新課標高三數(shù)學一輪復習 第11篇 復數(shù)的概念與運算學案 理

上傳人:仙*** 文檔編號:40482844 上傳時間:2021-11-16 格式:DOC 頁數(shù):12 大小:238.50KB
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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第六十九課時 復數(shù)的概念與運算(課前預習案) 考綱要求 1.了解復數(shù)的有關(guān)概念及復數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義。 2.掌握復數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除的運算法則。 3.了解從自然數(shù)系到復數(shù)系的關(guān)系及擴充的基本思想。 基礎(chǔ)知識梳理 1.復數(shù):形如 的數(shù)叫做復數(shù),其中a , b分別叫它的 和 . 2.分類:設復數(shù): (1) 當 =0時,z為實數(shù); (2) 當 0時,z為虛數(shù); (3) 當

2、 =0, 且 0時,z為純虛數(shù). 3.復數(shù)相等:如果兩個復數(shù) 相等且 相等就說這兩個復數(shù)相等. 4.共軛復數(shù):當兩個復數(shù)實部 ,虛部 時.這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù).(當虛部不為零時,也可說成互為共軛虛數(shù)). 5.若z=a+bi, (a, bR), 則 | z |= ; z= . 6.復平面:建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面, x軸叫做 , 叫虛軸. 7.復數(shù)z=a+bi(a, bR)與復平面上的點 建立了一一對應的關(guān)系. 8

3、.兩個實數(shù)可以比較大小、但兩個復數(shù)如果不全是實數(shù),就 比較它們的大小. 9. 復數(shù)的運算: (1)(a+bi) (c+di)= ; (2)(a+bi)(c+di)= ; (3)(a+bi)(c+di)= ; (4)①i具有周期性:4n+1= ;4n+2= ; 4n+3= ; 4n= ; n+n+1+n+2+n+3 = (nN) ②(1+i)2= ; (1-i)2= ; ③= ;= . 預習自測 1. i是虛

4、數(shù)單位,則+i=________. 2. 若復數(shù)(1+i)(1+ai)是純虛數(shù),則實數(shù)a=________. 3. 復數(shù)(3+4i)i(其中i為虛數(shù)單位)在復平面上對應的點位于 (  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4. (20xx浙江)把復數(shù)z的共軛復數(shù)記作,i為虛數(shù)單位.若z=1+i,則(1+z)等于(  ) A.3-i B.3+i C.1+3i D.3 5. (20xx北京)設a,b∈R.“a=0”是“復數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的 (  ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.

5、充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 第六十九課時 復數(shù)的概念與運算(課堂探究案) 典型例題 考點1.復數(shù)的概念 【典例1】 (1)已知a∈R,復數(shù)z1=2+ai,z2=1-2i,若為純虛數(shù),則復數(shù)的虛部為(  ) A.1 B.i C. D.0 (2)若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i(m∈R),z2=3-2i,則“m=1”是“z1=z2”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件

6、 【變式1】(1)(20xx年高考上海卷(理))設,是純虛數(shù),其中i是虛數(shù)單位,則m=____ (2)(20xx年普通高等學校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(理))已知a, b∈R, i是虛數(shù)單位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 則a + bi = ______. 考點2.復數(shù)的運算 【典例2】 (1)(20xx年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標Ⅱ卷數(shù)學(理))設復數(shù)滿足,則 (  ) A. B. C. D. (2)(20xx年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(理))復數(shù)的模為 ( ?。? A. B.

