高考復習方案大二輪全國新課標數(shù)學文科高考備考方法策略:專題篇數(shù)列 1數(shù)列求和的七種基本方法 Word版含答案

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1、高考數(shù)學精品復習資料2019.5數(shù)列求和的七種基本方法數(shù)列求和的七種基本方法數(shù)列求和是數(shù)列問題中的基本題型,但具有復雜多變、綜合性強、解法靈活等特點,本文將通過題目(這些題目基本涵蓋了高考卷中的數(shù)列求和題)簡單介紹數(shù)列求和的七種基本方法1運用公式法運用公式法很多數(shù)列的前n項和nS的求法,就是套等差、等比數(shù)列前 n 項和nS的公式,因此以下常用公式應當熟記:221231123(1)21 35(21)12222111111122222nnnnnn nnn 還要記住一些正整數(shù)的冪和公式:2233332222) 1(41321) 12)(1(61321nnnnnnn題題 1(高考全國卷 I 文科第 1

2、7 題)已知 na是公差為 3 的等差數(shù)列,數(shù)列 nb滿足12111=3n nnnbba bbnb1,(1)求 na的通項公式;(2)求 nb的前 n 項和解解(1)在11nnnna bbnb中選1n ,得1 221a bbb,即11111,233aa又因為 na是公差為 3 的等差數(shù)列,所以23(1)31nann(2)由(1)得1131nnnnbbnb,即113nnbb,得 nb是以 1 為首項,13為公比的等比數(shù)列,得113nnb .所以 nb的前n項和111313122 313nnnS2倒序相加法倒序相加法事實上,等差數(shù)列的前n項和nS的公式推導方法就是倒序相加法題題 2求正整數(shù)m與()

3、n mn之間的分母為 3 的所有既約分數(shù)的和S解解顯然,這些既約分數(shù)為:31,32,34,34,32,31nnnmmm有)31()32()34()34()32()31(nnnmmmS也有)31()32()34()34()32()31(mmmnnnS所以2222),(2)(2)(2mnSmnmnnmS題題 3 3求數(shù)列123n 的前 n 項和nS.解法解法 1因為211123(1)()22nn nnn ,所以22221(123)(123)2nSnn 1 111(1)(21)(1)(1)(2)2 626n nnn nn nn解法解法 2因為2331211123(1)CCC(2)2nnnnn nn

4、所以33333333343542121C(CC )(CC )(CC)C(1)(2)(2)6nnnnSn nnn進而可得1(1)(2)(6nSn nnnN*).解法解法 3(倒序相加法)可得1 (12)(123)(123)nSn 1 (2 1)(32 1)(1)(2)1nSnnn 1212(1)(1) (2)(2)(2)(1 1 11)nnnSnnnnnn 個個()3個()把它們相加,得31(2)2(2)3(2)(2)nSnnnn n1(123)(2)(1)(2)2n nn nn 1(1)(2)6nSn nn3裂項相消法裂項相消法題題 4(高考天津卷理科第 18 題)已知 na是各項均為正數(shù)的等

5、差數(shù)列,公差為d.對任意的*nN,nb是na和1na的等比中項.(1)設(shè)22*1,nnncbb nN,求證:數(shù)列 nc是等差數(shù)列;(2)設(shè)1ad,2211nknkkTb,*nN,求證:21112nkkTd.解解(1)可得21nnnba a,所以221nnncbb121nnnnaaa a12nda212122nnnnccd aad所以數(shù)列 nc是等差數(shù)列.(2)可得1(1)(1)naanddndnd,還可得式在這里也成立,所以 2222221234212nnnTbbbbbb 2422nd aaa222(2462 )21dnd n n所以222211111111111112121212nnnkkk

6、kTdk kdkkdnd4分組求和法分組求和法題題 5求11111111111224242nnS 解解設(shè)11111242nna ,得1122nna所以本題即求數(shù)列1122n的前n項和:111111212222422nnnnSnnan題題 6 6(高考天津卷文科第 18 題)已知an是等比數(shù)列, 前 n 項和為 Sn(nN*), 且1a11a22a3,S663.(1)求an的通項公式;(2)若對任意的 nN*,bn是 log2an和 log2an1的等差中項,求數(shù)列(1)nb2n的前 2n 項和解解(1)設(shè)等比數(shù)列 na的公比為q,可得2111112aa qa q,解得2q 或1.又由61(1)

7、631naqSq知,1q ,所以61(1 2 )631 2a,解得11a .得數(shù)列an的通項公式是12nna.(2)由題意,可得21)2log2(log21)log(log21212122naabnnnnn所以數(shù)列) 1(2nnb的前n項和為22221234()()bbbb 222122121222 ()()22nnnnn bbbbbbbn題題 7(高考浙江卷文科第 17 題)設(shè)數(shù)列 na的前n項和為nS.已知24S ,121nnaS,*nN.(1)求通項公式na;(2)求數(shù)列2nan的前n項和.解解(1)可得21221421Saaaa,解得1213aa.由121nnaS,121nnaS2n,

8、可得 1121212nnnnnaaSSa,13nnaa2n.又因為213aa,所以可得數(shù)列 na的通項公式為13nna.(2)得 bn|ann2|=|3n1n2|,所以 b12,b21.當 n3 時,由于 3n1n2,所以 bn3n1n2(n3).設(shè)數(shù)列bn的前 n 項和為 Tn,得 T12,T23.當 n3 時,可得Tn39(13n2)13(n7) (n2)23nn25n112進而可得 Tn2,n1,3nn25n112,n2,nN*.題題 8(高考四川卷文科第 19 題)已知數(shù)列 na的首項為1,nS為數(shù)列 na的前n項和,11nnSqS,其中0q ,*nN.(1)若2a,3a,23+aa成

