三年模擬一年創(chuàng)新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六章 第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理全國通用

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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第三節(jié)第三節(jié) 等比數(shù)列及其前等比數(shù)列及其前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 A 組 專項(xiàng)基礎(chǔ)測(cè)試 三年模擬精選 一、選擇題 1(20 xx江西贛州模擬)在公比大于 1 的等比數(shù)列an中,a3a772,a2a827,則a12( ) A96 B64 C72 D48 解析 a3a7a2a872,a2a827, a224,a83或a23,a824, 又公比大于 1,a23,a824,q68, 即q22,a12a2q1032596. 答案 A 2(20 xx山東日照模擬)設(shè)數(shù)列an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,已知a2a41,S37,則S5( ) A.152 B.314 C

2、.334 D.172 解析 設(shè)此數(shù)列的公比為q(q0)由已知,a2a41,得a231,所以a31,由S37,知a3a3qa3q27,即 6q2q10,解得q12,進(jìn)而a14. 所以S541125112314,選 B. 答案 B 3(20 xx濰坊模擬)設(shè)等比數(shù)列an中,前n項(xiàng)和為Sn,已知S38,S67,則a7a8a9等于( ) A.18 B18 C.578 D.558 解析 a7a8a9S9S6,S3,S6S3,S9S6也成等比數(shù)列,即8,1,S9S6成等比數(shù)列,有 8(S9S6)1,即S9S618. 答案 A 4(20 xx北大附中模擬)已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列an中,a4與a14的等比中項(xiàng)

3、為 2 2,則2a7a11的最小值為( ) A16 B8 C6 D4 解析 a4a14(22)28,即a4a14a298,a922.則 2a7a112a9q2a9q222a9q2a9q22 2a98,當(dāng)且僅當(dāng)2a9q2a9q2,即q42 時(shí)取等號(hào) 答案 B 二、填空題 5(20 xx云南大理二模)若數(shù)列an滿足a13,an12an1,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為_ 解析 an12an1,an112(an1),數(shù)列an1是首項(xiàng)為 4,公比為 2 的等比數(shù)列,an142n1,an2n11. 答案 an2n11 三、解答題 6(20 xx陜西師大附中模擬)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1a221

4、a11a2,a3a4321a31a4. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bna2nlog2an,求數(shù)列bn 的前n項(xiàng)和Tn. 解 (1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0),則ana1qn 1,且an0,由已知得a1a1q21a11a1q,a1q2a1q3321a1q21a1q3. 化簡得a21q(q1)2(q1),a21q5(q1)32(q1),即a21q2,a21q532. 又a10,q0,a11,q2.an2n1. (2)由(1)知bna2nlog2an4n1n1, Tn(14424n1)(0123n1) 4n141n(n1)24n13n(n1)2. 一年創(chuàng)新演練 7已知正項(xiàng)數(shù)列an中

5、,a11,a22,2a2na2n1a2n1(n2),則a6等于( ) A16 B8 C2 2 D4 解析 由2a2na2n1a2n1(n2)可知數(shù)列a2n是等差數(shù)列,且以a211為首項(xiàng),公差da22a21413,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為a2n13(n1)3n2,所以a2636216,即a64.選 D. 答案 D 8已知數(shù)列1,a1,a2,9是等差數(shù)列,數(shù)列1,b1,b2,b3,9是等比數(shù)列,則b2a1a2的值為_ 解析 1,a1,a2,9 是等差數(shù)列, a1a21910. 又 1,b1,b2,b3,9 是等比數(shù)列,b22199, b21b20,b23,b2a1a2310. 答案 310 B 組 專

6、項(xiàng)提升測(cè)試 三年模擬精選 一、選擇題 9(20 xx山東菏澤二模)已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足:a7a62a5,若存在兩項(xiàng)an,am使得aman4a1,則1m4n的最小值為( ) A.32 B.53 C.256 D不存在 解析 a7a62a5,a5q2a5q2a5,即q2q20,解得q2,q 1(舍)若存在兩項(xiàng)an,am,有aman4a1,即aman16a21,a21qmn216a21,即 2mn216,mn24,mn6,即mn61. 1m4n1m4nmn61654mnnm 16524mnnm32, 當(dāng)且僅當(dāng)4mnnm,即n24m2,n2m時(shí)取等號(hào),此時(shí)mn63m,m2,n4 時(shí)取最小值,最小值為

