高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 文科 第三章導(dǎo)數(shù) 第2節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第3章 導(dǎo)數(shù) 第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題型40 方程解(零點)的個數(shù)問題 1.（20xx江蘇19（2））已知函數(shù)．若（實數(shù)是與無關(guān)的常數(shù)），當函數(shù)有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是 ，求的值． 1.解析 解法一：因，故， 由（1）得：當時，單調(diào)遞增，不滿足題意； 當時，若函數(shù)有三個不同的零點， 則恒成立， 從而對恒成立， 構(gòu)造，則對恒成立， 故單調(diào)遞減，從而，故． 當時，若函數(shù)有三個不同的零點， 則恒成立， 從而對恒成立， 構(gòu)造， 則， 令，則，

2、故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 則，從而，即． 綜上得． 解法二：因，故， 由（1）得：當時，單調(diào)遞增，不滿足題意； 當時，若函數(shù)有三個不同的零點， 則只需保證， 又實數(shù)的解集為， 因此，，是方程的三個實數(shù)根， 易知該方程必有一根， 從而若時，則，驗證知不為其根，故舍； 若時，則，驗證知，是其根， 驗證不等式，即， 即，其解集為，滿足題意； 若時，則，驗證知不為其根，故舍． 綜上得． 解法三：因，故， 由（1）得： 當時，單調(diào)遞增，不滿足題意； 當時，若函數(shù)有三個不同的零點， 則，從而， 根據(jù)的取值范圍可知：是方程的根，因此． 當時，若，則根據(jù)函數(shù)有三

3、個不同的零點， 則必有，即． 因此解得或或，符合題意． 綜上得． 評注 （2）的解法一將該問題轉(zhuǎn)化到恒成立解決；解法二將問題統(tǒng)一歸類轉(zhuǎn)化到不等式的解集，進而轉(zhuǎn)化到等式（方程）的根；解法三亦是將問題轉(zhuǎn)化到不等式的解集問題進行解決． 2.（20xx北京文19（2））設(shè)函數(shù). 證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點. 2. 解析 若存在零點，則即，解得. 又，， 且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上僅有一個零點. 3.（20xx廣東文21（3））設(shè)為實數(shù)，函數(shù)． 當時，討論在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)． 3.解析 由（2）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以. (i)當時，，.

4、 令=0，即. 因為在上單調(diào)遞減，所以. 而在上單調(diào)遞增，. 所以在上，故與在無交點. 當時，，即. 所以，所以.因為，所以. 故當時，有一個零點. (ii)當時，， 當時， ，， 而在上單調(diào)遞增，當時，. 下面比較與的大小： 因為 ， 所以. 結(jié)合圖像可知當時，與有兩個交點. 綜上，當時，有一個零點；當時，與有兩個零點. 4.（20xx新課標Ⅰ卷文21（1））設(shè)函數(shù).討論的導(dǎo)函數(shù)零點的個數(shù)； 4. 解析 由題意可得，. 顯然當時，恒成立，無零點； 當時，取， 則， 即單調(diào)遞增.令， 即. 畫出與的圖像，如圖所示. 由圖可知，必有零點，

5、 所以導(dǎo)函數(shù)存在唯一零點. 5.（20xx山東文20(2)）設(shè)函數(shù)，. 已知曲線在點處的切線與直線平行.是否存在自然數(shù)，使得方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由； 5. 解析 時，方程在內(nèi)存在唯一的根. 設(shè)，當時，. 又，所以存在，使. 因為，所以當時，； 當時，，所以當時，單調(diào)遞增. 所以時，方程在內(nèi)存在唯一的根. 6.（20xx陜西文21（2））設(shè) 證明：在內(nèi)有且僅有一個零點（記為），且. 6. 解析 因為，，所以在 內(nèi)至少存在一個零點，又，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因此，在內(nèi)有且只有一個零點，由于， 所以，由此可得，故， 所以. 7.（20xx