9、等差數(shù)列,求數(shù)列 na的通項公式;(2)設(shè)雙曲線2221nyxa的離心率為ne,且22e ,求22212neee.解解(1)由 Sn1qSn1,Sn2qSn11(nN*),兩式相減得 an2qan1(nN*).又由 S2qS11,11a ,可得 a2qa1,所以 an+1qan(nN*).得數(shù)列an是首項為 1,公比為 q 的等比數(shù)列,所以 anqn1.再由 a2,a3,a2a3成等差數(shù)列,可得 2a3a2a2a3即 a32a2,得 q2.所以數(shù)列an的通項公式是 an2n1(2) 在 (1) 的 解 答 中 已 得 an qn1, 所 以 雙 曲 線 x2y2a2n 1 的 離 心 率22(

10、1)11nnneaq-=+=+由 e2 1q22,解得 q 3,所以e21e22e2n(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)nq2n1q21n12(3n1)5錯位相減法錯位相減法題題 9(高考山東卷理科第 18 題即文科第 19 題)已知數(shù)列 na的前n項和238nSnn, nb是等差數(shù)列,且1.nnnabb(1)求數(shù)列 nb的通項公式;(2)令1(1).(2)nnnnnacb求數(shù)列nC的前n項和nT.解解(1)由題意知,當 n2 時,anSnSn16n5.又因為 a1S111,所以 an6n5(nN*).設(shè)等差數(shù)列bn的公差為 d.可得a1b1b2,a2b2b3,即112b1d

11、172b13d,解得b14,d3,所以 bn3n1.(2)由(1)的解答,可得 cn(6n6)n1(3n3)n3(n1)2n1.又由 Tnc1c2cn,得Tn3222323(n1)2n12Tn3223324(n1)2n2把它們相減,得Tn322223242n1(n1)2n2344(12n)12(n1)2n2 3n2n2所以 Tn3n2n2.6待定系數(shù)法待定系數(shù)法題題 10數(shù)列3) 12(nn的前n項和nS解解設(shè)等差數(shù)列ma的公差為d,等比數(shù)列mb的公比為(1)q q ,得111(1) (1,2, )mmmabamdbqmn先用錯位相減法求數(shù)列mmab的前n項和nS:21111112111111

12、211112111111()(2 )(1) ()(2) (1) (1)(1) ()(1) (1nnnnnnnnnnnSb aad qad qand qqSba qad qand qand qq Sb adqdqdqand qbddqdqdqand qadddqbanq11) nd qad111111nnqddSdnadqadbqq所以有下面的結(jié)論成立:若,mmab分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列(其公比1q),且11,a b均是與n無關(guān)的常數(shù),則數(shù)列mmab的前n項和bqbanSnn)(,其中, a b是與n無關(guān)的常數(shù)由此結(jié)論就可以用待定系數(shù)法快速求解本題:可設(shè)() 3nnSanbb(其中, a b是

13、常數(shù))可 得123,32730SS, 所 以3()39(2)30abbabb, 解 得33ab , 所 以33) 1(1nnnS題題 11求和1221 2 +2 2+3 2+(1) 2 +2nnnnSnn 解解得012111111+2+3+22222nnnSn用待定系數(shù)法可求出該等式的右邊為1242nn,所以2224nnSn七、求導法、積分法七、求導法、積分法題題 12(1)求證:) 1(111132xxxxxxxnn;(2)求證:) 1() 1(1 1) 1(321212xxxnxnxxxnn;(3)求數(shù)列(21) 3nn的前n項和nS解解(1)當0 x時,顯然成立當0 x時,由等比數(shù)列的前

14、n項和公式知,欲證結(jié)論也成立(2)視(1)的結(jié)論為兩個函數(shù)相等,兩邊求導后即得欲證成立(3)1(21) 3 =6(3)3nnnnn在(2)的結(jié)論中令3x,得數(shù)列13nn的前n項和為413) 12(nn;又因為數(shù)列 3n的前n項和為2331n所以數(shù)列(21) 3nn的前n項和為33) 1(233413) 12(611nnnnnnS題題 13(高考江蘇卷第 23 題)請先閱讀:在等式xxx( 1cos22cos2R)的兩邊對 x 求導,得) 1cos2()2(cos2xx由求導法則,得)sin(cos42)2sin(xxx,化簡后得等式xxxcossin22sin(1)利用上題的想法(或其他方法),試由等式xxCxCxCCxnnnnnnn()1 (2210R,整數(shù))2n證明:nkkknnxkCxn211 1)1(2)對于整數(shù)3n,求證:(i)0) 1(1nkknkkC;(ii)0) 1(12nkknkCk;(iii)1121110nCknnkkn答案:(1)在已知等式兩邊對x求導后移項可得欲證(2) (i)在結(jié)論(1)中令1x可證(ii)由已知等式兩邊對x求導后再求導,又令1x,得0) 1() 1(22nkkknCkk,即0)() 1(12nkknkCkk,再由結(jié)論(i)得結(jié)論(ii)成立(iii)在已知等式兩邊在0,1上對x積分后可得欲證

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