一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第八章 第一節(jié)　空間幾何體的表面積和體積 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 一、填空題 1．已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，高為，則該圓錐的側(cè)面積是________． 解析：由圓錐的性質(zhì)知其底面圓的半徑為＝1，所以圓錐的側(cè)面積為S側(cè)＝πrl＝π12＝2π.也可以將圓錐側(cè)面展開成扇形來(lái)處理． 答案：2π 2．將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截出一個(gè)棱錐，棱錐的體積與剩下的幾何體的體積之比為________． 解析：設(shè)長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)引出的三條棱長(zhǎng)分別是a，b，c，則棱錐的體積V1＝ abc＝abc.長(zhǎng)方體的體積V＝abc，剩下的幾何體的體積為V2＝abc－abc

2、＝ abc. 所以V1∶V2＝1∶5. 答案：1∶5 3．如圖，已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________． 解析：由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為1，斜高為，連結(jié)頂點(diǎn)和底面中心即為高，可求高為， 所以體積為V＝11＝. 答案： 4.如圖所示，扇形的圓心角為90，其所在圓的半徑為R，弦AB將扇形分成兩個(gè)部分，這兩個(gè)部分各以AO為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積V1和V2之比為________． 解析：Rt△AOB繞OA旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為圓錐， 其體積V1＝R3，扇形繞OA旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何

3、體為半球，其體積V＝R3， ∴V2＝V－V1＝R3－R3＝R3. ∴V1∶V2＝1∶1. 答案：1∶1 5.如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝10，AD＝5，AA1＝4.分別過(guò)BC、A1D1的兩個(gè)平行截面將長(zhǎng)方體分成三部分，其體積分別記為 V1＝VAEA1DFD1， V2＝VEBE1A1FCF1D1， V3＝VB1E1BC1F1C. 若V1∶V2∶V3＝1∶3∶1，則截面A1EFD1的面積為________． 解析：V1∶V2∶V3＝(S△A1AEh)∶(S四邊形A1EBE1h)∶(S△E1B1Bh) ＝(AEAA1h)∶(A1E1AA1h)∶(E1B1AA1

4、h) ＝AE∶2A1E1∶E1B1 ＝1∶3∶1. 設(shè)AE＝x，則E1B1＝x,2A1E1＝3x，A1E1＝x， ∴x＋x＝10，x＝4. ∴AE＝4. ∴A1E＝4. 又∵EF＝AD＝5，∴S截面A1EFD1＝A1EEF＝20. 答案：20 6．四面體ABCD中，共頂點(diǎn)A的三條棱兩兩相互垂直，且其長(zhǎng)分別為1，，3，若四面體的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為________． 解析：(2R)2＝1＋6＋9＝16，R＝2. S球＝4πR2＝16π. 答案：16π 7．如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝C

5、C1＝.P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP＋PA1的最小值是________． 解析：將△BCC1沿線BC1折到面A1C1B上，如圖所示． 連結(jié)A1C即為CP＋PA1的最小值， 過(guò)點(diǎn)C作CD⊥C1D于D，△BCC1為等腰直角三角形，∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7. ∴A1C＝＝＝5. 答案：5 8.如圖所示，在正三棱錐SABC中，M、N分別是SC、BC的中點(diǎn)，且MN⊥AM，若側(cè)棱SA＝2，則正三棱錐SABC外接球的表面積是________． 解析：在正三棱錐SABC中，易證SB⊥AC，又MN綊BS， ∴MN⊥AC， ∵M(jìn)N⊥AM，∴MN⊥平面ACM， ∴MN⊥

6、SC，∴∠CSB＝∠CMN＝90， 即側(cè)面為直角三角形，底面邊長(zhǎng)為2.此棱錐的高為2，設(shè)外接球半徑為R，則(2－R)2＋(2)2＝R2， ∴R＝3，∴外接球的表面積是36π. 答案：36π 9．如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)，若截面△BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為________． 解析：由題意，設(shè)AB＝a，AA1＝b，再由BDDC1＝6可得a2＋＝12.又由BC2＋CC＝BC，得a2＋b2＝24，可得a＝2，b＝4，∴V＝(2)24＝8. 答案：8 二、解答題 10．有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為3a、4a、

7、5a(a>0)．用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，求a的取值范圍． 解析：通過(guò)補(bǔ)形，四棱柱的全面積最小為14a＋24a2＝24a2＋28，補(bǔ)成三棱柱后全面積為12a2＋48， 則24a2＋28－12a2－48<0， 所以－0，所以0

8、BD＝＝2. ∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD. 又∵平面EBD⊥平面ABD， 平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD， ∴AB⊥平面EBD.∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE. (2)由(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB， ∴CD⊥BD，從而DE⊥BD. 在Rt△DBE中，∵DB＝2，DE＝DC＝AB＝2， ∴S△DBE＝DBDE＝2. 又∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，∴AB⊥BE. ∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝ABBE＝4. ∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD. 而AD?平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE＝ADD

9、E＝4.綜上，三棱錐EABD的側(cè)面積S＝8＋2. 12．已知正四面體ABCD(圖1)，沿AB、AC、AD剪開，展開的平面圖形正好是(圖2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的頂點(diǎn)A1、A2、A3重合于四面體的頂點(diǎn)A)． (1)證明：AB⊥CD； (2)當(dāng)A1D＝10，A1A2＝8時(shí)，求四面體ABCD的體積． 　　　圖1　　　　　　　　　圖2 解析：(1)證明：在四面體ABCD中， ∵?AB⊥平面ACD?AB⊥CD. (2)在圖2中作DE⊥A2A3于E. ∵A1A2＝8， ∴DE＝8. 又∵A1D＝A3D＝10， ∴EA3＝6，A2A3＝10＋6＝16. 又A2C＝A3C， ∴A2C＝8. 即圖1中AC＝8，AD＝10， 由A1A2＝8，A1B＝A2B得圖1中AB＝4. ∴S△ACD＝S△A3CD＝DEA3C ＝88＝32， 又∵AB⊥平面ACD， ∴VBACD＝324＝.