6、四川文21（2））已知函數(shù)，其中. 求證：存在，使得恒成立，并且在區(qū)間內(nèi)有唯一解. 7. 解析 由，解得， 令. 則，，所以存在，使得. 令，其中. 由，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 故，即. 當時，有，， 再由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增. 當時，，所以； 當時，，所以. 又當時，， 故時，. 綜上所述，存在，使得恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解. 8.（20xx北京文20）設(shè)函數(shù). （1）求曲線在點處的切線方程； （2）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求的取值范圍； （3）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件. 8.解析 （1）由，得.因為，，所以曲線在點處

7、的切線方程為. （2）當時，，所以. 令，得，解得或. 與在區(qū)間上的變化情況如下表所示. 所以當且時，存在，，， 使得. 由的單調(diào)性，當且僅當時，函數(shù)有三個不同零點. （3）證法一：分兩步證明. 必要性： 若函數(shù)有三個不同零點，那么的單調(diào)性必然變化次，因此其導(dǎo)函數(shù)必然有2個不同的零點，從而的判別式，即. 非充分性：取，則函數(shù)， 其導(dǎo)函數(shù).所以其極大值為，其極小值為， 因此函數(shù)只有1個零點. 綜上所述，是有三個不同零點的必要而不充分條件. 證法二：分兩步證明. 必要性（反證法） 若，則恒成立，所以

8、單調(diào)遞增，于是最多只有1個零點，與條件不符，所以. 以下證明同證法一. 9.（20xx山東文15）已知函數(shù)，其中，若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個不同的根，則的取值范圍是________________. 9. 解析 因為的對稱軸為，所以時單調(diào)遞增，只要大于的最小值時，關(guān)于的方程在時有一根；又在，時，存在實數(shù)，使方程在時有兩個根，只需； 故只需即可，又，所以解得，即的取值范圍是. 10.（20xx江蘇19）已知函數(shù). （1）設(shè)，. ①求方程的根； ②若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值； （2）若，，函數(shù)有且只有個零點，求的值. 10.解析 （1）①，由可得，

9、 則，即，則，解得； ②由題意得恒成立，即恒成立. 令，則由，可得， 此時恒成立，即恒成立， 因為時，當且僅當時等號成立，因此實數(shù)的最大值為. （2），， 由，可得，令，則單調(diào)遞增， 而，因此時. 因此時，，，則； 時，，，則. 則在遞減，遞增. 解法一：下證. ①若，則，于是， 又且， 因此連續(xù)函數(shù)在以與為端點的區(qū)間上存在零點，不妨記為. 由且可知，這與“是函數(shù)的唯一零點”相矛盾. ②若，仿照①可得到， 連續(xù)函數(shù)在以與為端點的區(qū)間上存在大于的零點，也相矛盾. ③綜合①②可知，即，即， 即，因此，則. 評注 解法二：（也可以作為研究對象）因此最小值

10、為. ①若，時，，，則； 時，，，則； 因此且時，，因此在有零點， 且時，，因此在有零點， 則至少有兩個零點，與條件矛盾； ②若，由函數(shù)有且只有個零點，最小值為， 可得，由，因此， 所以，即， 亦即，因此，則. 11.（20xx全國乙文21）已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個零點，求的取值范圍. 11.解析 （1）由題意. ①當，即時，恒成立.令，則， 所以的單調(diào)增區(qū)間為.同理可得的單調(diào)減區(qū)間為. ②當，即時，令，則或. （?。┊?，即時，令，則或， 所以的單調(diào)增區(qū)間為和.同理的單調(diào)減區(qū)間為； （ⅱ）當，即時， 當時，，，所以.同理時，.