7、C. D. (3)(20xx年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(理))已知是虛數(shù)單位,則 ( ?。? A. B. C. D. 【變式2】 (1)已知復數(shù)z=,是z的共軛復數(shù),則z=________. (2)復數(shù)的值是________. (3)已知復數(shù)z滿足=2-i,則z=__________. 考點3.復數(shù)的幾何意義 【典例3】(1)(20xx年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(理))若復數(shù)滿足,則在復平面內(nèi),對應的點的坐標是 ( ?。? A. B. C. D. (2)(20xx

8、年高考湖南卷(理))復數(shù)在復平面上對應的點位于 ( ?。? A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (3)(20xx年高考湖北卷(理))在復平面內(nèi),復數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)對應的點位于 ( ?。? A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (4)(20xx年普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(理))已知復數(shù)的共軛復數(shù)(i為虛數(shù)單位),則在復平面內(nèi)對應的點位于 ( ?。? A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【變式3】 已知z是復數(shù),z+2i、均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位),且復數(shù)(z+ai)2在復平面

9、內(nèi)對應的點在第一象限,求實數(shù)a的取值范圍. 當堂檢測 1. (20xx廣東)設i為虛數(shù)單位,則復數(shù)等于 (  ) A.6+5i B.6-5i C.-6+5i D.-6-5i 2. (20xx山東)若復數(shù)z滿足z(2-i)=11+7i(i為虛數(shù)單位),則z為 (  ) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 3. (20xx福建)若復數(shù)z滿足zi=1-i,則z等于 (  ) A.-1-i B.1-i C.-1+i

10、 D.1+i 4. 若=1-bi,其中a,b都是實數(shù),i是虛數(shù)單位,則|a+bi|等于 (  ) A. B. C. D.1 5. (20xx上海)計算:=________(i為虛數(shù)單位). 第六十九課時 復數(shù)的概念與運算(課后鞏固案) A組全員必做題 1. (20xx湖北)方程x2+6x+13=0的一個根是 (  ) A.-3+2i B.3+2i C.-2+3i D.2+3i 2. 設f(n)=n+n(n∈N*

11、),則集合{f(n)}中元素的個數(shù)為 (  ) A.1 B.2 C.3 D.無數(shù)個 3. 對任意復數(shù)z=x+yi(x,y∈R),i為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是 (  ) A.|z-|=2y B.z2=x2+y2 C.|z-|≥2x D.|z|≤|x|+|y| 4. (20xx湖南)已知復數(shù)z=(3+i)2(i為虛數(shù)單位),則|z|=________. 5.設復數(shù)z滿足i(z+1)=-3+2i(i為虛數(shù)單位),則z的實部是________. 6. (20xx江蘇)設a,b∈R,a+bi=(i為虛數(shù)單位),則a+b的值為_______

12、_. B組提高選做題 1. 已知復數(shù)z滿足=1-2i,則復數(shù)z=____________. 2.已知復數(shù)z=x+yi,且|z-2|=,則的最大值為_____________________________. 3.已知復數(shù)z1滿足(z1-2)(1+i)=1-i(i為虛數(shù)單位),復數(shù)z2的虛部為2,且z1z2是實數(shù),求z2. 4.復數(shù)z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i,若1+z2是實數(shù),求實數(shù)a的值. 5.已知復數(shù)z,且|z|=2,求

13、|z-i|的最大值,以及取得最大值時的z. 第六十九課時復數(shù)的概念與運算 參考答案 預習自測 1. 答案 +i 解析?。玦=+i==+i. 2. 答案 1 解析 由(1+i)(1+ai)=(1-a)+(a+1)i是純虛數(shù)得,由此解得a=1. 3.答案 B 解析 由于(3+4i)i=-4+3i,因此該復數(shù)在復平面上對應的點的坐標是(-4,3),相對應的點位于第二象限,選B. 4.答案 A 解析 (1+z)=(2+i)(1-i)=3-i. 5.答案 B 解析 當a=0,且b=0時,a+bi不是純虛數(shù);若a

