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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
專題6 數(shù)列
一．選擇題
1.【2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】若互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且，則 ( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
2.．【2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷8】已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，則使得 為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．4
2、 D．5
3.【2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷10】古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)。比如：
他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
4.【20xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷7】定義在上的函數(shù)，如果對于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：
3、
①； ②； ③； ④.
則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為 ( )
A.① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④
【答案】C
【解析】
試題分析:等比數(shù)列性質(zhì)，，①； ②；③；④.選C.
二．填空題
1.【2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷15】設等比數(shù)列的公比為q，前n項和為S n，若Sn+1,S n，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 .
【答案】2
【解析】
試題分析:由題意可知q≠1，∴可得2(1-qn)=(1-qn+1)+(1-qn+2
4、),即q2+q-2=0，解得q=-2或q=1(不合題意,舍去)，∴q=-2.
2.【2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷14】已知函數(shù)f(x)=2x,等差數(shù)列{ax}的公差為2.若f(a2+a4+ab+a2+a1)=4,則Log2[f(a1)·f(a2)·f(a)·…·f(a10)]= .
3.【2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷15】已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為__________。
4.【20xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷13】《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有1根
5、9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升.
5.【20xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷14】古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)。如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第個三角形數(shù)為.記第個邊形數(shù)為，以下列出了部分邊形數(shù)中第個數(shù)的表達式：
三角形數(shù)
正方形數(shù)
五邊形數(shù)
六邊形數(shù)
……
可以推測的表達式，由此計算 .
三．解答題
1.【2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最
6、大整數(shù). 設數(shù)列的各項為正，且滿足
（Ⅰ）證明
（Ⅱ）猜測數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；
（Ⅲ）試確定一個正整數(shù)N，使得當時，對任意b>0，都有
∵
2.【2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖像上。
（Ⅰ）、求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）、設，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；
3.【2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】已知m，n為正整數(shù).
（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明：當x>-1時，(1+x)m≥1+mx；
（Ⅱ）對
7、于n≥6，已知，求證，m=1,1,2…，n；
（Ⅲ）求出滿足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n.
【解法1】（Ⅰ）證：用數(shù)學歸納法證明：
（?。┊敃r，原不等式成立；當時，左邊，右邊，
因為，所以左邊右邊，原不等式成立；
（ⅱ）假設當時，不等式成立，即，則當時，
下同解法1．
4.【2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ,an+1=其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù).
（Ⅰ）對任意實數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；
（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結論；
（Ⅲ）設0＜a＜
8、b,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有
a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當λ=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.
∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得
Sn=-
要使a<Sn<b對任意正整數(shù)n成立，
即a<-(λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+)
①
當n為正奇數(shù)時，1<f(n)
∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,
于是，由①式得a&
9、lt;-(λ+18),<
當a<b3a時，由－b-18=-3a-18，不存在實數(shù)滿足題目要求；
當b>3a存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b,且λ的取值范圍是（－b-18,-3a-18）.
5.【2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】已知數(shù)列的前n項和（n為正整數(shù)）。
（Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明。
由①-②得
于是確定的大小關系等價于比較的大小
6.【20xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】
【解析
10、】（Ⅰ）由題意可知，，
令 ，則 ，
又，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
即，故，
又，
故
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：當時，有，
7.【20xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】（本小題滿分13分）
已知數(shù)列的前n項和為，且滿足：
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式
（Ⅱ）若存在，使得成等差數(shù)列，試判斷：對于任意的，且，是否成等差數(shù)列，并證明你的結論。
【解析】（Ⅰ）由已知可得，兩式相減可得，即，又，
所以當r=0時，數(shù)列為a,0,0……,0，……；
當時，由已知，所以,
于是由，可得，所以成等比數(shù)列，
當時，。
綜上，數(shù)列的通項公式為：
11、
8.【20xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等差數(shù)列前三項的和為，前三項的積為.
（Ⅰ）求等差數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
當時，
. 當時，滿足此式.
綜上，
9.【20xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等比數(shù)列滿足：，.
（I）求數(shù)列的通項公式；
（II）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由。
10.【20xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等差數(shù)列滿足：，且、、成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式.
（2）記為數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.
【解析】（1）設數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列，
所以，解得或，
當時，；當時，，
所以數(shù)列的通項公式為或.
11. 【20xx高考湖北，理18】設等差數(shù)列的公差為d，前項和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，．
（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；
（Ⅱ）當時，記，求數(shù)列的前項和．
故.
【考點定位】等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式，錯位相減法求數(shù)列的前項和.
12.
湖北版高考數(shù)學分項匯編 專題06 數(shù)列含解析理
