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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
難點二
立體幾何中的探索性與存在性問題
(對應學生用書第65頁)
數(shù)學科考試大綱指出，通過考試，讓學生提高多種能力，其中空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力．要在立體幾何學習中形成．立體幾何中的探索性與存在性問題實質(zhì)是對線面平行與垂直性質(zhì)定理的考查．
探究性與存在性問題常常是條件不完備的情況下探討某些結論能否成立，立體幾何中的探究性與存在性問題既能夠考查學生的空間想象能力，又可以考查學生的意志力及探究的能力．
1．對命題條件的探索
探索條件，即探索能使結論成立的條
2、件是什么．對命題條件的探索常采用以下三種方法：
(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再給出證明；
(2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性；
(3)把幾何問題轉化為代數(shù)問題，探索出命題成立的條件．
【例1】 如圖1，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90，BC＝CD＝AD，E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90.
在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由.
【導學號：56394092】
圖1
[解] 在梯形ABCD中，AB與CD不平行．如圖，延長AB，DC，相交于點M(M∈平面PAB)，點
3、M即為所求的一個點．
理由如下：
由已知，知BC∥ED，且BC＝ED，
所以四邊形BCDE是平行四邊形，
從而CM∥EB.
又EB?平面PBE，CM?平面PBE，
所以CM∥平面PBE.
(說明：延長AP至點N，使得AP＝PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點)
[思路分析] 證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法(若兩條平行線中的一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面．解題時，注意線線、線面與面面關系的相互轉化；(2)證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)定理，三是利用面面平行的性質(zhì)；
4、(3)證明兩個平面垂直，首先考慮直線與平面垂直，也可以簡單記為“證面面垂直，找線面垂直”，是化歸思想的體現(xiàn)，這種思想方法與空間中的平行關系的證明類似，掌握化歸與轉化思想方法是解決這類題的關鍵．
[點評] 這類探索性題型通常是找命題成立的一個充分條件，所以解這類題采用下列二種方法：(1)通過各種探索嘗試給出條件；(2)找出命題成立的必要條件，也證明充分性．
2．對命題結論的探索
探索結論，即在給定的條件下命題的結論是什么．對命題結論的探索，常從條件出發(fā)，探索出要求的結論是什么，另外還有探索的結論是否存在．求解時，常假設結論存在，再尋找與條件相容還是矛盾的結論．
【例2】 如圖2，在四棱錐
5、P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
圖2
(1)求證：DC⊥平面PAC；
(2)求證：平面PAB⊥平面PAC；
(3)設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由．
[解] (1)證明：因為PC⊥平面ABCD，
所以PC⊥DC.
又因為DC⊥AC，且PC∩AC＝C，
所以DC⊥平面PAC.
(2)證明：因為AB∥DC，DC⊥AC，
所以AB⊥AC.
因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.
又因為PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.
又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)棱PB上存在點F，使得PA∥平面CEF.
理由如下：取PB的中點F，連接EF，CE，CF.
又因為E為AB的中點，所以EF∥PA.
又因為PA?平面CEF，且EF?平面CEF，
所以PA∥平面CEF.
[點評] 對于立體幾何的探索性與存在性問題一般都是條件開放性的探究問題，采用的方法一般是執(zhí)果索因的方法，假設求解的結果存在，尋找使這個結論成立的充分條件，運用方程的思想或向量的方法轉化為代數(shù)的問題解決．如果找到了符合題目結果要求的條件，則存在；如果找不到符合題目結果要求的條件，或出現(xiàn)了矛盾，則不存在．
江蘇高考數(shù)學二輪復習教師用書：第2部分 八大難點突破 難點2 立體幾何中的探索性與存在性問題 Word版含答案
