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人教版高中數(shù)學必修精品教學資料
高中數(shù)學 1.1.1正弦定理練習 新人教A版必修5
?基礎(chǔ)梳理
1．三角形分類：按三個角的特點分為______________________________．按邊長特點分為__________________________________．
2．正弦定理：在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即________________________________________________________________________．
在△ABC中,已知A＝30,B＝45,a＝,則b＝__________．
3．解三角形是指求出三
2、角形中未知的所有________________．
4．(1)三角形三個內(nèi)角和為________．
(2)在△ABC中,已知A＝30,B＝45,則C＝______．
5．已知a∶b∶c＝2∶3∶4,則(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝________．
6．(1)三角形中任意兩邊和______第三邊．
(2)三角形ABC中,三邊長度分別為3、4、x,則x的范圍是__________．
7．在△ABC 中,已知A＝60,sin B＝,則角B的大小為______．
8．在△ABC中,已知A＝30,sin B＝,則角B的大小為__________．
9．利用正弦定理可以解決如下兩類
3、解三角形的問題：
(1)已知三角形任意兩個角與一邊,求其他元素．
(2)已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角,求其他元素．
10．在Rt△ABC中的有關(guān)定理．
在Rt△ABC中,C＝90,則有：
(1)A＋B＝________,0＜A＜90,0＜B＜90；
(2)a2＋b2＝________(勾股定理)．
基礎(chǔ)梳理
1．銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形 等腰三角形、等邊三角形、非等腰三角形
2.＝＝ 2
3．角的大小和邊的長度
4．(1)180
(2)解析：因為A＋B＋C＝180,所以
C＝180－30－45＝105.
答案：105
5．解析：設(shè)a＝2k,因為
4、a∶b∶c＝2∶3∶4,所以a＝2k,b＝3k,c＝4k,所以(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5k∶7k∶6k＝5∶7∶6.
答案：5∶7∶6
6．(1)大于
(2)解析：由3＋4＞x,4＋x＞3,x＋3＞4,可知1＜x＜7.
答案：1
5、在△ABC中,一定成立的等式是( )
A．a(chǎn)sin A＝bsin B B．a(chǎn)cos A＝bcos B
C．a(chǎn)sin B＝bsin A D．a(chǎn)cos B＝bcos A
3．(2014廣東卷)在△ABC中,角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c,已知bcos C＋ccos B＝2b,則＝________．
1．解析：設(shè)正弦定理＝＝＝k,又sin A＝sin C,即＝,∴a＝c.故選B.
答案：B
2．C
3．解析：∵bcos C＋ccos B＝2b,由邊角互化得sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B,即sin(B＋C)＝2sin B,即sin A＝2sin B
6、,∴a＝2b,即＝2.
答案：2
?基礎(chǔ)達標
1．在△ABC中,a＝5,b＝3,C＝120,則sin A∶sin B的值是( )
A. B. C. D.
A
2.在△ABC中,若∠A＝60,∠B＝45,BC＝3,則AC＝( )
A．4 B．2 C. D.
解析：利用正弦定理解三角形．
在△ABC中,＝,
∴AC＝＝＝2.
答案：B
3．在△ABC中,若A∶B∶C＝1∶2∶3,則a∶b∶c＝( )
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．1∶∶2 D．2∶∶1
解析：設(shè)A＝k,B＝2k,C＝3k,由A＋B
7、＋C＝180,
得6k＝180,k＝30,∴A＝30,B＝60 ,C＝90,
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2.
答案：C
4．(2013湖南卷)在銳角△ABC中,角A,B所對的邊長分別為a,b.若2asin B＝b,則角A等于( )
A. B. C. D.
解析：∵＝,∴sin A＝,∵△ABC是銳角三角形,∴A＝.
答案：D
5．銳角三角形的內(nèi)角分別是A、B、C,并且A＞B.下面三個不等式成立的是________(填序號)．
①sin A＞sin B；
②cos A＜cos B；
③sin A＋sin B＞cos A＋cos B.
①
8、②③
?鞏固提高
6．在△ABC中,如果B＝31,a＝20,b＝10,則此三角形( )
A．有兩解 B．有一解
C．無解 D．有無窮多解
解析：∵asin B＞b,∴無解．
答案：C
7．在△ABC中,若a＝3,b＝,∠A＝,則∠C的大小為________．
．解析：利用正弦定理及三角形內(nèi)角和性質(zhì)求解．
在△ABC中,由正弦定理可知＝,
即sin B＝＝＝.
又∵a>b,∴∠B＝.
∴∠C＝π－∠A－∠B＝.
答案：
8．在△ABC中,若B＝30,AB＝2,AC＝2,則AB邊上的高是________．
解析：由正弦定理,＝,
∴sin C＝＝＝,
∴
9、C＝60或120,
①當C＝60時,A＝90,AB邊上的高為2；
②當C＝120時,A＝30,AB邊上的高為2sin 30＝1.
答案：1或2
9．已知：在△ABC中,A＝45,c＝,a＝2,解此三角形．
解析：＝?sin C＝＝＝,
當C＝60時,B＝75,∴b＝＝＋1.
當C＝120時,B＝15,∴b＝＝－1.
10．在△ABC中,若acos A＝bcos B,試判斷△ABC的形狀．
解析：由正弦定理得,a＝2Rsin A,b＝2Rsin B,由acos A＝bcos B得,sin Acos A＝sin Bcos B,
即sin 2A＝sin 2B,
∵2A、2B∈(0,2π),∴2A＝2B或2A＋2B＝π.
即A＝B或A＋B＝,
∴△ABC為等腰或直角三角形．
1．正弦定理可建立邊角關(guān)系,角的正弦值越大所對的邊就越長．
2．由正弦值得出角的大小時特別要注意的是一個解還是兩個解．一般地,已知a,b,A解三角形時,只有當A為銳角且bsin A＜a＜b時,有兩解；其他情況時則只有一解或無解．
3．特別強調(diào)：把a＝2Rsin A,b＝2Rsin B代入已知等式,可將邊角關(guān)系全部轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系．
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