高考數(shù)學(xué)江蘇專用理科專題復(fù)習(xí):專題專題3 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第19練 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5                    訓(xùn)練目標(biāo) (1)函數(shù)極值、最值的概念、求法;(2)函數(shù)極值、最值的應(yīng)用. 訓(xùn)練題型 (1)求函數(shù)的極值;(2)求函數(shù)的最值;(3)恒成立問(wèn)題;(4)零點(diǎn)問(wèn)題. 解題策略 (1)f′(x)=0是函數(shù)f(x)存在極值點(diǎn)的必要條件,f(x)的極值可用列表法求解;(2)利用最值研究恒成立問(wèn)題,可分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題;(3)零點(diǎn)問(wèn)題可借助于函數(shù)的圖象解決. 1.(20xx濟(jì)寧一模)函數(shù)f(x)=x2-lnx的最小值為_(kāi)_____

2、__. 2.已知函數(shù)f(x)=x3-2ax2-3x+1在(-1,1)內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________________. 3.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,則的值為_(kāi)_______. 4.(20xx南京模擬)如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,給出下列判斷: ①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增; ②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減; ③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增; ④當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)y=f(x)有極小值; ⑤當(dāng)x=-時(shí),函數(shù)y=f(x)有極大值. 其中判斷正確的是_

3、_______. 5.(20xx保定一中模擬)已知f(x)=ax3,g(x)=9x2+3x-1,當(dāng)x∈1,2]時(shí),f(x)≥g(x)恒成立,則a的取值范圍為_(kāi)___________. 6.(20xx唐山一模)直線y=a分別與曲線y=2(x+1),y=x+lnx交于點(diǎn)A,B,則AB的最小值為_(kāi)_______. 7.已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________. 8.(20xx鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m,n∈-1,1],則f(m)+f′(n)的最小值是________. 9.(20xx四川)已知

4、函數(shù)f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,設(shè)m=,n=,現(xiàn)有如下命題: ①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有m>0; ②對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有n>0; ③對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=n; ④對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=-n. 其中真命題有________.(寫出所有真命題的序號(hào)) 10.(20xx南通一模)已知函數(shù)f(x)=ax3+3xlnx(a∈R). (1)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的極值; (2)若f(x)在區(qū)間(,e)上有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5、 答案精析 1. 2.(-∞,-)∪(,+∞)3.- 4.③ 5.11,+∞) 解析 f(x)≥g(x)恒成立, 即ax3≥9x2+3x-1. ∵x∈1,2],∴a≥+-. 令=t,則當(dāng)t∈,1]時(shí), a≥9t+3t2-t3. 令h(t)=9t+3t2-t3, 則h′(t)=9+6t-3t2=-3(t-1)2+12. ∴h′(t)在,1]上是增函數(shù). ∴h′(x)min=h′()=-+12>0. ∴h(t)在,1]上是增函數(shù). ∴a≥h(1)=11. 6. 解析 令2

6、(x+1)=a,解得x=-1.設(shè)方程x+lnx=a的根為t(x>0,t>0),即t+lnt=a,則AB=|t-+1|=|t-+1|=|-+1|.設(shè)g(t)=-+1(t>0),則g′(t)=-=,令g′(t)=0,得t=1,當(dāng)t∈(0,1)時(shí),g′(t)<0;當(dāng)t∈(1,+∞)時(shí),g′(t)>0,所以g(t)min=g(1)=,所以AB≥,所以AB的最小值為. 7.(0,) 解析 函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)(x>0),則f′(x)=lnx-ax+x(-a)=lnx-2ax+1.令f′(x)=lnx-2ax+1=0,得lnx=2ax-1.函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)

7、于f′(x)=lnx-2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象(如圖). 當(dāng)a=時(shí),直線y=2ax-1與y=lnx的圖象相切, 由圖可知,當(dāng)0<a<時(shí),y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,). 8.-13 解析 f′(x)=-3x2+2ax,根據(jù)已知=2,得a=3,即f(x)=-x3+3x2-4. 根據(jù)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),可得函數(shù)f(m)在-1,1]上的最小值為f(0)=-4, f′(n)=-3n2+6n在-1,1]上單調(diào)遞增,所以f′(n)的最小值為f′(-1)=-9. f

8、(m)+f′(n)]min=f(m)min+f′(n)min =-4-9=-13. 9.①④ 解析 設(shè)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)), C(x1,g(x1)),D(x2,g(x2)),對(duì)于①?gòu)膟=2x的圖象可看出,m=kAB>0恒成立,故①正確; 對(duì)于②直線CD的斜率可為負(fù),即n<0,故②不正確; 對(duì)于③由m=n, 得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2), 即f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2), 令h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax, 則h′(x)=2xln2-2x-a, 由h′(x)=0,得2xln2=2x+a,結(jié)合

9、圖象知,當(dāng)a很小時(shí),該方程無(wú)解,∴函數(shù)h(x)不一定有極值點(diǎn),就不一定存在x1,x2,使f(x1)-g(x1) =f(x2)-g(x2),即不一定存在x1,x2使得m=n,故③不正確; 對(duì)于④由m=-n,得f(x1)-f(x2) =g(x2)-g(x1), 即f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2), 令F(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax, 則F′(x)=2xln2+2x+a, 由F′(x)=0,得2xln2=-2x-a, 結(jié)合如圖所示圖象可知,該方程有解,即F(x)必有極值點(diǎn),∴存在x1,x2使F(x1)=F(x2),使m=-n.故④正確. 綜上可知①

10、④正確. 10.解 (1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=3xlnx, 所以f′(x)=3(lnx+1). 令f′(x)=0,得x=, 當(dāng)x∈(0,)時(shí),f′(x)<0; 當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),f′(x)>0, 所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞減, 在(,+∞)上單調(diào)遞增. 所以當(dāng)x=時(shí), f(x)有極小值f()=-. (2)設(shè)g(x)=f′(x)=3(ax2+1+lnx), 其中x∈D=(,e). 由題意知,g(x)在D上有且只有一個(gè)零點(diǎn)(設(shè)為x0),且在x0兩側(cè)g(x)異號(hào). ①當(dāng)a≥0時(shí),g(x)在D上單調(diào)遞增, 所以g(x)>g()≥0, 所以g(x)在D上無(wú)零點(diǎn),不符

11、合題意; ②當(dāng)a<0時(shí),因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0,+∞), 則g′(x)= , 令g′(x)=0,得x=, g(x)在(0, )上單調(diào)遞增, 在( ,+∞)上單調(diào)遞減. (i)當(dāng)g(e)g()<0時(shí), -<a<0, 此時(shí),g(x)在D上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x, 且在x兩側(cè)異號(hào). (ii)令g()=0,得=0,即a=0,不符合題意. (iii)令g(e)=0,得a=-, 所以=∈D, g( )=g() =3(-+1+ln) =3(+ln)>0, 又因?yàn)間()=<0, 所以此時(shí)g(x)在D上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x,且在x兩側(cè)g(x)異號(hào). 綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是-,0).

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