一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第2章 第8節(jié)　函數(shù)與方程 Word版含解析

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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料2019.5第八節(jié)第八節(jié)函數(shù)與方程函數(shù)與方程考綱傳真結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個數(shù)1函數(shù)的零點(1)定義：把函數(shù) yf(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標(biāo)稱為這個函數(shù)的零點(2)三個等價關(guān)系：方程 f(x)0 有實數(shù)解函數(shù) f(x)的圖像與 x 軸有公共點函數(shù) yf(x)有零點(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)：若函數(shù) yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線， 并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反， 即 f(a)f(b)0， 則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù) yf(x)至少有一個零點2二次函數(shù) yax2bxc(a0)的圖像與零

2、點的關(guān)系b24ac000二次函數(shù) yax2bxc (a0)的圖像與 x 軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)2101(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖像與 x 軸的交點()(2)函數(shù) yf(x)，xD 在區(qū)間(a，b)D 內(nèi)有零點(函數(shù)圖像連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)0.()(3)若函數(shù) f(x)在(a，b)上單調(diào)且 f(a)f(b)0，則函數(shù) f(x)在a，b上有且只有一個零點()(4)二次函數(shù) yax2bxc 在 b24ac0 時沒有零點()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)函數(shù) f(x)ex3x 的零

3、點個數(shù)是()A0B1C2D3Bf(1)1e30，f(0)10，f(x)在(1,0)內(nèi)有零點，又 f(x)為增函數(shù)，函數(shù) f(x)有且只有一個零點3(20 xx安徽高考)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是()Aycos xBysin xCyln xDyx21A由于 ysin x 是奇函數(shù)；yln x 是非奇非偶函數(shù)，yx21 是偶函數(shù)但沒有零點，只有 ycos x 是偶函數(shù)又有零點4(20 xx江西贛中南五校聯(lián)考)函數(shù) f(x)3xx2的零點所在區(qū)間是()【導(dǎo)學(xué)號：57962074】A(0,1)B(1,2)C(2，1)D(1,0)Df(2)359，f(1)23，f(0)1，f(1)2，f(2)

4、5，f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，f(2)f(1)0，f(1)f(0)0，故選 D.5函數(shù) f(x)ax12a 在區(qū)間(1,1)上存在一個零點，則實數(shù) a 的取值范圍是_【導(dǎo)學(xué)號：57962075】13，1函數(shù) f(x)的圖像為直線，由題意可得 f(1)f(1)0，(3a1)(1a)0，解得13a1，實數(shù) a 的取值范圍是13，1.函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷(1)設(shè) f(x)ln xx2，則函數(shù) f(x)的零點所在的區(qū)間為()【導(dǎo)學(xué)號：57962076】A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)(2)函數(shù) f(x)x23x18 在區(qū)間1,8上_(填“存在”或“不存在”)零點(1)B

5、(2)存在(1)函數(shù) f(x)的零點所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(x)ln x， h(x)x2 圖像交點的橫坐標(biāo)所在的取值范圍作圖如下：可知 f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)(2)法一：f(1)123118200，f(8)823818220，f(1)f(8)0，又 f(x)x23x18，x1,8的圖像是連續(xù)的，故 f(x)x23x18 在 x1,8上存在零點法二：令 f(x)0，得 x23x180，(x6)(x3)0.x61,8，x31,8，f(x)x23x18 在 x1,8上存在零點規(guī)律方法判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法：判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點，要根據(jù)具體題目靈活處理，當(dāng)能直接求出零

6、點時，就直接求出進行判斷；當(dāng)不能直接求出時，可根據(jù)零點存在性定理判斷；當(dāng)用零點存在性定理也無法判斷時，可畫出圖像判斷變式訓(xùn)練 1已知函數(shù) f(x)ln x12x2的零點為 x0，則 x0所在的區(qū)間是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)Cf(x)ln x12x2在(0，)上是增函數(shù)，又 f(1)ln 1121ln 120，f(2)ln 21200，f(3)ln 31210，x0(2,3)，故選 C.判斷函數(shù)零點的個數(shù)(1)函數(shù) f(x)2x|log0.5x|1 的零點個數(shù)為()【導(dǎo)學(xué)號：57962077】A1B2C3D4(2)(20 xx秦皇島模擬)函數(shù) f(x)ln xx22x

