2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第六章 第六節(jié)直接證明與間接證明 文

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1、 第六節(jié)　直接證明與間接證明 1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn). 2.了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn). 知識(shí)梳理 一、直接證明 1．綜合法：從題設(shè)的已知條件出發(fā)，運(yùn)用一系列有關(guān)已確定真實(shí)的命題作為推理的依據(jù)，逐步推演而得到要證明的結(jié)論，這種證明方法叫做綜合法．綜合法的推理方向是由已知到求證，表現(xiàn)為由因索果，綜合法的解題步驟用符號(hào)表示是：P0(已知)?P1?P2?…?Pn(結(jié)論)． 特點(diǎn)：由因?qū)Ч?，因此綜合法又叫順推法． 2．分析法：分析法的推理方向是由結(jié)論到題設(shè)，論證中步步尋求

2、使其成立的充分條件，如此逐步歸結(jié)到已知的條件和已經(jīng)成立的事實(shí)，從而使命題得證，表現(xiàn)為執(zhí)果索因，分析法的證題步驟用符號(hào)表示為B(結(jié)論)?B1?B2?…?Bn?A(已知)． 特點(diǎn)：執(zhí)果索因，因此分析法又叫逆推法或執(zhí)果索因法． 二、間接證明 假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立．這樣的證明方法叫反證法．反證法是一種間接證明的方法． 1．反證法的解題步驟：否定結(jié)論—推演過(guò)程中引出矛盾—肯定結(jié)論． 2．反證法的理論依據(jù)是：原命題為真，則它的逆否命題為真，在直接證明有困難時(shí)，就可以轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題成立． 3．反證法證明一個(gè)命題常采用

3、以下步驟： (1)假定原命題的結(jié)論不成立； (2)進(jìn)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾； (3)由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來(lái)的假定“結(jié)論不成立”是錯(cuò)誤的； (4)肯定原來(lái)命題的結(jié)論是正確的． 即“反設(shè)—?dú)w謬—結(jié)論”． 4．一般情況下，有如下幾種情況的證明題目常常采用反證法： 1 / 7 第一，問題共有n種情況，現(xiàn)要證明其中的1種情況成立時(shí)，可以想到用反證法把其他的n－1種情況都排除，從而肯定這種情況成立； 第二，命題是以否定命題的形式敘述的； 第三，命題用“至少”、“至多”的字樣敘述的； 第四，當(dāng)命題成立非常明顯，而要直接證明所用

4、的理論太少，且不容易說(shuō)明，而其逆命題又是非常容易證明的． 基礎(chǔ)自測(cè) 1．設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列關(guān)于t和s的大小關(guān)系中正確的是(　　) A．t＞s　　　　　 B．t≥s C．t＜s D．t≤s 解析：因?yàn)閟－t＝a＋b2＋1－a－2b＝(b－1)2≥0，所以s≥t. 答案：D 2．實(shí)數(shù)a、b、c不全為0是指(　　) A．a(chǎn)、b、c均不為0 B．a(chǎn)、b、c中至少有一個(gè)為0 C．a(chǎn)、b、c至多有一個(gè)為0 D．a(chǎn)、b、c至少有一個(gè)不為0 解析：不全為“0”并不是“全不為0”，而是“至少有一個(gè)不為0”．故選D. 答案：D 3．(

5、2012·廣東六校聯(lián)考)定義運(yùn)算法則如下：ab＝a＋b，a b＝lg a2－lg b.若M＝2，N＝ ，則M＋N＝__________. 解析：由定義運(yùn)算法則可知， M＝2＝＋＝＋＝4， N＝?＝lg()2－lg＝lg 2＋lg 5＝1， ∴M＋N＝5. 答案：5 4．(2013·保定模擬)若P＝＋，Q＝＋，a≥0，則P、Q的大小關(guān)系是________． 解析：分析法，要證P<Q，需證P2<Q2即可． 答案：P<Q 1．如圖所示，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱

6、AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)． (1)求證：DE∥平面BCP； (2)求證：四邊形DEFG為矩形． 證明：(1)因?yàn)镈，E分別為AP，AC的中點(diǎn)， 所以DE∥PC.又因?yàn)镈E?平面BCP， 所以DE∥平面BCP. (2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)， 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF. 所以四邊形DEFG為平行四邊形， 又因?yàn)镻C⊥AB， 所以DE⊥DG， 所以四邊形DEFG為矩形． 2．(2013·江蘇卷)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.

7、 (1)若|a－b|＝，求證：a⊥b； (2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． (1)證明：由|a－b|＝，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即a·b＝0，因此a⊥b. (2)解析：由已知條件 又0<β<α<π， cosβ＝－cos α＝cos(π－α)，則β＝π－α， sin α＋sin(π－α)＝1， 所以sin α＝，得α＝或α＝. 當(dāng)α＝時(shí)，β＝(舍去)． 當(dāng)α＝時(shí)，β＝. 1．(2013·惠州第三次調(diào)研)如圖所示

8、，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn)． (1)求證：EF∥平面ABC1D1； (2)求證：EF⊥B1C； (3)求三棱錐VB1－EFC的體積． (1) 證明：連接BD1，如圖，在△DD1B中，E、F分別為D1D，DB的中點(diǎn)，則 ?EF//平面ABC1D1. (2)證明：? ? ?EF⊥B1C. （3）解析：因?yàn)镃F⊥平面BDD1B1， ∴CF⊥平面EFB1且CF＝BF＝， 因?yàn)镋F＝BD1＝， B1F＝＝， B1E＝＝＝3. 所以EF2＋B1F2＝B1E2即∠EFB1＝90°， 所以VB1－

9、EFC＝VC－B1EF＝ ·S△B1EF·CF＝××EF×B1F×CF＝ ××××＝1. 2．設(shè)數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn. (1)已知a1＝1，d＝2， ①求當(dāng)n∈N*時(shí)，的最小值； ②當(dāng)n∈N*時(shí)，求證：＋＋…＋<. (2)是否存在實(shí)數(shù)a1，使得對(duì)任意正整數(shù)n，關(guān)于m的不等式am≥n的最小正整數(shù)解為3n－2？若存在，則求a1的取值范圍；若不存在，則說(shuō)明理由． (1)解析：①∵a1＝1，d＝2， ∴Sn＝na1＋＝n2，＝n＋≥2＝16，

10、 當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝8時(shí)，上式取等號(hào)． 故的最小值是16. ②證明：由①知Sn＝n2， 當(dāng)n∈N*時(shí)，＝＝－， 則＋＋…＋＝－＋＋…＋－＝－＋＋…＋＋＝， ∵＋>0， ∴＋＋…＋<＋＝. (2)對(duì)?n∈N*，關(guān)于m的不等式am＝a1＋(m－1)d≥n的最小正整數(shù)解為cn＝3n－2， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋(c1－1)d＝a1≥1； 當(dāng)n≥2時(shí)，恒有 即 從而?d＝，1≤a1<. 當(dāng)d＝，1≤a1<時(shí)，對(duì)?n∈N*且n≥2時(shí)，當(dāng)正整數(shù)m<cn時(shí)，有a1＋<n. 所以存在這樣的實(shí)數(shù)a1，且a1的取值范圍是. 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！