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高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
第十一篇 第3節(jié)
一、選擇題
1.推理“①矩形是平行四邊形;②三角形不是平行四邊形;③三角形不是矩形”中的小前提是( )
A.① B.②
C.③ D.①和②
解析:由演繹推理三段論可知,①是大前提;②是小前提;③是結論.故選B.
答案:B
2.(20xx河南焦作二模)給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集,R為實數(shù)集,C為復數(shù)集):
①“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類比推出“若a,b∈C,則a-b=0?a=b”;
②“若a,b,c
2、,d∈R,則復數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“若a,b,c,d∈Q,則a+b=c+d?a=c,b=d”;
③若“a,b∈R,則a-b>0?a>b”類比推出“若a,b∈C,則a-b>0?a>b”.其中類比結論正確的個數(shù)是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:①②正確,③錯誤,因為兩個復數(shù)如果不是實數(shù),不能比較大小.故選C.
答案:C
3.(20xx上海閘北二模)平面內(nèi)有n條直線,最多可將平面分成f(n)個區(qū)域,則f(n)的表達式為( )
A.n+1 B.2n
C. D.n2+n+1
解析:1條直線將平面分成1+1個區(qū)域;2條直線最多可將平面分
3、成1+(1+2)=4個區(qū)域;3條直線最多可將平面分成1+(1+2+3)=7個區(qū)域;……;n條直線最多可將平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=個區(qū)域,選C.
答案:C
4.定義A*B,B*C,C*D,D*A的運算分別對應圖中的(1)(2)(3)(4),那么如圖中(a),(b)所對應的運算結果可能是( )
A.B*D,A*D B.B*D,A*C
C.B*C,A*D D.C*D,A*D
解析:觀察圖形及對應運算分析可知,
基本元素為A→|,B→□,C→—,D→,
從而可知圖(a)對應B*D,圖(b)對應A*C.故選B.
答案:B
5.已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一
4、列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,則第60個數(shù)對是( )
A.(7,5) B.(5,7)
C.(2,10) D.(10,1)
解析:依題意,由和相同的整數(shù)對分為一組不難得知,
第n組整數(shù)對的和為n+1,且有n個整數(shù)對.
這樣前n組一共有個整數(shù)對.
注意到<60<.
因此第60個整數(shù)對處于第11組的第5個位置,可得為(5,7).故選B.
答案:B
6.對于a、b∈(0,+∞),a+b≥2(大前提),x+≥2(小前提),所以x+≥2(結論).以上推理過程中的錯誤為( )
A.小
5、前提 B.大前提
C.結論 D.無錯誤
解析:大前提是a,b∈(0,+∞),a+b≥2,要求a、b都是正數(shù);x+≥2是小前提,沒寫出x的取值范圍,因此本題中的小前提有錯誤.故選A.
答案:A
二、填空題
7.(20xx山東實驗中學一模)以下是對命題“若兩個正實數(shù)a1,a2滿足a+a=1,則a1+a2≤”的證明過程:
證明:構造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因為對一切實數(shù)x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,從而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤.
根據(jù)上述證明方法,若n個正實數(shù)滿足a+a+…+a=1時,你能得到的結論為_
6、_______.(不必證明)
解析:由題意可構造函數(shù)
f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2
=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1,
因?qū)σ磺袑崝?shù)x,恒有f(x)≥0,
所以Δ=4(a1+a2+…+an)2-4n≤0,
即a1+a2+…+an≤.
答案:a1+a2+…+an≤
8.(20xx山東萊蕪模擬)容易計算25=10,2255=1210,222555=123210,22225555=12343210.根據(jù)此規(guī)律猜想22…255…5所得結果由左向右的第八位至第十位的三個數(shù)字依次為________.
解析:由25,2255,222555的結果可知
7、22…255…5的結果共18位,個位為0,其他數(shù)位從左向右為連續(xù)的自然數(shù)且左右對稱,即22…255…5=123456789876543210,所得結果由左向右的第八位至第十位的三個數(shù)字依次為898.
答案:898
9.(20xx江西師大附中模擬)若數(shù)軸上不同的兩點A,B分別與實數(shù)x1,x2對應,則線段AB的中點M與實數(shù)對應,由此結論類比到平面得,若平面上不共線的三點A,B,C分別與二元實數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)對應,則△ABC的重心G與________對應.
解析:由類比推理得,若平面上不共線的三點A,B,C分別與二元實數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),(x3
8、,y3)對應,則△ABC的重心G與對應.
答案:
10.觀察下列幾個三角恒等式
①tan 10tan 20+tan 20tan 60+tan 60tan 10=1;
②tan 5tan 100+tan 100tan(-15)+tan(-15)tan 5=1;
③tan 13tan 35+tan 35tan 42+tan 42tan 13=1.
一般地,若tan α,tan β,tan γ都有意義,你從這三個恒等式中猜想得到的一個結論為________________________________________________________________________.
9、解析:所給三角恒等式都為tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1的結構形式,
且α、β、γ之間滿足α+β+γ=90,
所以可猜想當α+β+γ=90時,
tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1.
答案:當α+β+γ=90時,tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1
三、解答題
11.在銳角三角形ABC中,求證:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.
證明:∵△ABC為銳角三角形,
∴A+B>,
∴A>-B,
∵y=sin x在上是增函數(shù),
∴sin A
10、>sin=cos B,
同理可得sin B>cos C,sin C>cos A,
∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.
12.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案,這些圖案都是由小正方形構成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設第n個圖形包含f(n)個小正方形.
(1)求出f(5)的值;
(2)利用合情推理的“歸納推理思想”,歸納出f(n+1)與f(n)之間的關系式,并根據(jù)你得到的關系式求出f(n)的表達式;
(3)求+++…+的值.
解:(1)f(5)=41.
(2)因為f(2)-f(1)=4=41,
f(3)-f(2)=8=42,
f(4)-f(3)=12=43,
f(5)-f(4)=16=44,
…
由上式規(guī)律,得出f(n+1)-f(n)=4n.
因為f(n+1)-f(n)=4n,
所以f(n)=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=2n2-2n+1(n≥2),
又n=1滿足上式,
所以f(n)=2n2-2n+1.
(3)當n≥2時,
==,
∴+++…+
=1+
=1+=-.