèi)完成全部更換,則S(7)≥10 000, 所以256+4007+a≥10 000, 即21a≥3 082,所以a≥146. 又a∈N*,所以a的最

15、小值為147. 8.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,Sn)(n∈N*)在函數(shù)f(x)=x2+x的圖象上. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,不等式Tn>loga(1-a)對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解析:(1)∵點(diǎn)(n,Sn)在函數(shù)f(x)=x2+x的圖象上,∴Sn=n2+n. 當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=(n-1)2+(n-1), 兩式相減得an=n. 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=+=1,符合上式, ∴an=n(n∈N*). (2)由(1)得==, ∴Tn=++…+ =++…+ + = =-. ∵Tn+1-Tn=>0, ∴數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增, ∴{Tn}中的最小項(xiàng)為T1=. 要使不等式Tn>loga(1-a)對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,只要>loga(1-a),即loga(1-a)0,a>0,∴0a,∴0

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