高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 課時(shí)分層訓(xùn)練37 歸納與類比 理 北師大版

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)分層訓(xùn)練(三十七) 歸納與類比 A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1.正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin(x2+1)是奇函數(shù),以上推理(  ) A.結(jié)論正確       B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確 C [因?yàn)閒(x)=sin(x2+1)不是正弦函數(shù),所以小前提不正確.] 2.如圖643,根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律,得a表示的數(shù)是(  ) 圖643 A.12 B.48 C.60 D.144 D [由題圖

2、中的數(shù)可知,每行除首末兩數(shù)外,其他數(shù)都等于它肩上兩數(shù)的乘積,所以a=1212=144.] 3.(20xx陜西渭南一模)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù),例如(如圖644): 圖644 他們研究過圖中的3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,故將其稱為三角形數(shù),由以上規(guī)律,知這些三角形數(shù)從小到大形成一個(gè)數(shù)列{an},那么a9的值為(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140206】 A.45 B.55 C.65 D.66 B [第1個(gè)圖中,小石子有3=1+2個(gè), 第2個(gè)圖中,小石子有6=1+2+3個(gè), 第3個(gè)圖中,小石子有10=1+2+3+4個(gè), … 故第9個(gè)圖

3、中,小石子有1+2+3+…+10==55個(gè),即a9=55,故選B.] 4.如圖645所示,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為左焦點(diǎn),當(dāng)⊥時(shí),其離心率為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于(  ) 圖645 A. B. C.-1 D.+1 A [設(shè)“黃金雙曲線”方程為-=1, 則B(0,b),F(xiàn)(-c,0),A(a,0). 在“黃金雙曲線”中, 因?yàn)椤停裕?. 又=(c,b),=(-a,b). 所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac. 在等號(hào)兩邊同除以a2,得e=.] 5.(20xx南昌一模)我國古代數(shù)學(xué)名著

4、《九章算術(shù)》中有如下問題:今有甲乙丙三人持錢,甲語乙丙:各將公等所持錢,半以益我,錢成九十(意思是把你們兩個(gè)手上的錢各分我一半,我手上就有90錢);乙復(fù)語甲丙,各將公等所持錢,半以益我,錢成七十;丙復(fù)語甲乙:各將公等所持錢,半以益我,錢成五十六,則乙手上有(  ) A.28錢 B.32錢 C.56錢 D.70錢 B [設(shè)甲、乙、丙手上各有錢x,y,z,則由題意可得三式相加得x+y+z=108,則y+=70,解得y=32,故選B.] 二、填空題 6.若P0(x0,y0)在橢圓+=1(a>b>0)外,過P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1,P2,則切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是+=1,那么對(duì)

5、于雙曲線則有如下命題:若P(x0,y0)在雙曲線-=1(a>0,b>0)外,過P0作雙曲線的兩條切線,切點(diǎn)為P1,P2,則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程是________. -=1 [類比橢圓的切點(diǎn)弦方程可得雙曲線-=1的切點(diǎn)弦方程為-=1.] 7.觀察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 照此規(guī)律,第n個(gè)等式為________. n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 [由前4個(gè)等式可知,第n個(gè)等式的左邊第一個(gè)數(shù)為n,且連續(xù)2n-1個(gè)整數(shù)相加,右邊為(2n-1)2,故第n個(gè)等式為n+(n+1

6、)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.] 8.(20xx重慶調(diào)研(二))甲、乙、丙三人各從圖書館借來一本書,他們約定讀完后互相交換.三人都讀完了這三本書之后,甲說:“我最后讀的書與丙讀的第二本書相同.”乙說:“我讀的第二本書與甲讀的第一本書相同.”根據(jù)以上說法,推斷乙讀的最后一本書是________讀的第一本書. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140207】 丙 [因?yàn)楣灿腥緯?,而乙讀的第一本書與第二本書已經(jīng)明確,只有丙讀的第一本書乙還沒有讀,所以乙讀的最后一本書是丙讀的第一本書.] 三、解答題 9.設(shè)f(x)=,先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)

7、,然后歸納猜想一般性結(jié)論,并給出證明. [解] f(0)+f(1)=+ =+=+=, 同理可得:f(-1)+f(2)=, f(-2)+f(3)=,并注意到在這三個(gè)特殊式子中,自變量之和均等于1. 歸納猜想得:當(dāng)x1+x2=1時(shí), 均有f(x1)+f(x2)=. 10.已知O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),連接AO,BO,CO并延長,分別交對(duì)邊于A′,B′,C′,則++=1,這是一道平面幾何題,其證明常采用“面積法”: ++=++==1. 請(qǐng)運(yùn)用類比思想,對(duì)于空間中的四面體ABCD,存在什么類似的結(jié)論,并用“體積法”證明. [解] 在四面體ABCD中,任取一點(diǎn)O,連接AO,DO

8、,BO,CO并延長,分別交四個(gè)面于E,F(xiàn),G,H點(diǎn). 則+++=1. 證明:在四面體OBCD與ABCD中, ===. 同理有=;=;=. 所以+++ = ==1. B組 能力提升 11.給出以下數(shù)對(duì)序列: (1,1); (1,2)(2,1); (1,3)(2,2)(3,1); (1,4)(2,3)(3,2)(4,1); … 記第i行的第j個(gè)數(shù)對(duì)為aij,如a43=(3,2),則anm=(  ) A.(m,n-m+1)    B.(m-1,n-m) C.(m-1,n-m+1) D.(m,n-m) A [由前4行的特點(diǎn),歸納可得:若anm=(a,b),則a=m,

9、b=n-m+1,所以anm=(m,n-m+1).] 12.(20xx全國卷Ⅱ)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是________. 1和3 [法一:由題意得丙的卡片上的數(shù)字不是2和3. 若丙的卡片上的數(shù)字是1和2,則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3,則甲的卡片上的數(shù)字是1和3,滿足題意; 若丙的卡片上的數(shù)字是1和3,則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3,則甲的卡片上的數(shù)字是

10、1和2,不滿足甲的說法. 故甲的卡片上的數(shù)字是1和3. 法二:因?yàn)榧着c乙的卡片上相同的數(shù)字不是2,所以丙的卡片上必有數(shù)字2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是5,所以丙的卡片上的數(shù)字是1和2.因?yàn)橐遗c丙的卡片上相同的數(shù)字不是1,所以乙的卡片上的數(shù)字是2和3,所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3.] 13.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù): ①sin213+cos217-sin13cos 17; ②sin215+cos215-sin 15cos 15; ③sin218+cos212-sin18cos12; ④sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 4

11、8; ⑤sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55. (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù); (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140208】 [解] (1)選擇②式,計(jì)算如下: sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30 =1-=. (2)法一:三角恒等式為 sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α)=. 證明如下: sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α) =sin2α+(cos 30cos α+sin 30

12、sin α)2-sin α(cos 30cos α+sin 30sin α) =sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α =sin2α+cos2α=. 法二:三角恒等式為 sin2 α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α)=. 證明如下: sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α) =+-sin α(cos 30 cos α+sin 30sin α) =-cos 2α++(cos 60cos 2α+sin 60sin 2α)-sin αcos α-sin2α =-cos 2α++cos 2α+sin 2α-sin 2α-(1-cos 2α) =1-cos 2α-+cos 2α=.

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