2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第二章 第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值 文

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1、 1.理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義. 2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì). 3.會(huì)求一些簡單函數(shù)的值域. 4.理解函數(shù)的最大值、最小值及其幾何意義. 知識(shí)梳理 一、函數(shù)單調(diào)性的定義 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2 當(dāng)x1

2、 基礎(chǔ)自測 1．(2013珠海二模)下列函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)的是(　　) A．y＝tan x B．y＝－3x C．y＝3x D．y＝ln |x| 1 / 6 解析：y＝tan x只在其周期內(nèi)單調(diào)遞增，y＝－3x在R上單調(diào)遞減，y＝3x在R上單調(diào)遞增，y＝ln |x|在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 答案：C 2．(2013海淀區(qū)一模)已知a＞0，下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，a)上一定是減函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝ax＋b B．f(x)＝x2－2ax＋1 C．f(x)＝ax D．f(x)＝logax 解析：

3、a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax＋b，為增函數(shù)；對于函數(shù)f(x)＝ax，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在R上為減函數(shù)，當(dāng)a＞1時(shí)，在R上為增函數(shù)；對于f(x)＝logax,0＜a＜1時(shí)，在(0，＋∞)上為減函數(shù)；當(dāng)a＞1時(shí)在(0，＋∞)上為增函數(shù)；對于函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋1，圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為x＝a，所以該函數(shù)在區(qū)間(0，a)上一定是減函數(shù)，所以選項(xiàng)B對. 故選B. 答案：B 3．若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值為1，則實(shí)數(shù)m的值為_________________________________________． 解析：∵f(x)＝(x－1)2＋m－1

4、在[3，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值為1， ∴f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2. 答案：－2 4．(2012溫州市第一次適應(yīng)性測試)一個(gè)矩形的周長為l，面積為S，給出：①(4，1)，②(8,6)，③(10,8)，④.其中可作為(l，S)取得的實(shí)數(shù)對的序號(hào)是__________． 解析：設(shè)矩形一邊長為x，則S＝＝－x2＋x＝ －2＋， 檢驗(yàn)知，①④滿足． 答案：①④ 二、證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法 1．定義法． 用定義法判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是： (1)設(shè)x1，x2________________，且x

5、10[f′(x)<0]，則f(x)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)(減函數(shù))；反之，若f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)為增函數(shù)(減函數(shù))，則f′(x)≥0[f′(x

6、)≤0]．請注意兩者的區(qū)別所在． 三、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法 定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法． 四、函數(shù)的最大值、最小值 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，如果?M∈R，滿足：(1)對?x∈A，恒有f(x)≤M[或f(x)≥M]；(2)?x0∈A，使得f(x0)＝M，則稱M是函數(shù)y＝f(x)的___________________________． 五、求函數(shù)值域(最值)的各種方法 因?yàn)楹瘮?shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的，故其類型依解析式的特點(diǎn)可分為三類：(1)求常見函數(shù)的值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域． 無論用什

7、么方法求函數(shù)的值域，都必須首先考慮函數(shù)的定義域．具體的方法有：①直接法；②配方法；③分離常數(shù)法；元法；⑤三角函數(shù)有界法；⑥基本不等式法；⑦單調(diào)性法；⑧數(shù)形結(jié)合法；⑨導(dǎo)數(shù)法(對于具體函數(shù)幾乎都可以用導(dǎo)數(shù)法去解決)． 一、f(x1)＜f(x2)　f(x1)>f(x2)　逐漸上升　逐漸下降 二、1.(1)是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值　 (2)f(x1)－f(x2)　(4)f(x1)－f(x2)的正負(fù) 四、1.復(fù)合函數(shù)　y＝f(g(x)) 五、最大值(或最小值) 1．(2013重慶卷)y＝ (－6≤a≤3)的最大值為(　　) A．9　　　　

8、　B. C．3 D. 解析：因?yàn)閥＝＝＝ ，所以當(dāng)a＝－時(shí)，y＝的值最大，最大值為. 答案：B 2．(2013大綱全國卷)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋在是增函數(shù)，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞) 解析： f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立，由于y＝－2x在上單調(diào)遞減，所以y<3，故只要a≥3. 答案：D 1．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x在區(qū)間[m，n]上的值域是[－5,4]，則m＋n的取值范圍是(　　) A．[1,

9、7] B．[1,6] C．[－1,1] D．[0,6] 解析：f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4， ∴f(2)＝4. 又由f(x)＝－5，得x＝－1或5. 由f(x)的圖象知：－1≤m≤2,2≤n≤5. 因此1≤m＋n≤7. 答案：A 2．(2012寧波期末)已知f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，且f(1)＝0，函數(shù)g(x)在(－∞，1]上為增函數(shù)，在[1，＋∞)上為減函數(shù)，且g(4)＝g(0)＝0，則集合{x|f(x)g(x)≥0}＝(　　) A．{x|x≤0或1≤x≤4} B．{x|0≤x≤4} C．{x|x≤4} D．{x|0≤x≤1或x≥4} 解析：由題，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得x＞1時(shí)，f(x)＞0；x＜0時(shí)，f(x)＜0；x＜0或x＞4時(shí)，g(x)＜0；0＜x＜4時(shí)，g(x)＞0，故f(x)g(x)≥0的解集為{x|x≤0或1≤x≤4}．故選A. 答案：A 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！