14、+bi是純虛數(shù),則a=0. 故“a=0”是“復數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件. 典型例題 【典例1】【答案】 (1)A (2)A 解析 (1)由===+i是純虛數(shù),得a=1,此時=i,其虛部為1. (2)由, 解得m=-2或m=1, 所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要條件. 【變式1】(1)m=-2. (2) 【典例2】(1)A;(2)B ;(3)B 【變式2】答案 (1) (2)-16 (3)--i 解析 (1)方法一 |z|==, z=|z|2=. 方法二 z==-+, z==. (2)= =24=-16. (3)由=2-i,

15、得z=-i=-i=i--i=--i. 【典例3】(1)C ;(2)B ;(3)D ;(4)D 【變式3】 解 設z=x+yi(x、y∈R), ∴z+2i=x+(y+2)i,由題意得y=-2. ∵==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i, 由題意得x=4.∴z=4-2i. ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i, 根據(jù)條件,可知,解得2

16、5i. 3.答案 A 解析 方法一 由zi=1-i得z==-1=-1-i. 方法二 設z=a+bi(a,b∈R),由zi=1-i,得(a+bi)i=1-i,即-b+ai=1-i. 由復數(shù)相等的充要條件得即∴z=-1-i. 4.答案 A 解析 由=1-bi得a=2,b=-1,所以a+bi=2-i,所以|a+bi|=.所以選A. 5.答案 1-2i 解析?。剑剑?-2i. A組全員必做題 1.答案 A 解析 方法一 x==-32i,故應選A. 方法二 令x=a+bi,a,b∈R,∴(a+bi)2+6(a+bi)+13=0,即a2-b2+6a+13+(2ab+6b)i=0,

17、 ∴解得即x=-32i,故應選A. 2. 答案 C 解析 f(n)=n+n=in+(-i)n,f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,… ∴集合中共有3個元素. 3.答案 D 解析 ∵=x-yi(x,y∈R),|z-|=|x+yi-x+yi|=|2yi|=|2y|,∴A不正確; 對于B,z2=x2-y2+2xyi,故不正確; ∵|z-|=|2y|≥2x不一定成立,∴C不正確; 對于D,|z|=≤|x|+|y|,故D正確. 4.答案 10 解析 方法一 ∵z=(3+i)2,∴|z|=|(3+i)2|=|3+i|2=10. 方法二 ∵z=(3

18、+i)2=9+6i+i2=8+6i,∴|z|==10. 5.答案 1 解析 設z=a+bi(a、b∈R),由i(z+1)=-3+2i,得-b+(a+1)i=-3+2i,∴a+1=2,∴a=1. 6.答案 8 解析 ∵==(25+15i)=5+3i,∴a=5,b=3.∴a+b=8. B組提高選做題 1. 答案 -+i 解析 z====-+i. 2.答案  解析 ∵|z-2|==, ∴(x-2)2+y2=3.由圖可知max==. 3.解 (z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i. 設z2=a+2i,a∈R, 則z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)

19、i. ∵z1z2∈R,∴a=4.∴z2=4+2i. 4.解 1+z2=+(a2-10)i++(2a-5)i =+[(a2-10)+(2a-5)]i =+(a2+2a-15)i. ∵1+z2是實數(shù), ∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3. 又(a+5)(a-1)≠0,∴a≠-5且a≠1,故a=3. 5.解 方法一 設z=x+yi(x,y∈R), ∵|z|=2,∴x2+y2=4, |z-i|=|x+yi-i| =|x+(y-1)i|= ==. ∵y2=4-x2≤4,∴-2≤y≤2. 故當y=-2時,5-2y取得最大值9,從而取最大值3,此時x=0,即|z-i|取得最大值3時,z=-2i. 方法二  類比實數(shù)絕對值的幾何意義,可知方程|z|=2表示以原點為圓心,以2 為半徑的圓,而|z-i|表示圓上的點到點A(0,1)的距離.如圖,連接AO 并延長與圓交于點B(0,-2),顯然根據(jù)平面幾何的知識可知,圓上 的點B到點A的距離最大,最大值為3,即當z=-2i時,|z-i|取得 最大值3.

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