11、 故的單調(diào)增區(qū)間為； （ⅲ）當，即時.令，則或， 所以的單調(diào)增區(qū)間為和，同理的單調(diào)減區(qū)間為. 綜上所述，當時，的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為； 當時，的單調(diào)增區(qū)間為； 當時，的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為； 當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為. （2）解法一（直接討論法）：易見，如（1）中討論，下面先研究（?。áⅲá＃┤N情況. ①當時，由單調(diào)性可知，，故不滿足題意； ②當時，在上單調(diào)遞增，顯然不滿足題意； ③當時，由的單調(diào)性，可知， 且，故不滿足題意； 下面研究， 當時，，令，則，因此只有個零點，故舍去； 當時，，，所以在上有個零點； （i）當時，由，而

12、， 所以在上有個零點； （i i）當時，由，而， 所以在上有個零點； 可見當時有兩個零點.所以所求的取值范圍為. 解法二（分離參數(shù)法）：顯然不是的零點， 當時，由，得. 設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為直線與圖像有兩個交點， 對求導(dǎo)得， 所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. ①當時，若，，直線與圖像沒有交點， 若，單調(diào)遞減，直線與圖像不可能有兩個交點， 故不滿足條件； ②若時，取 ，則， 而，結(jié)合在單調(diào)遞減， 可知在區(qū)間上直線與圖像有一個交點， 取，， 則，， 結(jié)合在單調(diào)遞增，可知在區(qū)間上直線與圖像有一個交點， 綜上所述，時直線與圖像有兩個交點，函數(shù)有兩個零點. 評注 此題與

13、20xx年文科卷第（1）問基本一致，都是對函數(shù)零點個數(shù)的研究，基本形成分離與不分離兩種解答方案，但不管是否分離，都涉及到零點的取值問題. 【1】②④可放一起研究，當或，由題意，，故不滿足題意. 【2】用分離參數(shù)的方法很多時候只能初步感知結(jié)論，不能替代論證. 很多資料上在論證完的單調(diào)性后直接書寫如下過程， 當時，； 當時，令，則，所以時，；時，. 綜上所述：時函數(shù)有兩個零點. 這里論述時是不完備的，這里涉及到極限的知識，僅僅用是不夠的，可能會有值的趨向性，因此這種解析不完備是會扣除步驟分. 【3】考試院提供的參考答案與去年提供的參考相仿： （i）設(shè)，則由（1）可知，在上單調(diào)遞減

14、，在上單調(diào)遞增， 又，，取滿足且， 則，所以函數(shù)有兩個零點. （ii）設(shè)，則，令，則，因此只有個零點，故舍去； （iii）設(shè)，若，則由（1）知，在上單調(diào)遞增， 又當時，，故不存在兩個零點； 當時，則由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 又當時，，故不存在兩個零點. 綜上，的取值范圍為. 12.（20xx全國3文12）已知函數(shù)有唯一零點，則（ ）. A． B． C． D．1 12.解析 (對稱性解法) 因為關(guān)于直線對稱，所以要有唯一零點，只有，由此解得.故選C. 評注 難度中偏上，主要考查函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的零點結(jié)論，本題的難點在于對函數(shù)的對稱

15、性不夠了解，一般學(xué)生很難看出后面函數(shù)的對稱性，導(dǎo)致做題缺乏思路.本題與20xx年的高考全國卷2文科數(shù)學(xué)的選擇壓軸題（第12題）類似，都是圍繞函數(shù)的性質(zhì)來考查，需要學(xué)生有較強的基本功底并具有較強的運用能力. 13.（20xx江蘇14）設(shè)是定義在且周期為的函數(shù)，在區(qū)間上， ．其中集合，則方程的解的個數(shù)是 ． 13.解析 由題意，所以只需要研究內(nèi)的根的情況． 在此范圍內(nèi)，且時，設(shè)，且互質(zhì)， 若，則由，可設(shè)，且互質(zhì). 從而，則，此時左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此， 于是不可能與內(nèi)的部分對應(yīng)相等，所以只需要考慮與每個周期內(nèi)部分的交點. 如圖所示，通過函數(shù)

