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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
不等式恒成立問題的處理方法
1、轉(zhuǎn)換為求函數(shù)的最值
恒成立的最大值；
恒成立的最小值。
例1、已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)。
（1）試確定的值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。
解：（1）（2）略（3）由（2）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值。要使恒成立，只需，即，
從而，解得或，的取值范圍為。
例2、已知對任意恒成立，試求實數(shù)的取值范圍。
解：等價于對任意恒成立，又等價于時，的最小值成立。
由于在上為
2、增函數(shù)，則，所以。
例3、函數(shù)在上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，且當(dāng)時，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍。
解：由得到：因為為奇函數(shù)，故有恒成立，
又因為為減函數(shù)，從而有對恒成立；
設(shè)，則對于恒成立，函數(shù)，對稱軸為。
①當(dāng)時，，即，又∴
②當(dāng)，即時，，即，
∴，又，∴
③當(dāng)時，恒成立。∴
故由①②③可知：。
2、主參換位
例4、若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。
例5、若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。
解：
例6、已知函數(shù)，其中為實數(shù)。若不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍。
解：由題設(shè)知，對任意，不等式都成立，
即，都成立。
設(shè)（），則是一個
3、以為自變量的一次函數(shù)。
恒成立，則，為上的單調(diào)遞增函數(shù)。
所以對任意，恒成立的充分必要條件是，，
，于是的取值范圍是。
3、分離參數(shù)
（1）將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；
（2）求在上的最大（或最?。┲担?
（3）解不等式（或），得的取值范圍。
適用題型：參數(shù)與變量能分離；函數(shù)的最值易求出。
例7、當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 。
解：當(dāng)時，由得。
令，則易知在上是減函數(shù)，
所以時，則∴。
例8、已知函數(shù)，其中。
（1）當(dāng)滿足什么條件時，取得極值；
（2）已知，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，試用表示出的取值范圍。
解：（
4、1）
（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增在上恒成立
恒成立，；
設(shè)，，令得或（舍），
當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)時，單調(diào)減函數(shù)，，；
當(dāng)時，，此時在區(qū)間恒成立，所以在區(qū)間
上單調(diào)遞增，，。
綜上，當(dāng)時， ；當(dāng)時，。
4、數(shù)形結(jié)合
例9、若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 。
解：，不等式恒成立，則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖象知，即。
例10、當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。
例11、已知關(guān)于的函數(shù)，
其中，若當(dāng)在區(qū)間內(nèi)任意取值時，的值恒為正，求實數(shù)的取值范圍。
解：，令，則，
則有，于是問題轉(zhuǎn)化為：
當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。
因為是關(guān)于的一次函數(shù)，則當(dāng)時，恒成立的充要條件是，解得。
所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，。
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