7、32. 答案 A 二、解答題 10(20 xx陜西寶雞 4 月)已知數(shù)列an滿足a15,a25,an1an6an1(n2) (1)求證:an12an是等比數(shù)列 (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (3)設(shè) 3nbnn(3nan),求|b1|b2|bn|. (1)證明 an1an6an1(n2), an12an3an6an13(an2an1)(n2) 又a15,a25, a22a115, an2an10(n2), an12anan2an13(n2), 數(shù)列an12an是以 15 為首項(xiàng),3 為公比的等比數(shù)列 (2)解 由(1)得an12an153n153n, 則an12an53n, an13n12(a

8、n3n) 又a132,an3n0, an3n是以 2 為首項(xiàng),2 為公比的等比數(shù)列 an3n2(2)n1, 即an2(2)n13n(nN N*) (3)解 由(2)及 3nbnn(3nan)可得 3nbnn(an3n)n2(2)n1n(2)n, bnn23n,|bn|n23n. Tn|b1|b2|bn| 232232n23n, 23,得 23Tn2322233(n1)23n n23n1, ,得 13Tn2323223nn23n1 2323n1n23n1 2(n3)23n1, Tn62(n3)23n. 11(20 xx馬鞍山模擬)已知數(shù)列an滿足a11,an12n1anan2n(nN N*) (

9、1)證明數(shù)列2nan是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (3)設(shè)bnn(n1)an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn. (1)證明 由已知可得an12n1anan2n, 2n1an12nan1,即2n1an12nan1, 數(shù)列2nan是公差為 1 的等差數(shù)列 (2)解 由(1)可得2nan2a1(n1)1n1, an2nn1. (3)解 由(2)知,bnn2n, Sn12222323n2n, 2Sn122223324n2n1, 兩式相減得Sn222232nn2n12n12n2n1,Sn(n1)2n12. 12(20 xx廣西欽州二模)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,滿足Sna1a(1an)(a0

10、且a1,nN N*),數(shù)列bn滿足bnanlgan(nN N*) (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列bn中的每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng),求a的取值范圍 解 (1)Sna1a(1an)(a0 且a1,nN N*), Sn1a1a(1an1),由Sn1Snan1,得an1a1a(anan1),an1aan, 即an1ana(a0,nN N*); 當(dāng)n1 時(shí),a1a1a(1a1),即a1a. 于是,數(shù)列an是以a為首項(xiàng),a為公比的等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為anan(nN N*) (2)依題意,得bnnanlg a,令bk1bk(kN N*), 則(k1)ak1lg akaklg a. a0 且a1,

11、ak0,即(k1)alg aklg a. 當(dāng)a1 時(shí),lg a0,則(k1)ak,即akk1. 0kk11 時(shí),bk1bk(kN N*)恒成立 當(dāng) 0a1 時(shí),lg a0,則(k1)ak,即akk1. 為了使不等式對(duì)任意的正整數(shù)k都成立,只需akk1min. kk1111k12,0a1,或0a12. 一年創(chuàng)新演練 13已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足:a2n(n2n1)an(n2n)0(nN N),數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足b11,2Sn1bn(nN N) (1) 求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)cn(2n1)bnan,數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn,求證:T2n1. (1)解 由a2n(n2n1)

12、an(n2n)0,得an(n2n)(an1)0. 由于an是正項(xiàng)數(shù)列,所以ann2n. 由 2Sn1bn可得當(dāng)n2 時(shí),2Sn11bn1,兩式相減得bnbn1, 數(shù)列bn是首項(xiàng)為 1,公比為1 的等比數(shù)列, bn(1)n1. (2)證明 cn(2n1)bnan (1)n12n1n(n1). 法一 c2n1c2n 4n12n(2n1)4n12n(2n1) (4n1)(2n1)(4n1)(2n1)2n(2n1)(2n1) 2(2n1)(2n1) 12n112n1, T2n(c1c2)(c3c4)(c2n1c2n)1113131512n112n1112n11. 法二 cn(2n1)bnan(1)n12n1n(n1) (1)n11n1n1, T2nc1c2c3c4c2n1c2n 1112121313141415 12n112n12n12n1 112n11.

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