16、的草圖分析，圖中交點除外，其它交點均為的部分． 且當時，，所以在附近只有一個交點， 因而方程解的個數(shù)為個．故填． 題型41 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 1.（20xx福建文22（2））已知函數(shù)． 求證：當時，； 1. 分析 構(gòu)造函數(shù)，．欲證明，只需證明的最大值小于等于即可. 解析 令，．則有， 當時，，所以在上單調(diào)遞減， 故當時，，即當時，． 2.（20xx湖北文21）設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù). (1)求，的解析式，并證明：當時，，； (2)設(shè)，，證明：當時，. 2. 解析 (1)由，的奇偶性及條件

17、 ① 得 ② 聯(lián)立式①式②解得，. 當時，，，故. ③ 又由基本不等式，有，即. ④ (2)由(1)得 ， ⑤ ， ⑥ 當時，等價于， ⑦ 等價于 ⑧ 設(shè)函數(shù) ，由式⑤式⑥， 有 當時， （a）若，由式③式④，得，故在上為增函數(shù)， 從而，即，故式⑦成立. （

18、b）若，由③④，得，故在上為減函數(shù)， 從而，即，故式⑧成立. 綜合式⑦式⑧，得. 3.（20xx新課標Ⅰ卷文21（2））設(shè)函數(shù). 求證：當時，. 3. 解析 由（1）可知有唯一零點，設(shè)零點為， 由圖可知，則當時，，即單調(diào)遞減； 當時，，即單調(diào)遞增. 所以在處取得極小值，即. 又，解得.① ①兩邊分別取自然對數(shù)，得，即. 所以 （當且僅當，即時取等號）. 4.（20xx天津文20） 已知函數(shù)其中，且. （2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有； （3）若方程（為實數(shù)）有兩個正實數(shù)根，，且， 求證：. 4

19、. 分析（2） ，，證明在 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以對任意的實數(shù)，，對于任意的正實數(shù)，都有； （3）設(shè)方程 的根為，可得，由在上單調(diào)遞減，得，所以 .設(shè)曲線在原點處的切線為，方程的根為，可得，由在上單調(diào)遞增， 且，可得，所以. 解析（2）設(shè) ，則 ，且，得， 曲線 在點處的切線方程為 ，即， 令 ，即 .則. 由于在 單調(diào)遞減，故在 單調(diào)遞減， 又因為，所以當時，， 所以當時，. 所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 所以對任意的實數(shù)， ，對于任意的正實數(shù)，都有. （3）由（2）知，設(shè)方程的根為， 可得，因為在上單調(diào)遞減， 又由（2）知，所以 . 設(shè)曲線在原點處的切

20、線為， 可得，對任意的，有，即. 設(shè)方程 的根為，可得， 因為在單調(diào)遞增，且， 因此，所以. 5.（20xx全國3文21）已知函數(shù)． （1）討論 的單調(diào)性； （2）當時，證明． 5.解析 (1)， 當時，，單調(diào)遞增； 當時，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減. （2）當時，， 要證，即證. 令，，. 當時，，當時，， 所以，即. 評注 本題難度中偏上，第（1）問考查導(dǎo)函數(shù)含參的函數(shù)單調(diào)性的討論，第（2）問屬于構(gòu)造函數(shù)證明不等式類問題，有一定難度. 題型42 導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用 1. (20xx重慶文20）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形儲水池（不計厚度）.設(shè)該

21、儲水池的底 面半徑為米，高為米，體積為立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本 為元/平方米.底面的建造成本為元/平方米，該儲水池的總建造成本為元（ 為圓周率） （1）將表示成的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域； （2）討論函數(shù)的單調(diào)性，并確定和為何值時該儲水池的體積最大. 1.分析 根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值. 解析 （1）因為蓄水池側(cè)面的總成本為（元），底面的總成本為元，所以蓄水池的總成本為元. 又根據(jù)題意，所以，從而 . 因為，又由可得，故函數(shù)的定義域為. （2）因為，所以. 令，解得（因為不在定義域內(nèi)，舍去）. 當時，，故在上為增函數(shù)； 當時，，故在上為減函數(shù)； 由此可知，在處取得最大值，此時. 即當，時，該蓄水池的體積最大. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org