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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
一、填空題
1.直線x=1與橢圓x2+=1的位置關(guān)系是________.
解析:∵橢圓x2+=1的短半軸b=1,故直線x=1與橢圓相切.
答案:相切
2.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn),且AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則k=________.
解析:由,消去y得k2x2-4(k+2)x+4=0,故Δ=[-4(k+2)]2-4k24=64(1+k)>0,解得k>-1,且x1+x2==4,解得k=-1或k=2,故k=2.
答案:2
3.若直線y=kx與雙
2、曲線-=1相交,則k的取值范圍為________.
解析:雙曲線-=1的漸近線方程為y=x,若直線與雙曲線相交,結(jié)合斜率的變化情況可知k∈(-,).
答案:(-,)
4.已知F1、F2是橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn),過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).在△AF1B中,若有兩邊之和為10,則第三邊的長度是________.
解析:∵△AF1B的周長為4a,且a=4,
∴第三邊的長度為44-10=6.
答案:6
5.斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn),則|AB|的最大值為________.
解析:設(shè)橢圓與直線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),
由消去y,得5x2+
3、8tx+4(t2-1)=0.
則有x1+x2=-t,x1x2=.
∴|AB|=|x1-x2|
==,
當(dāng)t=0時(shí),|AB|max=.
答案:
6.已知直線l與橢圓x2+2y2=2交于P1、P2兩點(diǎn),線段P1P2的中點(diǎn)為P,設(shè)直線l的斜率為k1(k1≠0),直線OP的斜率為k2,則k1k2的值等于________.
解析:設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則P(,),
k2=,k1=,k1k2=.
由相減得y-y=-(x-x).
故k1k2=-.
答案:-
7.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線,交拋物線于A,B兩點(diǎn),則以F為圓心、AB為直徑的圓的方程是
4、________.
解析:由y2=4x,得p=2,F(xiàn)(1,0),
∴A(1,2),B(1,-2),
∴所求圓的方程為(x-1)2+y2=4.
答案:(x-1)2+y2=4
8.過橢圓+=1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為________.
解析:該橢圓的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),
則該直線方程是x=y(tǒng)+1,
代入橢圓方程得3y2+2y-8=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=-,y1y2=-,
則△OAB的面積為
S=|OF||y1-y2|=
= ==.
答案:
9.若斜率為的直線l與橢
5、圓+=1(a>b>0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且這兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則該橢圓的離心率為________.
解析:由題意易知兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-c,c,縱坐標(biāo)分別為-,,所以由=?2b2=ac=2(a2-c2),即2e2+e-2=0,解得e=(負(fù)根舍去).
答案:
二、解答題
10.已知橢圓C1:+=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,離心率為,又拋物線C2:y2=4mx(m>0)與橢圓C1有公共焦點(diǎn)F2(1,0).
(1)求橢圓和拋物線的方程;
(2)設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F1且與拋物線交于不同兩點(diǎn)P、Q且滿足=λ.求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
解析:(1)橢圓中c=1,
6、e=,所以a=2,b==,橢圓方程為+=1.
拋物線中m==1,所以拋物線方程為y2=4x.
(2)設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),和拋物線方程聯(lián)立得
消去y整理得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,因?yàn)橹本€和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),所以
解得-12.
解得λ>0且λ≠1.
11.設(shè)拋物線過定點(diǎn)A(-1
7、,0),且以直線x=1為準(zhǔn)線.
(1)求拋物線頂點(diǎn)的軌跡C的方程;
(2)若直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)M,N,且線段MN恰被直線x=-平分,設(shè)弦MN的垂直直平分線的方程為y=kx+m,試求m的取值范圍.
解析:(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為P(x,y),由拋物線的性質(zhì)可得其焦點(diǎn)F(2x-1,y),再根據(jù)拋物線的定義得|AF|=2,即(2x)2+y2=4,所以軌跡C的方程為x2+=1.
(2)設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P(-,y0),則由點(diǎn)M,N為橢圓上的點(diǎn),可知:
兩式相減,得
4(xM-xN)(xM+xN)+(yM-yN)(yM+yN)=0,
將xM+xN=2(-)=-1,yM+yN=2
8、y0,
=-代入上式得k=-.
又點(diǎn)P(-,y0)在弦MN的垂直平分線上,
所以y0=-k+m.
所以m=y(tǒng)0+k=y(tǒng)0.
由點(diǎn)P(-,y0)在線段BB′上 (B′、B為直線x=-與橢圓的交點(diǎn),如圖所示),
所以y′Bb>0)的離心率為,且曲線過點(diǎn)(1,).
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線x-y+m=0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)不在圓x2+y2=內(nèi),求m的取值范圍.
解析:(1)∵=,
∴==1-=,∴a2=2b2.①
曲線過(1,),則+=1,②
由①②解得則橢圓方程為+y2=1.
(2)聯(lián)立方程,
消去y整理得:3x2+4mx+2m2-2=0,
則Δ=16m2-12(2m2-2)=8(-m2+3)>0,
解得-