7、，x0，4x1，x0的零點個數(shù)是_(1)B(2)3(1)令 f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|12x.設(shè) g(x)|log0.5x|，h(x)12x，在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù) g(x)，h(x)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖像一定有 2 個交點，因此函數(shù) f(x)有 2 個零點(2)當(dāng) x0 時，作函數(shù) yln x 和 yx22x 的圖像，由圖知，當(dāng) x0 時，f(x)有 2 個零點；當(dāng) x0 時，由 f(x)0 得 x14，綜上，f(x)有 3 個零點規(guī)律方法判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：(1)解方程法：所對應(yīng)方程 f(x)0 有幾個不同的實數(shù)解就有幾個零點(2)零點存在性定

8、理法：利用零點存在性定理并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進行判斷(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題先畫出兩個函數(shù)的圖像，看其交點的個數(shù)，其中交點的個數(shù)，就是函數(shù)零點的個數(shù)變式訓(xùn)練 2(20 xx湖北高考)函數(shù) f(x)4cos2x2cos2x2sin x|ln(x1)|的零點個數(shù)為_2f(x)4cos2x2cos2x2sin x|ln(x1)|2(1cos x)sin x2sin x|ln(x1)|2sin xcos x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|.由 f(x)0，得 sin 2x|ln(x1)|.設(shè) y1sin 2x，y2|ln(x1)|，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出二者的圖

9、像，如圖所示由圖像知，兩個函數(shù)圖像有兩個交點，故函數(shù) f(x)有兩個零點函數(shù)零點的應(yīng)用(20 xx昆明模擬)已知定義在 R 上的偶函數(shù) f(x)滿足 f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上 f(x)x，若關(guān)于 x 的方程 f(x)logax 有三個不同的實根，求 a 的取值范圍思路點撥先作出函數(shù) f(x)的圖像， 根據(jù)方程有三個不同的根，確定應(yīng)滿足的條件解由 f(x4)f(x)知， 函數(shù)的周期為 4， 又函數(shù)為偶函數(shù)，所以 f(x4)f(x)f(4x)，3 分所以函數(shù)圖像關(guān)于 x2 對稱，且 f(2)f(6)f(10)2，要使方程 f(x)logax有三個不同的根，則滿足a1，f62，f102，

10、8 分如圖，即a1，loga62，loga102，解得 6a 10.故 a 的取值范圍是( 6， 10).12 分規(guī)律方法已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解變式訓(xùn)練 3(1)函數(shù) f(x)2x2xa 的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù) a的取值范圍是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)(2)(20 xx山東高考)已知函數(shù) f(x)|x|，xm，

11、x22mx4m，xm，其中 m0.若存在實數(shù) b，使得關(guān)于 x 的方程 f(x)b 有三個不同的根，則 m 的取值范圍是_.【導(dǎo)學(xué)號：57962078】(1)C(2)(3，)(1)函數(shù) f(x)2x2xa 在區(qū)間(1,2)上遞增，又函數(shù)f(x)2x2xa 的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有 f(1)f(2)0，(a)(41a)0，即 a(a3)0，0a3.(2)作出 f(x)的圖像如圖所示當(dāng) xm 時，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程 f(x)b 有三個不同的根，則有 4mm20.又 m0，解得 m3.思想與方法1轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)問題； 已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題2判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法(1)通過解方程來判斷(2)根據(jù)零點存在性定理，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來判斷(3)將函數(shù) yf(x)g(x)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù) yf(x)與 yg(x)圖像公共點的個數(shù)來判斷3利用函數(shù)零點求參數(shù)范圍的常用方法：直接法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法易錯與防范1函數(shù)的零點不是點，是方程 f(x)0 的實根2函數(shù)零點的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點， 而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件