2015屆高考數(shù)學總復習 基礎(chǔ)知識名師講義 第五章 第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和 文

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1、 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和 1.理解等差數(shù)列的概念. 2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.,3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應的問題. 4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系. 知識梳理 一、等差數(shù)列的概念 1.定義:如果一個數(shù)列從第二項開始,每一項與前一項的差都是同一個常數(shù),那么這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列,記作數(shù)列,首項記作a1,公差記作d. 2.符號表示: an+1-an=d(n∈N*). 二、通項公式 若數(shù)列為等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d. 三、前n項和公式 Sn==na1+d. 四、等

2、差中項 如果三數(shù)a,A,b成等差數(shù)列,則A叫做a和b的等差中項,即A=. 五、等差數(shù)列的判定方法 1.定義法: an+1-an=d (常數(shù))(n∈N*)?是等差數(shù)列. 2.中項公式法: 2an+1=an+an+2(n∈N*)?是等差數(shù)列. 3.通項公式法:an=kn+b(k,b是常數(shù))(n∈N*)?是等差數(shù)列. 4.前n項和公式法:Sn=An2+Bn(A,B是常數(shù))(n∈N*)?是等差數(shù)列. 六、用函數(shù)觀點認識等差數(shù)列 1.a(chǎn)n=dn+a1-d,d≠0時是關(guān)于n的一次函數(shù). 2.Sn=n2+n,d≠0時是關(guān)于n的常數(shù)項為零的二次函數(shù). 七、等差數(shù)列的重要性質(zhì) 1 / 5

3、 1.在等差數(shù)列中,若p+q=m+n,則有ap+aq=am+an;若2m=p+q,則有2am=ap+aq(p,q,m,n∈N*,簡稱為下標和性質(zhì)). 2.在等差數(shù)列中,等距離取出若干項也構(gòu)成一個等差數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等差數(shù)列,公差為kd. 3.若數(shù)列是等差數(shù)列,Sn是其前n項的和,那么Sk,S2k-Sk,S3k-S2k(k∈N*)也成等差數(shù)列,公差為k2d. 基礎(chǔ)自測 1.(2013江門二模)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a3+a11=24,a4=3,則{an}的公差是(  ) A.1     B.3 C.5 D.6

4、 解析:(法一)因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a3+a11=24,a4=3,利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得2a7=24,所以a7=12,d==3. (法二)設(shè)等差數(shù)列的公差為d, ∵a3+a11=24,a4=3,∴解得a1=-6,d=3,故選B. 答案:B 2.(2013寧夏銀川一中質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且a1+a7+a13=4π,則tan(a2+a12)的值為(  ) A. B. C.- D.- 解析:由等差數(shù)列的性質(zhì),得a1+a7+a13=3a7=4π, ∴a7=,∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan =-.故選D.

5、答案:D 3.(2013重慶卷)若2、a、b、c、9成等差數(shù)列,則c-a=________. 解析:設(shè)等差數(shù)列2,a,b,c,9的公差為d,則9-2=4d, 所以d=,c-a=2d=2=. 答案: 4.(2012南京二模)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和.若=,則=_____________________. 解析:設(shè)等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,則有=,得a1=2d,∴==. 答案: 1.(2013安徽卷)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S8=4a3,a7=-2,則a9=(  ) A.-6 B.-4 C.-

6、2 D.2 解析:由已知即解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=-6.故選A. 答案:A 2.(2013四川卷)在等差數(shù)列{an}中,a1+a3=8,且a4為a2和a9的等比中項,求數(shù)列{an}的首項、公差及前n項和. 解析:設(shè)該數(shù)列公差為d,前n項和為Sn,由已知可得, 2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d). 所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0, 解得a1=4,d=0或a1=1,d=3, 即數(shù)列{an}的首項為4,公差為0,或首項為1,公差為3. 所以,數(shù)列{an}的前n項和Sn=4n(n∈N*)或Sn=

7、 (n∈N*). 1.(2013汕頭一模)在等差數(shù)列{an}中,首項a1=0,公差d≠0,若ak=a1+a2+a3+…+a10,則k=(  ) A.45 B.46 C.47 D.48 解析:∵ak=a1+a2+a3+…+a10,∴a1+(k-1)d=10a1+45d, ∵a1=0,公差d≠0,∴(k-1)d=45d,∴k=46,故選B. 答案:B 2.(2013沈陽二中月考)已知正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列. (1)求{an}的通項公式; (2)記bn=的前n項和為Tn,求證:Tn<

8、. (1)解析:∵S3=12,即a1+a2+a3=12,∴3a2=12.∴a2=4. 又∵2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列,∴a=2a1(a3+1), 即a=2(a2-d)(a2+d+1),解得d=3或d=-4(舍去). ∴a1=a2-d=1.故an=3n-2. (2)證明:bn===(3n-2), ∴Tn=1+4+7+…+(3n-2),① Tn=1+4+7+…+(3n-5)+(3n-2).② ①-②得,Tn=+3+3+3+…+3-(3n-2)=+3-(3n-2)=--(3n-2). ∴Tn=--=-<. 希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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