一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第九章 第八節(jié)　拋物線 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 一、填空題 1．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是x－2＝0，則a的值是________． 解析：拋物線方程可化為x2＝y(tǒng)， ∴準(zhǔn)線方程為x＝－＝2，得a＝－. 答案：－ 2．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為________． 解析：橢圓的右焦點(diǎn)是(2,0)，∴＝2，p＝4. 答案：4 3．若拋物線y2＝2x上的一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為，則M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為________． 解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則 ＝，即t4＋4t2－12＝0，解得

2、t2＝2或t2＝－6(舍)，故M(1，±)．又拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，故點(diǎn)M到準(zhǔn)線距離為，即M到其焦點(diǎn)距離為. 答案： 4．若拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點(diǎn)F傾斜角為60°的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝4.則此拋物線的方程為________． 解析：拋物線的焦點(diǎn)為F(，0)，∴得直線l的方程為： y＝(x－)，將其與y2＝2px(p>0)聯(lián)立消去y得： 3x2－5xp＋p2＝0，∴x1＋x2＝p， 又|AB|＝x1＋x2＋p. ∴有＋p＝4，解得：p＝. ∴拋物線方程為：y2＝3x. 答案：y2＝3x 5．如果直線l過定

3、點(diǎn)M(1,2)，且與拋物線y＝2x2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，那么直線l的方程為________． 解析：點(diǎn)M在拋物線上，由題意知直線l與拋物線相切于點(diǎn)M(1,2)，∴y′|x＝1＝4，∴直線l的方程為y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.當(dāng)l與拋物線相交時(shí)，l的方程為x＝1. 答案：4x－y－2＝0，x＝1 6．已知過拋物線y2＝6x焦點(diǎn)的弦長為12，則此弦所在直線的傾斜角是________． 解析：拋物線焦點(diǎn)是(，0)， 設(shè)直線方程為y＝k(x－)， 代入拋物線方程，得k2x2－(3k2＋6)x＋k2＝0， 設(shè)弦兩端點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，

4、∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋3＝12，解得 k＝±1， ∴直線的傾斜角為或. 答案：或 7．過拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若y1＋y2＝6，則|AB|等于________． 解析：結(jié)合拋物線的定義可知|AB|＝(y1＋)＋(y2＋)＝y(tǒng)1＋y2＋p＝6＋2＝8. 答案：8 8．已知圓x2＋y2－6x－7＝0與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線相切，則p＝________. 解析：由題知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝42， ∴圓心坐標(biāo)為(3,0)，半徑r＝4. ∴與圓相切且垂直于x軸的兩條切線是x＝

5、－1，x＝7. 而y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x＝－， ∴由－＝－1得p＝2，由－＝7得p＝－14與題設(shè)矛盾(舍去)．∴p＝2. 答案：2 9．連結(jié)拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)F與點(diǎn)M(1,0)所得的線段與拋物線交于點(diǎn)A，設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAM的面積為________． 解析：線段FM所在直線方程x＋y＝1與拋物線交于A(x0，y0)，則?y0＝3－2或y0＝3＋2(舍去)． ∴S△OAM＝×1×(3－2)＝－. 答案：－ 二、解答題 10．根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點(diǎn)； (2

6、)過點(diǎn)P(2，－4)； (3)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|＝5. 解析：(1)雙曲線方程化為－＝1，左頂點(diǎn)為(－3,0)，由題意設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)且＝－3， ∴p＝6， ∴方程為y2＝－12x. (2)由于P(2，－4)在第四象限且拋物線的對稱軸為坐標(biāo)軸，可設(shè)方程為y2＝mx或x2＝ny. 代入P點(diǎn)坐標(biāo)求得m＝8，n＝－1， ∴所求拋物線方程為y2＝8x或x2＝－y. (3)設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線方程為 y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)， 由拋物線定義得5＝|AF|＝|m＋|. 又(－3)2＝2pm，

7、∴p＝±1或p＝±9， 故所求拋物線方程為y2＝±2x或y2＝±18x. 11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)． (1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)M，N是拋物線C的準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且它們的縱坐標(biāo)之積為－4，直線MO、NO與拋物線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，求證：動(dòng)直線AB恒過一個(gè)定點(diǎn)． 解析：(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)，則＝1，所以p＝2， 所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x. (2)證明：證法一　拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝－1， 設(shè)M(－1，y1)，N(－1，y2)，

8、其中y1y2＝－4. 則直線MO的方程為：y＝－y1x， 將y＝－y1x與y2＝4x聯(lián)立方程組， 解得A點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)， 同理可得B點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)， 則直線AB方程為：＝， 整理得(y1＋y2)y－4x＋4＝0， 由解得故動(dòng)直線AB恒過一個(gè)定點(diǎn)(1,0)． 證法二　拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝－1，設(shè)M(－1，y1)，N(－1，y2)，其中y1y2＝－4. 取y1＝2，則y2＝－2，可得M(－1,2)，N(－1，－2)． 此時(shí)直線MO的方程為y＝－2x，由 解得A(1，－2)． 同理，可得B(1,2)，則直線AB的方程為l1：x＝1， 再取y1＝1，則y2＝－4，同理

9、可得A(4，－4)，B(，1)， 此時(shí)直線AB方程為l2：4x＋3y－4＝0，于是可得l1與l2的交點(diǎn)為(1,0)．故動(dòng)直線AB恒過一個(gè)定點(diǎn)(1,0)． 12．已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)． 求證：(1)x1x2為定值； (2) ＋為定值． 證明：(1)拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為F(，0)， 設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－)(k≠0)． 由 消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2＝(定值)． 當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，x1＝x2＝，x1x2＝也成立． (2)由拋物線的定義知， |FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋. ＋＝＋ ＝ ＝＝ ＝(定值)． 當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|FA|＝|FB|＝p，上式也成立．