高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)夯基提能作業(yè)本：第十章 計數(shù)原理 第八節(jié)　離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第八節(jié)　離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布 A組　基礎(chǔ)題組 1.若離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 P a2 a22 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=(　　)　 A.2 B.2或12 C.12 D.1 2.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,σ2),且P(X<5)=0.8,則P(1

2、32-10 D.2-8 4.(20xx河北衡水二調(diào))在某次數(shù)學(xué)測試中,學(xué)生成績ξ服從正態(tài)分布N(100,σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)內(nèi)的概率為0.8,則ξ在(0,80)內(nèi)的概率為(　　) A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2 5.(20xx四川,12,5分)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時,就說這次試驗成功,則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是　　　　. 6.某校在一次月考中約有600人參加考試,數(shù)學(xué)考試的成績ξ~N(90,a2)(a>0,試卷滿分為150分),統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的35,則此次月考中

3、數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生約有　　　　人. 7.某超市為了響應(yīng)環(huán)保要求,鼓勵顧客自帶購物袋到超市購物,采取了如下措施:對不使用超市塑料購物袋的顧客,超市給予9.6折優(yōu)惠;對需要超市塑料購物袋的顧客,既要付購買費,也不享受折扣優(yōu)惠.假設(shè)該超市在某個時段內(nèi)購物的人數(shù)為36人,其中有12位顧客自己帶了購物袋,現(xiàn)從這36人中隨機抽取兩人. (1)求這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率; (2)設(shè)這兩人中享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和均值. 8.(20xx河南鄭州質(zhì)量預(yù)測)某中學(xué)根據(jù)2003—間學(xué)生的興趣愛好,分別創(chuàng)建了“攝影”“棋類”“國學(xué)”三個社團,據(jù)資

4、料統(tǒng)計,新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立.某新生入學(xué),假設(shè)他通過考核選拔進入該校的“攝影”“棋類”“國學(xué)”三個社團的概率依次為m,13,n,已知三個社團他都能進入的概率為124,至少能進入一個社團的概率為34,且m>n. (1)求m與n的值; (2)該校根據(jù)三個社團活動安排情況,對進入“攝影”社團的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分,對進入“棋類”社團的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分,對進入“國學(xué)”社團的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分.求該新同學(xué)在社團方面獲得校本選修課學(xué)分分數(shù)的分布列及期望. B組　提升題組 9.(20xx廣西桂林三市調(diào)研)某市教育部門規(guī)定,高中學(xué)生三年在

5、校期間必須參加不少于80小時的社區(qū)服務(wù).教育部門在全市隨機抽取200位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù),按時間段75,80),80,85),85,90),90,95),95,100](單位:小時)進行統(tǒng)計,其頻率分布直方圖如圖所示. (1)求抽取的200位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學(xué)生人數(shù),并估計從全市高中學(xué)生中任意選取一人,其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的概率; (2)從全市高中學(xué)生(人數(shù)很多)中任意選取3位學(xué)生,記X為3位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的人數(shù).試求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X). 10.為回饋顧客,某商場

6、擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵,規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額. (1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元,其余3個均為10元,求: (i)顧客所獲的獎勵額為60元的概率; (ii)顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望; (2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元,并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡,請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計,并說明理由.

7、  答案全解全析 A組　基礎(chǔ)題組 1.C　因為分布列中概率和為1,所以a2+a22=1,即a2+a-2=0,解得a=-2(舍去)或a=1,所以E(X)=12.故選C. 2.C　由正態(tài)曲線的對稱性可知,P(X<3)=P(X>3)=0.5,故P(X>1)=P(X<5)=0.8,所以P(X≤1)=1-P(X>1)=0.2,P(1

8、80<ξ<100)=P(100<ξ<120)=0.4,P(0<ξ<100)=0.5,∴P(0<ξ<80)=0.1. 5.答案　32 解析　同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,至少有一枚硬幣正面向上的概率為1-122=34,且X~B2,34, ∴均值是234=32. 6.答案　120 解析　∵成績ξ~N(90,a2),∴其正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x=90對稱,又∵成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的35,由對稱性知成績不低于110分的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的121-35=15,∴此次月考中數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生約有15600=120(人). 7.解析　(1)設(shè)“兩人都享受折扣優(yōu)惠”為事

9、件A,“兩人都不享受折扣優(yōu)惠”為事件B,則P(A)=C122C362=11105,P(B)=C242C362=46105. 因為事件A,B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=11105+46105=1935. 故這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率是1935. (2)根據(jù)題意,ξ的可能取值為0,1,2. P(ξ=0)=P(B)=46105, P(ξ=1)=C121C241C362=1635, P(ξ=2)=P(A)=11105. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 46105 1635 11105 所以E(ξ)=046105+11635+211

10、105=23. 8.解析　(1)依題意知 13mn=124,1-(1-m)1-13(1-n)=34, 又m>n,∴m=12,n=14. (2)設(shè)該新同學(xué)在社團方面獲得校本選修課的學(xué)分分數(shù)為隨機變量X,則隨機變量X的值可以為0,1,2,3,4,5,6. P(X=0)=122334=14; P(X=1)=122334=14; P(X=2)=121334=18; P(X=3)=122314+121334=524; P(X=4)=122314=112; P(X=5)=121314=124; P(X=6)=121314=124. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4

11、 5 6 P 14 14 18 524 112 124 124 ∴E(X)=014+114+218+3524+4112+5124+6124=2312. B組　提升題組 9.解析　(1)根據(jù)題意, 參加社區(qū)服務(wù)時間在時間段90,95)的學(xué)生人數(shù)為2000.065=60, 參加社區(qū)服務(wù)時間在時間段95,100]的學(xué)生人數(shù)為2000.025=20, 所以抽取的200位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學(xué)生有80人. 故從全市高中學(xué)生中任意選取一人,其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的概率約為P=80200=25. (2)由(1)可知,從全市高中學(xué)生中任意選取

12、1人,其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的概率約為25. 由已知得隨機變量X的可能取值為0,1,2,3, 則P(X=0)=C30250353=27125; P(X=1)=C31251352=54125; P(X=2)=C32252351=36125; P(X=3)=C33253350=8125. 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 27125 54125 36125 8125 因為X~B3,25,所以E(X)=325=65. 10.解析　(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X元. (i)依題意,得P(X=60)=C11C31C42=12, 即顧客所獲的

13、獎勵額為60元的概率為12. (ii)依題意,得X的所有可能取值為20,60. P(X=60)=12,P(X=20)=C32C42=12, 所以X的分布列為 X 20 60 P 0.5 0.5 所以顧客所獲的獎勵額的期望為E(X)=200.5+600.5=40元. (2)根據(jù)商場的預(yù)算,每位顧客的平均獎勵額為60元. 所以,先尋找期望為60元的可能方案. 對于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因為60元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因為60元是面值之和的最小值,所以期望也不

14、可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1. 對于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2. 以下是對兩個方案的分析: 對于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1元,則X1的分布列為 X1 20 60 100 P 16 23 16 X1的期望為E(X1)=2016+6023+10016=60, X1的方差為D(X1)=(20-60)216+(60-60)223+(100-60)216=16003. 對于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2元,則X2的分布列為 X2 40 60 80 P 16 23 16 X2的期望為E(X2)=4016+6023+8016=60, X2的方差為D(X2)=(40-60)216+(60-60)223+(80-60)216=4003. 雖然兩種方案的獎勵額的期望都符合要求,但方案2獎勵額的方差比方案1的小,所以應(yīng)該選擇方案2.